Tại từ "vô cực" mỗi người có những liên tưởng riêng. Nhiều người vẽ trong trí tưởng tượng của họ biển vượt ra ngoài đường chân trời, trong khi những người khác lại có hình ảnh bầu trời đầy sao vô tận trước mắt họ. Các nhà toán học, quen với việc vận hành với các con số, tưởng tượng về sự vô cực theo một cách hoàn toàn khác. Trong nhiều thế kỷ, họ đã cố gắng tìm ra đại lượng vật lý lớn nhất cần thiết để đo lường. Một trong số đó là số Graham. Có bao nhiêu số không trong đó và nó được sử dụng để làm gì, bài viết này sẽ cho biết.
Số lượng lớn vô hạn
Trong toán học, đây là tên của một biến x , nếu với bất kỳ số dương nào M cho trước, người ta có thể chỉ định một số tự nhiên N sao cho mọi số n lớn hơn N bất đẳng thức | x | > M. Tuy nhiên, không, chẳng hạn, số nguyên Z có thể được coi là lớn vô hạn, vì nó sẽ luôn nhỏ hơn (Z + 1).
Đôi lời về "đại gia"
Các số lớn nhất có ý nghĩa vật lý được coi là:
- 1080. Con số này, thường được gọi là quinquavigintillion, được sử dụng để biểu thị số lượng gần đúng các hạt quark và lepton (các hạt nhỏ nhất) trong Vũ trụ.
- 1 Google. Một số như vậy trong hệ thập phân được viết dưới dạng một đơn vị với 100 số không. Theo một số mô hình toán học, từ thời điểm xảy ra vụ nổ lớn đến vụ nổ của lỗ đen lớn nhất, sẽ trôi qua từ 1 đến 1,5 năm googol, sau đó vũ trụ của chúng ta sẽ chuyển sang giai đoạn tồn tại cuối cùng, tức là chúng ta có thể giả sử rằng con số này có một ý nghĩa vật lý nhất định.
- 8, 5 x 10185. Hằng số Planck là 1.616199 x 10-35m, tức là trong ký hiệu thập phân, nó có vẻ như là 0,000000000000000000000000000616199 m. Có khoảng 1 googol chiều dài Planck tính bằng inch. Người ta ước tính rằng độ dài khoảng 8,5 x 10185Planck có thể phù hợp với toàn bộ vũ trụ của chúng ta.
- 277 232 917- 1. Đây là số nguyên tố lớn nhất đã biết. Nếu ký hiệu nhị phân của nó có dạng khá nhỏ gọn, thì để mô tả nó ở dạng thập phân, nó sẽ mất không ít hơn 13 triệu ký tự. Nó được tìm thấy vào năm 2017 như một phần của dự án tìm kiếm số Mersenne. Nếu những người đam mê tiếp tục làm việc theo hướng này, thì với trình độ phát triển của công nghệ máy tính như hiện nay, trong tương lai gần, họ khó có thể tìm thấy một số Mersenne có bậc lớn hơn 277 232 917- 1, mặc dù vậyngười chiến thắng may mắn sẽ nhận được 150.000 đô la Mỹ.
- Hugoplex. Ở đây chúng tôi chỉ lấy 1 và thêm các số không vào sau nó với số lượng là 1 googol. Bạn có thể viết số này là 10 ^ 10 ^ 100. Không thể biểu diễn nó ở dạng thập phân, bởi vì nếu toàn bộ không gian của Vũ trụ được lấp đầy bởi các mảnh giấy, trên mỗi mảnh giấy số 0 sẽ được viết với cỡ chữ “Word” là 10, thì trong trường hợp này chỉ một nửa của tất cả 0 sau 1 sẽ được lấy cho số googolplex.
- 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 10 ^ 1.1. Đây là con số thể hiện số năm mà sau đó, theo định lý Poincaré, Vũ trụ của chúng ta, là kết quả của các biến động lượng tử ngẫu nhiên, sẽ trở lại trạng thái gần như ngày nay.
Làm thế nào mà các con số của Graham đến
Năm 1977, nhà phổ biến khoa học nổi tiếng Martin Gardner đã xuất bản một bài báo trên tạp chí Scientific American liên quan đến bằng chứng của Graham về một trong những vấn đề của lý thuyết Ramse. Trong đó, ông gọi giới hạn do nhà khoa học đặt ra là con số lớn nhất từng được sử dụng trong lập luận toán học nghiêm túc.
Ronald Lewis Graham là ai
Nhà khoa học, hiện đã 80 tuổi, sinh ra ở California. Năm 1962, ông nhận bằng Tiến sĩ toán học tại Đại học Berkeley. Ông đã làm việc tại Bell Labs trong 37 năm và sau đó chuyển đến AT&T Labs. Nhà khoa học tích cực hợp tác với một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thế kỷ 20, Pal Erdős, và là người giành được nhiều giải thưởng danh giá. Thư mục khoa học của Graham chứa hơn 320 bài báo khoa học.
Vào giữa những năm 70, nhà khoa học quan tâm đến vấn đề gắn liền với lý thuyếtRamsey. Trong bằng chứng của nó, giới hạn trên của giải pháp đã được xác định, là một số rất lớn, sau đó được đặt theo tên của Ronald Graham.
Vấn đề siêu khối
Để hiểu bản chất của số Graham, trước tiên bạn phải hiểu cách nó được tạo ra.
Nhà khoa học và đồng nghiệp Bruce Rothschild đang giải quyết vấn đề sau:
Có một siêu hình lập phương n chiều. Tất cả các cặp đỉnh của nó được kết nối theo cách sao cho một đồ thị hoàn chỉnh có 2 đỉnh. Mỗi cạnh của nó có màu xanh lam hoặc đỏ. Yêu cầu phải tìm số đỉnh tối thiểu mà một siêu hình lập phương phải có để mỗi màu như vậy chứa một đồ thị con đơn sắc hoàn chỉnh với 4 đỉnh nằm trong cùng một mặt phẳng.
Quyết
Graham và Rothschild đã chứng minh rằng bài toán có nghiệm N 'thỏa mãn điều kiện 6 ⩽ N' ⩽N trong đó N là một số rất lớn, được xác định rõ.
Giới hạn dưới của N sau đó đã được các nhà khoa học khác tinh chỉnh, họ đã chứng minh rằng N phải lớn hơn hoặc bằng 13. Do đó, biểu thức cho số đỉnh nhỏ nhất của một siêu hình lập phương thỏa mãn các điều kiện trình bày ở trên trở thành 13 ⩽ N'⩽ N.
Ký hiệu mũi tênKnuth
Trước khi xác định số Graham, bạn nên tự làm quen với phương pháp biểu diễn ký hiệu của nó, vì cả ký hiệu thập phân và nhị phân đều không hoàn toàn phù hợp cho việc này.
Hiện tại, ký hiệu mũi tên của Knuth được sử dụng để biểu thị số lượng này. Theo cô ấy:
ab=a "mũi tên lên" b.
Đối với hoạt động của nhiều lũy thừa, mục nhập đã được giới thiệu:
a "mũi tên lên" "mũi tên lên" b=ab="tháp bao gồm a với số lượng b mảnh."
Và để cộng dồn, tức là ký hiệu tượng trưng cho phép lũy thừa lặp lại của toán tử trước đó, Knuth đã sử dụng 3 mũi tên.
Sử dụng ký hiệu này cho số Graham, chúng ta có các chuỗi "mũi tên" lồng vào nhau, với số lượng là 64 chiếc.
Quy mô
Con số nổi tiếng của họ, kích thích trí tưởng tượng và mở rộng ranh giới của ý thức con người, đưa nó vượt ra ngoài giới hạn của Vũ trụ, Graham và các đồng nghiệp của ông đã lấy nó làm giới hạn trên cho số N trong bằng chứng về siêu khối vấn đề đã trình bày ở trên. Một người bình thường khó có thể tưởng tượng được quy mô của nó lớn đến mức nào.
Câu hỏi về số ký tự, hoặc đôi khi người ta nói nhầm, số không trong số của Graham, là mối quan tâm của hầu hết mọi người lần đầu tiên nghe về giá trị này.
Chỉ cần nói rằng chúng tôi đang đối mặt với một chuỗi đang phát triển nhanh chóng bao gồm 64 thành viên. Ngay cả số hạng đầu tiên của nó là không thể tưởng tượng được, vì nó bao gồm n "tháp", bao gồm 3-đến. "Tầng dưới" của nó đã gấp 3 lần tương đương với 7.625.597.484.987, tức là nó vượt quá 7 tỷ, tức là về tầng 64 (không phải là thành viên!). Vì vậy, hiện tại không thể nói chính xác số Graham là bao nhiêu, vì nó không đủ để tính toán nó.sức mạnh tổng hợp của tất cả các máy tính tồn tại trên Trái đất ngày nay.
Kỷ lục bị phá vỡ?
Trong quá trình chứng minh định lý Kruskal, số Graham đã bị "ném khỏi bệ của nó". Nhà khoa học đề xuất vấn đề sau:
Có một dãy vô hạn các cây hữu hạn. Kruskal đã chứng minh rằng luôn tồn tại một phần của đồ thị nào đó, phần này vừa là một phần của đồ thị lớn hơn vừa là bản sao chính xác của nó. Tuyên bố này không làm dấy lên bất kỳ nghi ngờ nào, vì rõ ràng là sẽ luôn có một tổ hợp lặp lại chính xác ở vô cực
Sau đó, Harvey Friedman đã phần nào thu hẹp vấn đề này bằng cách chỉ xem xét các đồ thị (cây) vòng sao cho một đồ thị cụ thể với hệ số i có nhiều nhất (i + k) đỉnh. Anh ấy quyết định tìm ra số lượng đồ thị xoay vòng phải là bao nhiêu, để với phương pháp này, nhiệm vụ của họ luôn có thể tìm thấy một cây con sẽ được nhúng vào một cây khác.
Kết quả của nghiên cứu về vấn đề này, người ta thấy rằng N, phụ thuộc vào k, phát triển với tốc độ khủng khiếp. Đặc biệt, nếu k=1, thì N=3. Tuy nhiên, tại k=2, N đã đạt tới 11. Điều thú vị nhất bắt đầu khi k=3. Trong trường hợp này, N nhanh chóng "cất cánh" và đạt giá trị đó. lớn hơn nhiều lần so với số Graham. Để hình dung nó lớn như thế nào, chỉ cần viết con số được Ronald Graham tính toán dưới dạng G64 (3) là đủ. Khi đó giá trị Friedman-Kruskal (phiên bản FinKraskal (3)), sẽ có thứ tự là G (G (187196)). Nói cách khác, thu được một giá trị lớn, lớn hơn vô hạnmột số Graham lớn không thể tưởng tượng được. Đồng thời, thậm chí nó sẽ nhỏ hơn vô cực một số lần khổng lồ. Sẽ rất hợp lý khi nói chi tiết hơn về khái niệm này.
Vô
Bây giờ chúng ta đã giải thích số Graham trên ngón tay là gì, chúng ta nên hiểu ý nghĩa đã và đang được đầu tư vào khái niệm triết học này. Xét cho cùng, “vô cùng” và “một số lớn vô hạn” có thể được coi là giống hệt nhau trong một ngữ cảnh nhất định.
Đóng góp lớn nhất cho việc nghiên cứu vấn đề này là do Aristotle thực hiện. Các nhà tư tưởng vĩ đại của thời cổ đại đã phân chia vô hạn thành tiềm năng và thực tế. Sau này, ông ấy muốn nói đến thực tế về sự tồn tại của những thứ vô hạn.
Theo Aristotle, các nguồn ý tưởng về khái niệm cơ bản này là:
- thời gian;
- tách các giá trị;
- khái niệm về biên giới và sự tồn tại của một thứ gì đó bên ngoài nó;
- sự vô tận của bản chất sáng tạo;
- tư duy không có giới hạn.
Trong cách giải thích hiện đại về vô cực, bạn không thể chỉ định một thước đo định lượng, vì vậy việc tìm kiếm số lớn nhất có thể tiếp tục mãi mãi.
Kết
Phép ẩn dụ "Nhìn vào vô cực" và con số của Graham có thể được coi là đồng nghĩa theo một nghĩa nào đó không? Đúng hơn là có và không. Cả hai đều không thể tưởng tượng được, ngay cả với trí tưởng tượng mạnh nhất. Tuy nhiên, như đã đề cập, nó không thể được coi là "nhiều nhất, nhiều nhất." Một điều khác là tại thời điểm này, các giá trị lớn hơn số Graham không cócảm giác vật lý.
Ngoài ra, nó không có các thuộc tính của số vô hạn, chẳng hạn như:
- ∞ + 1=∞;
- có vô hạn cả số lẻ và số chẵn;
- ∞ - 1=∞;
- số lượng các số lẻ bằng chính xác một nửa của tất cả các số;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞ / 2=∞.
Tóm lại: Số của Graham là số lớn nhất trong thực hành chứng minh toán học, theo Sách Kỷ lục Guinness. Tuy nhiên, có những con số lớn hơn giá trị này nhiều lần.
Rất có thể, trong tương lai sẽ cần những "người khổng lồ" lớn hơn nữa, đặc biệt nếu một người vượt ra khỏi hệ mặt trời của chúng ta hoặc phát minh ra thứ gì đó không thể tưởng tượng được ở cấp độ hiện tại của ý thức chúng ta.
