Nghiên cứu các đặc tính của trạng thái tập hợp khí của vật chất là một trong những lĩnh vực quan trọng của vật lý hiện đại. Xét các chất khí trên quy mô hiển vi, người ta có thể thu được tất cả các thông số vĩ mô của hệ. Bài báo này sẽ tiết lộ một vấn đề quan trọng của lý thuyết động học phân tử của chất khí: sự phân bố Maxwell của các phân tử theo vận tốc là gì.
Bối cảnh lịch sử
Ý tưởng về khí như một hệ thống các hạt chuyển động cực nhỏ bắt nguồn từ thời Hy Lạp cổ đại. Phải mất hơn 1700 năm khoa học mới phát triển được nó.
Người sáng lập ra lý thuyết động học phân tử (MKT) hiện đại của khí là công bằng khi coi Daniil Bernoulli. Năm 1738, ông xuất bản một công trình có tên là "Thủy động lực học". Trong đó, Bernoulli đã phác thảo những ý tưởng về MKT vẫn được sử dụng cho đến ngày nay. Vì vậy, các nhà khoa học tin rằng khí bao gồm các hạt chuyển động ngẫu nhiên theo mọi hướng. Nhiều vụ va chạmcác hạt có thành mạch được coi là sự hiện diện của áp suất trong chất khí. Vận tốc của các hạt liên quan chặt chẽ với nhiệt độ của hệ. Giới khoa học không chấp nhận những ý tưởng táo bạo của Bernoulli vì định luật bảo toàn năng lượng chưa được thiết lập.
Sau đó, nhiều nhà khoa học đã tham gia vào việc xây dựng một mô hình động học của khí. Trong số đó, cần lưu ý đến Rudolf Clausius, người vào năm 1857 đã tạo ra một mô hình khí đơn giản. Trong đó, nhà khoa học đặc biệt chú ý đến sự hiện diện của các bậc tự do tịnh tiến, quay và dao động trong phân tử.
Năm 1859, khi nghiên cứu công trình của Clausius, James Maxwell đã lập công thức được gọi là phân bố Maxwell theo vận tốc phân tử. Trên thực tế, Maxwell đã xác nhận các ý tưởng của MKT, hỗ trợ chúng bằng một bộ máy toán học. Sau đó, Ludwig Boltzmann (1871) đã khái quát hóa các kết luận của phân bố Maxwell. Ông đã công nhận sự phân bố thống kê tổng quát hơn của các phân tử theo vận tốc và năng lượng. Nó hiện được gọi là phân phối Maxwell-Boltzmann.
Khí lý tưởng. Định đề cơ bản của ILC
Để hiểu chức năng phân phối Maxwell là gì, bạn cần hiểu rõ các hệ thống có thể áp dụng chức năng này. Chúng ta đang nói về một loại khí lý tưởng. Trong vật lý, khái niệm này được hiểu là một chất lỏng, bao gồm các hạt thực tế là không thứ nguyên và không có thế năng. Các hạt này chuyển động với tốc độ cao, vì vậy hành vi của chúng hoàn toàn được xác định bởi động năng. Hơn nữa, khoảng cách giữa các hạt quá lớn đối vớiso với kích thước của chúng, vì vậy cái thứ hai bị bỏ qua.
Khí lý tưởng được mô tả trong MKT. Các định đề chính của nó như sau:
- hệ thống khí được tạo thành từ một số lượng lớn các hạt tự do;
- chuyển động ngẫu nhiên với các tốc độ khác nhau theo các hướng khác nhau dọc theo quỹ đạo thẳng;
- các hạt va chạm đàn hồi với thành mạch (xác suất các hạt va chạm với nhau thấp do kích thước nhỏ của chúng);
- Nhiệt độ của hệ được xác định duy nhất bởi động năng trung bình của các hạt, được bảo toàn trong thời gian nếu cân bằng nhiệt động lực học được thiết lập trong hệ.
Các hạt
Luật phân phối của Maxwell
Nếu một người có một dụng cụ có thể đo tốc độ của một phân tử khí đơn lẻ, thì sau khi tiến hành một thí nghiệm thích hợp, anh ta sẽ ngạc nhiên. Thí nghiệm sẽ chỉ ra rằng mọi phân tử của bất kỳ hệ khí nào đều chuyển động với tốc độ hoàn toàn tùy ý. Trong trường hợp này, trong khuôn khổ của một hệ thống cân bằng nhiệt với môi trường, cả hai phân tử rất chậm và rất nhanh sẽ được phát hiện.
Định luật phân bố vận tốc của các phân tử khí củaMaxwell là một công cụ cho phép bạn xác định xác suất phát hiện các hạt có vận tốc v cho trước trong hệ thống đang nghiên cứu. Hàm tương ứng có dạng như sau:
f (v)=(m / (2pikT))3/2 4piv2exp (-mv2/ (2kT)).
Trong biểu thức này, m -khối lượng hạt (phân tử), k - hằng số Boltzmann, T - nhiệt độ tuyệt đối. Do đó, nếu biết bản chất hóa học của các hạt (giá trị của m), thì hàm f (v) được xác định duy nhất bởi nhiệt độ tuyệt đối. Hàm f (v) được gọi là mật độ xác suất. Nếu chúng ta lấy tích phân từ nó cho một giới hạn tốc độ nào đó (v; v + dv), thì chúng ta nhận được số hạt Ni, có tốc độ trong khoảng thời gian xác định. Theo đó, nếu chúng ta lấy tích phân của mật độ xác suất f (v) cho các giới hạn vận tốc từ 0 đến ∞, thì chúng ta nhận được tổng số phân tử N trong hệ.
Biểu diễn đồ họa của mật độ xác suất f (v)
Hàm mật độ xác suất có dạng toán học hơi phức tạp, vì vậy không dễ biểu diễn hành vi của nó ở một nhiệt độ nhất định. Vấn đề này có thể được giải quyết nếu bạn mô tả nó trên một đồ thị hai chiều. Chế độ xem giản đồ của đồ thị phân phối Maxwell được hiển thị bên dưới trong hình.
Chúng ta thấy rằng nó bắt đầu từ 0, vì vận tốc v của các phân tử không thể có giá trị âm. Biểu đồ kết thúc ở đâu đó trong vùng tốc độ cao, giảm dần về 0 (f (∞) ->0). Đặc điểm sau cũng rất nổi bật: đường cong mượt mà không đối xứng, nó giảm mạnh hơn ở tốc độ nhỏ.
Một đặc điểm quan trọng của hoạt động của hàm mật độ xác suất f (v) là sự hiện diện của một cực đại được phát âm trên nó. Theo ý nghĩa vật lý của hàm, cực đại này tương ứng với giá trị có thể xảy ra nhất của vận tốc của các phân tử trong chất khíhệ thống.
Các tốc độ quan trọng đối với hàm f (v)
Hàm mật độ xác suất f (v) và biểu diễn đồ họa của nó cho phép chúng ta xác định ba loại tốc độ quan trọng.
Loại tốc độ đầu tiên hiển nhiên và đã được đề cập ở trên là tốc độ có thể xảy ra nhất v1. Trên đồ thị, giá trị của nó tương ứng với cực đại của hàm số f (v). Chính tốc độ này và các giá trị gần với nó sẽ có hầu hết các hạt của hệ thống. Không khó để tính toán nó, vì điều này là đủ để lấy đạo hàm bậc nhất đối với tốc độ của hàm f (v) và cân bằng nó bằng không. Theo kết quả của các phép toán này, chúng tôi nhận được kết quả cuối cùng:
v1=√ (2RT / M).
Ở đây R là hằng số khí phổ quát, M là khối lượng mol phân tử.
Loại tốc độ thứ hai là giá trị trung bình của nó đối với tất cả N hạt. Hãy ký hiệu nó v2. Nó có thể được tính bằng cách tích phân hàm vf (v) trên tất cả các vận tốc. Kết quả của tích hợp được lưu ý sẽ là công thức sau:
v2=√ (8RT / (piM)).
Vì tỷ lệ là 8 / pi>2 nên tốc độ trung bình luôn cao hơn một chút so với tốc độ có thể xảy ra nhất.
Mỗi người biết một chút về vật lý đều hiểu rằng vận tốc trung bình v2 của các phân tửphải có tầm quan trọng lớn trong hệ khí. Tuy nhiên, đây là một giả định sai lầm. Quan trọng hơn nhiều là tốc độ RMS. Hãy biểu thị nóv3.
Theo định nghĩa, vận tốc gốc-trung bình-bình phương là tổng bình phương các vận tốc riêng của tất cả các hạt, chia cho số lượng các hạt này và được lấy làm căn bậc hai. Nó có thể được tính cho phân phối Maxwell nếu chúng ta xác định tích phân trên tất cả các vận tốc của hàm v2 f (v). Công thức cho tốc độ trung bình bậc hai sẽ có dạng:
v3=√ (3RT / M).
Bằng nhau cho thấy tốc độ này lớn hơn v2và v1đối với bất kỳ hệ thống khí nào.
Vì vậy, tất cả các loại vận tốc được coi là trên đồ thị phân phối Maxwell đều nằm trên cực trị hoặc bên phải của nó.
Tầm quan trọng của v3
Ở trên đã lưu ý rằng vận tốc bình phương trung bình quan trọng hơn để hiểu các quá trình vật lý và tính chất của một hệ khí hơn là vận tốc trung bình đơn giản v2. Điều này đúng, vì động năng của khí lý tưởng phụ thuộc chính xác vào v3, chứ không phụ thuộc vào v2.
Nếu chúng ta coi là một khí lý tưởng có cấu trúc hình học, thì biểu thức sau đây đúng với nó:
mv32/ 2=3/2kT.
Ở đây, mỗi phần của phương trình biểu diễn động năng của một hạt khối lượng m. Tại sao biểu thức lại chứa chính xác giá trị v3mà không phải là tốc độ trung bình v2 ? Rất đơn giản: khi xác định động năng của mỗi hạt, vận tốc riêng v của nó là bình phương, khi đó mọi vận tốcđược cộng và chia cho số hạt N. Tức là, quy trình xác định động năng tự nó dẫn đến giá trị của vận tốc bình phương trung bình.
Sự phụ thuộc của hàm f (v) vào nhiệt độ
Ở trên chúng ta đã xác định rằng mật độ xác suất của vận tốc phân tử phụ thuộc duy nhất vào nhiệt độ. Hàm sẽ thay đổi như thế nào nếu T tăng hoặc giảm? Biểu đồ dưới đây sẽ giúp trả lời câu hỏi này.
Có thể thấy rằng sự nóng lên của hệ thống kín dẫn đến hiện tượng nhòe đỉnh và chuyển sang tốc độ cao hơn. Nhiệt độ tăng dẫn đến tăng tất cả các loại vận tốc và giảm mật độ xác suất của mỗi loại vận tốc. Giá trị đỉnh giảm do sự bảo toàn số hạt N trong một hệ kín.
Tiếp theo, chúng ta sẽ giải quyết một số vấn đề để củng cố tài liệu lý thuyết đã nhận.
Vấn đề với các phân tử nitơ trong không khí
Cần phải tính các tốc độ v1, v2và v3đối với nitơ không khí ở nhiệt độ 300 K (khoảng 27oC).
Khối lượng mol của nitơ N2là 28 g / mol. Sử dụng các công thức trên, chúng tôi nhận được:
v1=√ (2RT / M)=√ (28, 314300/0, 028)=422 m / s;
v2=√ (8RT / (piM))=√ (88, 314300 / (3, 140, 028))=476 m / s;
v3=√ (3RT / M)=√ (38, 314300/0, 028)=517 m / s.
Vấn đề về bình oxy
Ôxy trong xi lanh ở nhiệt độ nhất định T1. Sau đó, quả bóng bay được đặt trong một căn phòng lạnh hơn. Biểu đồ phân bố vận tốc Maxwell cho các phân tử oxy sẽ thay đổi như thế nào khi hệ thống đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt động lực học?
Nhớ lại lý thuyết, chúng ta có thể trả lời câu hỏi của bài toán theo cách này: giá trị của tất cả các dạng vận tốc của phân tử sẽ giảm, đỉnh của hàm f (v) sẽ dịch sang trái, ngày càng hẹp và cao hơn.
