Logarit: ví dụ và giải pháp

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Như bạn đã biết, khi nhân biểu thức với lũy thừa, số mũ của chúng luôn cộng lại (a^b a^c=a^{b + c). Định luật toán học này được Archimedes đưa ra, và sau đó, vào thế kỷ thứ 8, nhà toán học Virasen đã tạo ra một bảng các chỉ số nguyên. Chính họ đã phục vụ cho việc khám phá thêm về logarit. Có thể tìm thấy các ví dụ về việc sử dụng hàm này ở hầu hết mọi nơi, nơi cần đơn giản hóa phép nhân rườm rà thành phép cộng đơn giản. Nếu bạn dành 10 phút để đọc bài viết này, chúng tôi sẽ giải thích cho bạn logarit là gì và cách làm việc với chúng. Ngôn ngữ đơn giản và dễ tiếp cận.}

Định nghĩa trong toán học

Lôgarit là một biểu thức có dạng sau: log_ab=c c "mà bạn cần tăng cơ số" a "để cuối cùng nhận được giá trị" b”. Hãy phân tích logarit bằng các ví dụ, giả sử có một biểu thức log_{28. Làm thế nào để tìm ra câu trả lời? Rất đơn giản, bạn cần tìm một bằng sao cho từ 2 đến bằng yêu cầu bạn đạt 8. Sau khi thực hiện một số phép tính trong đầu, chúng ta nhận được số 3! Và đó là sự thật, bởi vì2 được nâng lên lũy thừa của 3 cho câu trả lời là 8.}

Các loại logarit

Đối với nhiều bạn học sinh, sinh viên, chủ đề này có vẻ phức tạp và khó hiểu, nhưng thực ra, logarit không đáng sợ như vậy, cái chính là hiểu được ý nghĩa chung của chúng và nhớ được tính chất cũng như một số quy tắc của chúng. Có ba loại biểu thức logarit riêng biệt:

1. Lôgarit tự nhiên ln a, trong đó cơ số là số Euler (e=2, 7).
2. Lôgarit thập phân lg a, trong đó cơ số là số 10.
3. Logarit của bất kỳ số b đến cơ số a>1.

Mỗi trong số chúng được giải theo cách tiêu chuẩn, bao gồm đơn giản hóa, rút gọn và sau đó rút gọn thành một logarit bằng cách sử dụng các định lý logarit. Để nhận được các giá trị chính xác của logarit, người ta nên nhớ các thuộc tính của chúng và thứ tự của các hành động khi giải chúng.

Quy tắc và một số hạn chế

Trong toán học, có một số quy tắc-giới hạn được chấp nhận như một tiên đề, nghĩa là, chúng không thể thương lượng và đúng. Ví dụ, không thể chia số cho số 0, và cũng không thể lấy căn chẵn từ số âm. Logarit cũng có các quy tắc riêng, theo đó bạn có thể dễ dàng học cách làm việc ngay cả với các biểu thức logarit dài và dung lượng:

• cơ số của "a" phải luôn lớn hơn 0, đồng thời không được bằng 1, nếu không biểu thức sẽ mất ý nghĩa, bởi vì "1" và "0" ở bất kỳ mức độ nào luôn luôn bằng giá trị của chúng;
• nếu a > 0, thì ab>0,hóa ra "c" cũng phải lớn hơn 0.

Cách giải logarit?

Ví dụ: được giao nhiệm vụ tìm câu trả lời cho phương trình 10^x=100. Rất dễ dàng, bạn cần chọn một lũy thừa như vậy, nâng số 10 lên, chúng ta nhận được 100. Điều này, tất nhiên Chà, lũy thừa bậc hai! 10^2=100.

Bây giờ hãy biểu diễn biểu thức này dưới dạng logarit. Ta nhận được log_{10100=2. Khi giải logarit, tất cả các thao tác thực tế đều hội tụ để tìm lũy thừa mà cơ số của logarit phải được nhập vào để thu được một số nhất định.}

Để xác định chính xác giá trị của bằng cấp chưa biết, bạn cần học cách làm việc với bảng độ. Nó trông như thế này:

Như bạn thấy, một số số mũ có thể được đoán bằng trực giác nếu bạn có tư duy kỹ thuật và kiến thức về bảng cửu chương. Tuy nhiên, các giá trị lớn hơn sẽ yêu cầu một bảng lũy thừa. Nó có thể được sử dụng ngay cả bởi những người không hiểu gì cả trong các chủ đề toán học phức tạp. Cột bên trái chứa các số (cơ số a), hàng trên cùng là giá trị của lũy thừa c, mà số a được nâng lên. Tại giao điểm, các ô xác định giá trị của các số là đáp số (ac=b). Ví dụ, chúng ta hãy lấy ô đầu tiên có số 10 và bình phương nó, chúng ta nhận được giá trị 100, được chỉ ra tại giao điểm của hai ô của chúng ta. Mọi thứ đều đơn giản và dễ dàng đến nỗi ngay cả những người thực tế nhất cũng sẽ hiểu!

Phương trình và bất phương trình

Hóa ra khiTrong những điều kiện nhất định, số mũ là lôgarit. Do đó, bất kỳ biểu thức số toán học nào cũng có thể được viết dưới dạng phương trình logarit. Ví dụ, 3⁴=81 có thể được viết dưới dạng logarit của 81 đến cơ số 3, là bốn (log₃81=4). Đối với độ âm, các quy tắc giống nhau: 2^-5=1/32 được viết dưới dạng logarit, chúng ta nhận được log_{2(1/32)=-5. Một trong những phần hấp dẫn nhất của toán học là chủ đề "logarit". Chúng ta sẽ xem xét các ví dụ và nghiệm của phương trình thấp hơn một chút, ngay sau khi nghiên cứu các tính chất của chúng. Bây giờ, hãy xem các bất đẳng thức trông như thế nào và cách phân biệt chúng với các phương trình.}

Biểu thức sau đây được cho: log_{2(x-1) > 3 - nó là một bất đẳng thức logarit, vì giá trị chưa biết "x" nằm dưới dấu của lôgarit. Biểu thức cũng so sánh hai giá trị: logarit cơ số hai của số mong muốn lớn hơn số ba.}

Sự khác biệt quan trọng nhất giữa phương trình logarit và bất phương trình là phương trình với logarit (ví dụ - logarit₂x=√9) _{ngụ ý trong câu trả lời, một hoặc nhiều giá trị số cụ thể, trong khi khi giải một bất đẳng thức, cả phạm vi giá trị chấp nhận được và điểm ngắt của hàm này đều được xác định. Do đó, câu trả lời không phải là một tập hợp các số riêng lẻ, như trong câu trả lời của phương trình, mà là một chuỗi hoặc tập hợp số liên tục.}

Các định lý cơ bản về logarit

Khi giải các công việc nguyên thủy để tìm giá trị của lôgarit, bạn có thể không biết các tính chất của nó. Tuy nhiên, khi nói đến phương trình hay bất phương trình logarit, trước hết cần hiểu rõ và vận dụng vào thực tế tất cả các tính chất cơ bản của logarit. Chúng ta sẽ làm quen với các ví dụ về phương trình ở phần sau, trước tiên hãy phân tích chi tiết hơn từng tính chất.

1. Danh tính cơ bản trông như thế này: alogaB=B. Nó chỉ áp dụng nếu a lớn hơn 0, không bằng một và B lớn hơn 0.
2. Lôgarit của tích có thể được biểu diễn theo công thức sau: log_d(s₁ s_2)=logd_s1_{+ log}d_s2._{Trong trường hợp này, điều kiện bắt buộc là: d, s}1_{và s}2_{> 0; a ≠ 1. Bạn có thể đưa ra một bằng chứng cho công thức này của logarit, với các ví dụ và lời giải. Cho log}a_s1_=f1_{và log}a_s2_=f2_{, thì a}f1^=s1_{, a}f2^=s2._{Chúng ta nhận được rằng s}1 _s2_=af1 ^af2^=af1 + f2^{(thuộc tính độ) và xa hơn theo định nghĩa: log}a_(s1 _s2 _)=f1_{+ f}2_=loga_{s1 + log}a_s2,_{đã được chứng minh.}
3. Lôgarit của thương có dạng như sau: log_a(s_{1 /}s₂)=log_as₁- log_as_2.
4. Định lý dưới dạng công thức có dạng sau: log_a^qbⁿ=n / q log_ab.

Công thức này được gọi là "thuộc tính bậc của lôgarit". Nó giống các tính chất của độ bình thường, và không có gì đáng ngạc nhiên, bởi vì tất cả toán học đều dựa trên các định đề thông thường. Hãy xem bằng chứng.

Cho log_ab=t, ta được a^t=b. Nếu bạn nâng cả hai bên đến lũy thừa m: a^tn=b^;

nhưng vì a^tn=(a^q)^{nt / q}=b^{, do đó nhật ký}aq _bn=(nt) / t, sau đó đăng nhập^a_q b_n=n / q log^ab. Định lý đã được chứng minh.

Ví dụ về các vấn đề và bất đẳng thức

Các dạng bài toán logarit phổ biến nhất là các ví dụ về phương trình và bất phương trình. Chúng được tìm thấy trong hầu hết các sách giải toán, và cũng được đưa vào phần bắt buộc của các kỳ thi môn toán. Để vào một trường đại học hoặc vượt qua các bài kiểm tra đầu vào môn toán, bạn cần biết cách giải các bài toán đó một cách chính xác.

Thật không may, không có phương án hoặc kế hoạch duy nhất nào để giải và xác định giá trị chưa biết của logarit, nhưng một số quy tắc nhất định có thể được áp dụng cho mỗi bất đẳng thức toán học hoặc phương trình logarit. Trước hết, bạn nên tìm hiểu xem biểu thức có thể được đơn giản hóa hoặc rút gọn về dạng tổng quát hay không. Bạn có thể đơn giản hóa các biểu thức logarit dài nếu bạn sử dụng các thuộc tính của chúng một cách chính xác. Hãy làm quen với họ sớm.

Khi giải phương trình logarit,cần phải xác định loại logarit mà chúng ta có trước chúng ta: ví dụ về một biểu thức có thể chứa một logarit tự nhiên hoặc một số thập phân.

Đây là các ví dụ về logarit thập phân: ln100, ln1026. Giải pháp của họ rút ra được thực tế là bạn cần xác định mức độ mà cơ số 10 sẽ tương ứng bằng 100 và 1026. Đối với các giải pháp của lôgarit tự nhiên, người ta phải áp dụng đồng nhất lôgarit hoặc các tính chất của chúng. Hãy xem các ví dụ về giải các bài toán lôgarit các dạng khác nhau.

Cách sử dụng công thức logarit: với các ví dụ và giải pháp

Vì vậy, hãy xem các ví dụ về việc sử dụng các định lý chính về logarit.

1. Thuộc tính lôgarit của tích có thể được sử dụng trong các công việc cần phân tích một giá trị lớn của số b thành các thừa số đơn giản hơn. Ví dụ: log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Câu trả lời là 9.}
2. log₄8=log_2²2³=3/2 log_{22=1, 5 - như bạn có thể thấy, bằng cách áp dụng tính chất thứ tư về bậc của logarit, chúng tôi đã giải được sơ bộ một biểu thức phức tạp và không thể giải quyết được. Tất cả những gì bạn phải làm là tính theo cơ số rồi lấy dấu của lôgarit.}

Bài tập từ kỳ thi

Logarit thường có trong các kỳ thi tuyển sinh, đặc biệt là rất nhiều bài toán về logarit trong Kỳ thi thống nhất cấp bang (kỳ thi cấp bang dành cho tất cả học sinh tốt nghiệp cấp trường). Thông thường những nhiệm vụ này không chỉ xuất hiện trong phần A (hầu hếtphần kiểm tra dễ của kỳ thi), nhưng cũng có phần C (các nhiệm vụ khó và đồ sộ nhất). Đề thi yêu cầu kiến thức chính xác và hoàn hảo về chủ đề "Lôgarit tự nhiên".

Các ví dụ và giải pháp vấn đề được lấy từ các phiên bản chính thức của kỳ thi. Hãy xem các nhiệm vụ như vậy được giải quyết như thế nào.

Cho log₂(2x-1)=4. Giải pháp:

viết lại biểu thức, đơn giản hóa một chút log_{2 (2x-1)=2}2^{, theo định nghĩa của logarit, chúng ta nhận được rằng 2x-1=2}4^{, do đó 2x=17; x=8, 5.}

Thực hiện theo một số hướng dẫn, sau đây bạn có thể dễ dàng giải tất cả các phương trình có chứa biểu thức dưới dấu của lôgarit.

• Tốt nhất là giảm tất cả các logarit về cùng một cơ số để giải pháp không rườm rà và khó hiểu.
• Tất cả các biểu thức dưới dấu logarit đều được biểu thị là dương, vì vậy khi nhân số mũ của biểu thức dưới dấu logarit và làm cơ số của nó, biểu thức còn lại dưới dấu logarit phải là số dương.