Để hiểu điểm cực trị của hàm là gì, không nhất thiết phải biết về sự có mặt của đạo hàm cấp một và cấp hai cũng như hiểu ý nghĩa vật lý của chúng. Đầu tiên bạn cần hiểu những điều sau:
- hàm cực trị tối đa hóa hoặc ngược lại, tối thiểu hóa giá trị của hàm trong một vùng lân cận nhỏ tùy ý;
- Không được có sự phá vỡ chức năng ở điểm cực trị.
Và bây giờ cũng vậy, chỉ bằng ngôn ngữ đơn giản. Nhìn vào đầu bút bi. Nếu đặt bút thẳng đứng, có đầu viết thì chính giữa viên bi sẽ là điểm cực viễn - điểm cao nhất. Trong trường hợp này, chúng ta nói về mức tối đa. Bây giờ, nếu bạn xoay cây bút với đầu viết xuống dưới, thì ở giữa viên bi sẽ có một chức năng tối thiểu. Với sự trợ giúp của hình vẽ ở đây, bạn có thể hình dung các thao tác được liệt kê đối với bút chì văn phòng phẩm. Vì vậy, cực trị của một hàm luôn là điểm tới hạn: cực đại hoặc cực tiểu của nó. Phần liền kề của biểu đồ có thể sắc nét hoặc nhẵn tùy ý, nhưng nó phải tồn tại ở cả hai phía, chỉ trong trường hợp này điểm là điểm cực trị. Nếu biểu đồ chỉ hiển thị ở một phía, điểm này sẽ không phải là điểm cực trị ngay cả khi ở một phíađiều kiện tối đa được đáp ứng. Bây giờ chúng ta hãy nghiên cứu cực trị của hàm theo quan điểm khoa học. Để một điểm được coi là cực trị, cần và đủ rằng:
- đạo hàm đầu tiên bằng 0 hoặc không tồn tại tại điểm;
- đạo hàm đầu tiên đã đổi dấu tại thời điểm này.
Điều kiện được giải thích hơi khác so với quan điểm của đạo hàm bậc cao: đối với một hàm phân biệt tại một điểm, điều kiện là đủ để có một đạo hàm cấp lẻ không bằng 0, trong khi tất cả các đạo hàm bậc thấp phải tồn tại và bằng không. Đây là cách giải thích đơn giản nhất của các định lý trong sách giáo khoa toán cao hơn. Nhưng đối với những người bình thường nhất, cần giải thích điểm này bằng một ví dụ. Cơ sở là một parabol bình thường. Đặt trước ngay lập tức, tại điểm 0 là tối thiểu. Chỉ một chút toán học:
- đạo hàm bậc nhất (X2)|=2X, cho điểm 0 2X=0;
- đạo hàm cấp hai (2X)|=2, cho điểm 0 2=2.
Đây là một minh họa đơn giản về các điều kiện xác định cực trị của hàm cả đối với đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao hơn. Chúng ta có thể thêm vào điều này rằng đạo hàm cấp hai chỉ là đạo hàm tương tự của một bậc lẻ, không bằng 0, đã được thảo luận ở mức cao hơn một chút. Khi nói đến cực trị của một hàm hai biến, các điều kiện phải được đáp ứng cho cả hai đối số. Khi nàotổng quát hóa xảy ra, sau đó các đạo hàm riêng được sử dụng. Nghĩa là, cần thiết cho sự hiện diện của một điểm cực trị mà cả hai đạo hàm bậc nhất đều bằng 0, hoặc ít nhất một trong số chúng không tồn tại. Để có đủ sự hiện diện của một cực trị, một biểu thức được khảo sát, đó là hiệu giữa tích của đạo hàm cấp hai và bình phương của đạo hàm cấp hai hỗn hợp của hàm số. Nếu biểu thức này lớn hơn 0 thì sẽ có cực trị và nếu không có giá trị nào thì câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ và cần nghiên cứu thêm.
