Đạo hàm của cosin được tìm thấy bằng phép tương tự với đạo hàm của sin, cơ sở của chứng minh là định nghĩa giới hạn của hàm số. Bạn có thể sử dụng một phương pháp khác, sử dụng các công thức rút gọn lượng giác cho cosin và sin của các góc. Biểu thị một hàm dưới dạng hàm khác - cosin theo sin và phân biệt sin bằng một đối số phức tạp.
Hãy xem xét ví dụ đầu tiên về suy ra công thức (Cos (x)) '
Cho một gia số nhỏ không đáng kể Δx đối với đối số x của hàm y=Cos (x). Với giá trị mới của đối số х + Δх, chúng ta thu được giá trị mới của hàm Cos (х + Δх). Khi đó số gia hàm Δy sẽ bằng Cos (х + Δx) -Cos (x).
Tỷ số của số gia hàm với Δх sẽ là: (Cos (х + Δx) -Cos (x)) / Δх. Hãy thực hiện các phép biến đổi giống hệt nhau trong tử số của phân số thu được. Nhắc lại công thức tính hiệu số cosin của các góc, kết quả sẽ là tích -2Sin (Δx / 2) nhân với Sin (x + Δx / 2). Chúng ta thấy giới hạn của thương số lim của tích này trên Δx là Δx có xu hướng bằng không. Được biết, đầu tiên(được gọi là tuyệt vời) giới hạn lim (Sin (Δx / 2) / (Δx / 2)) bằng 1, và giới hạn -Sin (x + Δx / 2) bằng -Sin (x) là Δx có xu hướng bằng không. Viết ra kết quả: đạo hàm của (Cos (x)) 'bằng - Sin (x).
Một số người thích cách thứ hai để suy ra cùng một công thức
Từ khóa lượng giác đã biết: Cos (x) bằng Sin (0, 5 ∏-x), tương tự Sin (x) bằng Cos (0, 5 ∏-x). Sau đó, chúng ta phân biệt một hàm phức - sin của góc bổ sung (thay vì cosin x).
Chúng ta nhận được tích Cos (0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x) ', bởi vì đạo hàm của sin x bằng côsin X. Chúng ta chuyển sang công thức thứ hai Sin (x)=Cos (0,5 ∏-x) thay thế cosin bằng sin, xét rằng (0,5 ∏-x) '=-1. Bây giờ chúng ta nhận được -Sin (x). Vì vậy, đạo hàm của cosin được tìm thấy, y '=-Sin (x) cho hàm y=Cos (x).
Đạo hàm cosin bình phương
Một ví dụ thường được sử dụng trong đó đạo hàm côsin được sử dụng. Hàm y=Cos2(x) là hàm khó. Đầu tiên chúng ta tìm vi phân của hàm lũy thừa với số mũ 2, nó sẽ là 2 · Cos (x), sau đó chúng ta nhân nó với đạo hàm (Cos (x)) ', bằng -Sin (x). Ta được y '=-2 Cos (x) Sin (x). Khi chúng ta áp dụng công thức Sin (2x), sin của một góc kép, chúng ta nhận được đơn giản cuối cùng làanswer y '=-Sin (2x)
Hàm hyperbolic
Chúng được sử dụng trong nghiên cứu của nhiều ngành kỹ thuật: chẳng hạn như trong toán học, chúng tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính tích phân, giải phương trình vi phân. Chúng được biểu diễn dưới dạng các hàm lượng giác với ảođối số, do đó cosin hyperbolic ch (x)=Cos (i x), trong đó i là đơn vị ảo, sin hyperbolic sh (x)=Sin (i x).
Đạo hàm của cosin hyperbol được tính khá đơn giản.
Xét hàm y=(ex+ e-x) / 2, đây và là cosin hypebol ch (x). Chúng ta sử dụng quy tắc tìm đạo hàm của tổng hai biểu thức, quy tắc lấy hằng số (Const) ra khỏi dấu của đạo hàm. Số hạng thứ hai 0,5 e-xlà một hàm phức (đạo hàm của nó là -0,5 e-x), 0,5 eх- nhiệm kỳ đầu tiên. (ch (x)) '=((ex+ e-x) / 2)' có thể được viết theo cách khác: (0, 5 ex+ 0, 5 e-x) '=0, 5 ex-0, 5 e-x, vì đạo hàm (e - x ) 'bằng -1 lần e-x. Kết quả là một sự khác biệt và đây là sin hyperbolic sh (x).Output: (ch (x)) '=sh (x).
Hãy xem một ví dụ về cách tính đạo hàm của hàm số y=ch (x
3+ 1).Theo quy tắc phân biệt cosin hyperbol với đối số phức y '=sh (x
3+ 1) (x3+ 1) ', trong đó (x3+ 1)'=3 x2+ 0.Trả lời: đạo hàm của hàm này là 3 x
2sh (x3+ 1).
Đạo hàm dạng bảng của các hàm được xem xét y=ch (x) và y=Cos (x)
Khi giải các ví dụ, không cần phân biệt từng lần theo sơ đồ đã cho, chỉ cần dùng suy luận là đủ.
Ví dụ. Phân biệt hàm số y=Cos (x) + Cos2(- x) -Ch (5 x). Dễ tính (sử dụng dữ liệu dạng bảng), y '=-Sin (x) + Sin (2 x) -5 Sh (5 x).
