Một trong những phần cơ bản của phân tích toán học là phép tính tích phân. Nó bao gồm trường rộng nhất của các đối tượng, trong đó trường đầu tiên là tích phân không xác định. Cần đặt nó như một chìa khóa, ngay cả ở trường trung học cũng cho thấy ngày càng nhiều quan điểm và cơ hội mà toán học cao hơn mô tả.
Hình thức
Thoạt nhìn, tích phân có vẻ hoàn toàn hiện đại, phù hợp, nhưng trên thực tế, hóa ra nó xuất hiện sớm nhất vào năm 1800 trước Công nguyên. Ai Cập chính thức được coi là quê hương, vì bằng chứng trước đó về sự tồn tại của nó đã không đến được với chúng ta. Anh ta, do thiếu thông tin, tất cả thời gian này đã được định vị đơn giản như một hiện tượng. Ông một lần nữa khẳng định trình độ phát triển của khoa học giữa các dân tộc thời bấy giờ. Cuối cùng, các công trình của các nhà toán học Hy Lạp cổ đại có niên đại từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên đã được tìm thấy. Họ đã mô tả một phương pháp sử dụng một tích phân không xác định, bản chất của nó là tìm thể tích hoặc diện tích của một hình cong (ba chiềuvà mặt phẳng hai chiều, tương ứng). Nguyên tắc tính toán dựa trên việc chia hình ban đầu thành các thành phần nhỏ, với điều kiện là đã biết thể tích (diện tích) của chúng. Theo thời gian, phương pháp này đã phát triển, Archimedes đã sử dụng nó để tìm diện tích của một hình parabol. Các phép tính tương tự cũng được các nhà khoa học ở Trung Quốc cổ đại thực hiện cùng lúc và chúng hoàn toàn độc lập với các đối tác khoa học ở Hy Lạp.
Phát triển
Bước đột phá tiếp theo vào thế kỷ 11 sau Công nguyên là công trình của nhà khoa học Ả Rập - "phổ quát" Abu Ali al-Basri, người đã vượt qua ranh giới của những gì đã biết, đưa ra các công thức dựa trên tích phân để tính tổng. của các hàng và tổng lũy thừa từ hàng đầu tiên đến hàng thứ tư, áp dụng cho phương pháp quy nạp toán học mà chúng tôi đã biết.
Những bộ óc của thời hiện đại ngưỡng mộ cách người Ai Cập cổ đại tạo ra những công trình kiến trúc kỳ thú mà không cần bất kỳ thiết bị đặc biệt nào, có lẽ ngoại trừ bàn tay của họ, nhưng sức mạnh của khối óc các nhà khoa học thời đó chẳng phải là một kỳ tích sao? So với ngày nay, cuộc sống của họ có vẻ gần như nguyên thủy, nhưng lời giải của tích phân bất định đã được tìm thấy ở khắp mọi nơi và được sử dụng trong thực tế để phát triển hơn nữa.
Bước tiếp theo diễn ra vào thế kỷ 16, khi nhà toán học người Ý Cavalieri phát triển phương pháp phân chia, được Pierre Fermat chọn ra. Chính hai tính cách này đã đặt nền móng cho phép tính tích phân hiện đại, được biết đến vào thời điểm hiện tại. Họ kết nối các khái niệm về sự khác biệt và tích hợp, những khái niệm trước đâyđược coi như các đơn vị tự trị. Nhìn chung, toán học của thời đó rất rời rạc, các hạt kết luận tự tồn tại, có phạm vi giới hạn. Con đường thống nhất và tìm kiếm điểm chung là con đường đúng duy nhất vào thời điểm đó, nhờ đó phân tích toán học hiện đại có cơ hội phát triển và phát triển.
Mọi thứ đã thay đổi theo thời gian, bao gồm cả ký hiệu của tích phân. Nói chung, các nhà khoa học đã biểu thị nó bằng mọi cách, chẳng hạn, Newton đã sử dụng một biểu tượng hình vuông, trong đó ông đặt một hàm tích phân hoặc đơn giản là đặt nó bên cạnh nó.
Sự mâu thuẫn này tiếp tục cho đến thế kỷ 17, khi nhà khoa học Gottfried Leibniz, một dấu mốc cho toàn bộ lý thuyết phân tích toán học, đưa ra ký hiệu quá quen thuộc với chúng ta. Chữ "S" kéo dài thực sự dựa trên chữ cái này trong bảng chữ cái Latinh, vì nó biểu thị tổng các chất chống dẫn xuất. Tích phân có tên nhờ Jacob Bernoulli 15 năm sau.
Định nghĩa trang trọng
Tích phân bất định phụ thuộc trực tiếp vào định nghĩa của đạo hàm, vì vậy chúng ta hãy xem xét nó trước.
Đạo hàm là một hàm nghịch biến của đạo hàm, trong thực tế nó còn được gọi là nguyên hàm. Ngược lại: đạo hàm của hàm d là hàm D có đạo hàm bằng v V '=v. Việc tìm kiếm dấu tích phân là phép tính tích phân không xác định, và bản thân quá trình này được gọi là tích phân.
Ví dụ:
Hàm s (y)=y3, và đạo hàm S (y)=(y4/ 4).
Tập hợp tất cả các đạo hàm của hàm đang xét là tích phân bất định, nó được ký hiệu như sau: ∫v (x) dx.
Vì V (x) chỉ là một số nguyên hàm của nguyên hàm nên biểu thức xảy ra: ∫v (x) dx=V (x) + C, trong đó C là hằng số. Một hằng số tùy ý là bất kỳ hằng số nào, vì đạo hàm của nó bằng 0.
Thuộc tính
Các tính chất mà tích phân bất định có được dựa trên định nghĩa chính và các tính chất của đạo hàm.
Hãy cùng nhìn lại những điểm chính:
- tích phân từ đạo hàm của phản đạo hàm là chính đạo hàm cộng với một hằng số tùy ý С ∫V '(x) dx=V (x) + C;
- đạo hàm của tích phân hàm là nguyên hàm (∫v (x) dx) '=v (x);
- hằng được lấy ra từ dưới dấu tích phân ∫kv (x) dx=k∫v (x) dx, trong đó k là tùy ý;
- tích phân được lấy từ tổng giống hệt như tổng của các tích phân ∫ (v (y) + w (y)) dy=∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Từ hai tính chất cuối cùng, chúng ta có thể kết luận rằng tích phân bất định là tuyến tính. Nhờ đó, chúng ta có: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy=k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Để củng cố, hãy xem xét các ví dụ về giải tích phân không xác định.
Cần tìm tích phân ∫ (3sinx + 4cosx) dx:
∫ (3sinx + 4cosx) dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3 (-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Từ ví dụ, chúng ta có thể kết luận:không biết làm thế nào để giải quyết các tích phân bất định? Chỉ cần tìm tất cả các nguyên thủy! Nhưng các nguyên tắc tìm kiếm sẽ được xem xét bên dưới.
Phương pháp và ví dụ
Để giải tích phân, bạn có thể sử dụng các phương pháp sau:
- sử dụng bàn đã chuẩn bị sẵn;
- tích hợp theo bộ phận;
- tích hợp bằng cách thay đổi biến;
- mang dấu hiệu phân biệt.
Bàn
Cách dễ dàng và thú vị nhất. Hiện tại, phân tích toán học tự hào có các bảng khá phong phú, trong đó các công thức cơ bản của tích phân không xác định được viết. Nói cách khác, có những mẫu đã được phát triển trước bạn và đối với bạn, bạn chỉ cần sử dụng chúng. Dưới đây là danh sách các vị trí bảng chính mà bạn có thể lấy hầu hết các ví dụ có giải pháp:
- ∫0dy=C, trong đó C là hằng số;
- ∫dy=y + C, trong đó C là hằng số;
- ∫y dy=(yn + 1) / (n + 1) + C, trong đó C là hằng số và n - số không phải một;
- ∫ (1 / y) dy=ln | y | + C, trong đó C là hằng số;
- ∫eydy=ey+ C, trong đó C là hằng số;
- ∫kydy=(ky/ ln k) + C, trong đó C là hằng số;
- ∫cosydy=siny + C, trong đó C là hằng số;
- ∫sinydy=-cosy + C, trong đó C là hằng số;
- ∫dy / cos2y=tgy + C, trong đó C là hằng số;
- ∫dy / sin2y=-ctgy + C, trong đó C là hằng số;
- ∫dy / (1 + y2)=arctgy + C, trong đó C là hằng số;
- ∫chydy=shy + C, trong đó C -hằng số;
- ∫shydy=chy + C, trong đó C là hằng số.
Nếu cần, hãy thực hiện một vài bước, đưa phần tích hợp về dạng bảng và tận hưởng chiến thắng. Ví dụ: ∫cos (5x -2) dx=1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2)=1/5 x sin (5x - 2) + C.
Theo lời giải, rõ ràng là đối với ví dụ dạng bảng, tích phân thiếu thừa số là 5. Chúng ta cộng nó, nhân nó với 1/5 song song để biểu thức tổng quát không thay đổi.
Tích hợp theo các bộ phận
Xét hai hàm - z (y) và x (y). Chúng phải được phân biệt liên tục trên toàn bộ miền định nghĩa. Theo một trong các tính chất phân biệt, ta có: d (xz)=xdz + zdx. Tích cả hai phần của phương trình, ta được: ∫d (xz)=∫ (xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Viết lại hằng đẳng thức thu được, chúng ta thu được công thức mô tả phương pháp tích phân theo từng phần: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Tại sao nó lại cần? Vấn đề là một số ví dụ có thể được đơn giản hóa, nói theo điều kiện, giảm ∫zdx thành ∫xdz nếu ví dụ sau gần với dạng bảng. Ngoài ra, có thể áp dụng công thức này nhiều lần để đạt hiệu quả tối ưu.
Cách giải tích phân bất định theo cách này:
cần tính ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds={z=s + 1, dz=ds, y=1 / 2e2s, dy=e2xds}=((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx=((s + 1) e2s) / 2-e2s/ 4+ C;
cần tính toán ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds / s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds / s=slns - ∫ds=slns -s + C=s (lns -1) + C.
Thay thế biến
Nguyên tắc giải tích phân bất định này được yêu cầu không kém so với hai nguyên tắc trước, mặc dù nó phức tạp hơn. Phương pháp như sau: Cho V (x) là tích phân của một số hàm v (x). Trong trường hợp bản thân tích phân trong ví dụ gặp phức tạp, thì khả năng cao là bạn bị nhầm lẫn và chọn sai đường giải. Để tránh điều này, việc chuyển đổi từ biến x sang z được thực hành, trong đó biểu thức tổng quát được đơn giản hóa một cách trực quan trong khi vẫn duy trì sự phụ thuộc của z vào x.
Về mặt toán học, nó giống như sau: ∫v (x) dx=∫v (y (z)) y '(z) dz=V (z)=V (y-1 (x)), trong đó x=y (z) là một thay thế. Và, tất nhiên, hàm ngược z=y-1(x) mô tả đầy đủ sự phụ thuộc và mối quan hệ của các biến. Lưu ý quan trọng - vi phân dx nhất thiết phải được thay thế bằng vi phân mới dz, vì việc thay thế một biến trong tích phân không xác định có nghĩa là thay thế nó ở mọi nơi, và không chỉ trong tích phân.
Ví dụ:
cần tìm ∫ (s + 1) / (s2+ 2s - 5) ds
Áp dụng phép thay thế z=(s + 1) / (s2+ 2s-5). Khi đó dz=2sds=2 + 2 (s + 1) ds (s + 1) ds=dz / 2. Kết quả là, chúng ta nhận được biểu thức sau, rất dễ tính toán:
∫ (s + 1) / (s2+ 2s-5) ds=∫ (dz / 2) / z=1 / 2ln | z | + C=1 / 2ln | s2+ 2s-5 | + C;
cần tìm tích phân∫2sesdx
Để giải, ta viết lại biểu thức dưới dạng sau:
∫2sesds=∫ (2e)sds.
Biểu thị bằng a=2e (bước này không thay thế cho đối số, nó vẫn là s), chúng ta đưa tích phân có vẻ phức tạp của chúng ta về dạng bảng cơ bản:
∫ (2e)sds=∫asds=as/ lna + C=(2e)s/ ln (2e) + C=2ses/ ln (2 + lne) + C=2ses/ (ln2 + 1) + C.
Mang dấu hiệu phân biệt
Nói chung, phương pháp tích phân bất định này là anh em song sinh của nguyên lý biến thiên, nhưng có sự khác biệt trong quá trình thiết kế. Chúng ta hãy xem xét kỹ hơn.
Nếu ∫v (x) dx=V (x) + C và y=z (x), thì ∫v (y) dy=V (y) + C.
Trong trường hợp này, không nên quên các phép biến đổi tích phân nhỏ, trong đó:
- dx=d (x + a), trong đó a là hằng số bất kỳ;
- dx=(1 / a) d (ax + b), trong đó a lại là hằng số, nhưng không bằng 0;
- xdx=1 / 2d (x2+ b);
- sinxdx=-d (cosx);
- cosxdx=d (sinx).
Nếu chúng ta xem xét trường hợp tổng quát khi chúng ta tính tích phân không xác định, các ví dụ có thể được tổng hợp theo công thức tổng quát w '(x) dx=dw (x).
Ví dụ:
cần tìm ∫ (2s + 3)2ds, ds=1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3)2ds=1 / 2∫ (2s + 3)2d (2s + 3)=(1/2) x ((2 giây +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2+ C;
∫tgsds=∫sins / cossds=∫d (coss) / coss=-ln | coss | + C.
Trợ giúp Trực tuyến
Trong một số trường hợp, lỗi có thể là do lười biếng hoặc do nhu cầu cấp thiết, bạn có thể sử dụng các mẹo trực tuyến hoặc đúng hơn là sử dụng máy tính tích phân vô thời hạn. Bất chấp tất cả độ phức tạp và tính khả phản của tích phân, giải pháp của chúng phải tuân theo một thuật toán nhất định, dựa trên nguyên tắc "nếu không …, thì …".
Tất nhiên, một máy tính như vậy sẽ không làm chủ được các ví dụ đặc biệt phức tạp, vì có những trường hợp giải pháp phải được tìm ra một cách giả tạo, "buộc" phải đưa vào một số yếu tố nhất định trong quá trình này, bởi vì kết quả không thể đạt được rõ ràng các cách. Bất chấp tất cả những tranh cãi về nhận định này, đó là sự thật, vì về nguyên tắc, toán học là một môn khoa học trừu tượng, và coi nhu cầu mở rộng ranh giới của các khả năng là nhiệm vụ chính của nó. Thật vậy, việc xây dựng và phát triển theo những lý thuyết trơn tru và chạy theo đường thẳng là vô cùng khó khăn, vì vậy bạn không nên cho rằng những ví dụ về giải tích phân bất định mà chúng tôi đã đưa ra là chiều cao của các khả năng. Nhưng quay lại khía cạnh kỹ thuật của mọi thứ. Ít nhất để kiểm tra các phép tính, bạn có thể sử dụng các dịch vụ mà mọi thứ đã được viết trước chúng tôi. Nếu cần tính toán tự động cho một biểu thức phức tạp, thì chúng không thể phân bổ được, bạn sẽ phải dùng đến phần mềm nghiêm túc hơn. Điều đáng chú ý trước hết là môi trường MatLab.
Đơn
Giải pháp của tích phân bất định thoạt nhìn có vẻ hoàn toàn không phù hợp với thực tế, vì khó có thể nhìn thấy các lĩnh vực ứng dụng rõ ràng. Thật vậy, chúng không thể được sử dụng trực tiếp ở bất cứ đâu, nhưng chúng được coi là một yếu tố trung gian cần thiết trong quá trình suy ra các giải pháp sử dụng trong thực tế. Vì vậy, tích phân nghịch đảo với phân hóa, do đó nó tham gia tích cực vào quá trình giải phương trình.
Đến lượt nó, những phương trình này có tác động trực tiếp đến lời giải của các bài toán cơ học, tính toán quỹ đạo và độ dẫn nhiệt - nói ngắn gọn là mọi thứ tạo nên hiện tại và định hình tương lai. Tích phân không xác định, các ví dụ mà chúng ta đã xem xét ở trên, thoạt nhìn chỉ đơn giản là tầm thường, vì nó là cơ sở để tạo ra ngày càng nhiều khám phá mới.
