Định luật bảo toàn động lượng và mômen động lượng: một ví dụ về giải bài toán

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Khi bạn phải giải các bài toán vật lý về chuyển động của các vật thể, việc áp dụng định luật bảo toàn động lượng thường rất hữu ích. Động lượng cho chuyển động thẳng và tròn của vật thể là gì và bản chất của định luật bảo toàn giá trị này là gì sẽ được thảo luận trong bài viết.

Khái niệm về động lượng tuyến tính

Dữ liệu lịch sử cho thấy lần đầu tiên giá trị này được Galileo Galilei xem xét trong các công trình khoa học của mình vào đầu thế kỷ 17. Sau đó, Isaac Newton đã có thể tích hợp một cách hài hòa khái niệm động lượng (một tên gọi chính xác hơn của động lượng) vào lý thuyết cổ điển về chuyển động của các vật thể trong không gian.

Biểu thị động lượng là p¯, sau đó công thức tính nó sẽ được viết là:

p¯=mv¯.

Ở đây m là khối lượng, v¯ là tốc độ (giá trị vectơ) của chuyển động. Đẳng thức này cho thấy rằng lượng chuyển động là đặc tính vận tốc của một vật, trong đó khối lượng đóng vai trò là một hệ số nhân. Số lượng chuyển độnglà đại lượng vectơ chỉ cùng phương với vận tốc.

Theo trực giác, tốc độ chuyển động và khối lượng của vật thể càng lớn thì việc ngăn chặn nó càng khó, tức là động năng nó có càng lớn.

Số lượng chuyển động và sự thay đổi của nó

Bạn có thể đoán rằng để thay đổi giá trị p¯ của phần thân, bạn cần phải tác động một số lực. Để lực F¯ tác dụng trong khoảng thời gian Δt, khi đó định luật Newton cho phép ta viết đẳng thức:

F¯Δt=ma¯Δt; do đó F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Giá trị bằng tích của khoảng thời gian Δt và lực F¯ được gọi là xung lực của lực này. Vì nó hóa ra bằng với sự thay đổi của động lượng, nên sau này thường được gọi đơn giản là động lượng, cho thấy rằng một lực bên ngoài nào đó F¯ đã tạo ra nó.

Như vậy, lý do của sự thay đổi động lượng là động lượng của ngoại lực. Giá trị của Δp¯ có thể dẫn đến việc tăng giá trị của p¯ nếu góc giữa F¯ và p¯ là góc nhọn và giảm mô đun của p¯ nếu góc này là góc tù. Các trường hợp đơn giản nhất là gia tốc của vật (góc giữa F¯ và p¯ bằng 0) và giảm tốc của nó (góc giữa vectơ F¯ và p¯ là 180o).

Khi động lượng được bảo toàn: luật

Nếu hệ thống cơ thể khôngcác lực bên ngoài tác động, và tất cả các quá trình trong đó chỉ bị giới hạn bởi tương tác cơ học của các thành phần của nó, khi đó mỗi thành phần của động lượng không thay đổi trong một thời gian dài tùy ý. Đây là định luật bảo toàn động lượng của các vật thể, được viết bằng toán học như sau:

p¯=∑_ip_{i¯=const hoặc}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

Chỉ số con i là một số nguyên liệt kê đối tượng của hệ thống và các chỉ số x, y, z mô tả các thành phần động lượng cho mỗi trục tọa độ trong hệ hình chữ nhật Descartes.

Trong thực tế, thường cần giải các bài toán một chiều đối với va chạm của các vật thể, khi đã biết các điều kiện ban đầu, và cần xác định trạng thái của hệ thống sau va chạm. Trong trường hợp này, động lượng luôn được bảo toàn, không thể nói về động năng. Trước và sau va chạm sẽ không thay đổi trong một trường hợp duy nhất: khi có tương tác đàn hồi tuyệt đối. Đối với trường hợp va chạm này của hai vật chuyển động với các vận tốc v₁và v_{2,công thức bảo toàn động lượng sẽ có dạng:}

m₁ v₁+ m₂ v₂=m₁ u₁+ m₂ u 2_.

Ở đây, các vận tốc u₁và u_{2đặc trưng cho chuyển động của các vật thể sau va chạm. Lưu ý rằng ở dạng định luật bảo toàn này, cần tính đến dấu của các vận tốc: nếu chúng hướng vào nhau thì mộttích cực và tiêu cực khác.}

Đối với va chạm hoàn toàn không đàn hồi (hai vật dính vào nhau sau va chạm), định luật bảo toàn động lượng có dạng:

m₁ v₁+ m₂ v₂=(m₁+ m_2)u.

Lời giải của bài toán về định luật bảo toàn p¯

Hãy giải bài toán sau: hai quả bóng lăn về phía nhau. Khối lượng của các quả bóng là như nhau, và tốc độ của chúng là 5 m / s và 3 m / s. Giả sử rằng có một va chạm đàn hồi tuyệt đối, cần phải tìm vận tốc của các quả bóng sau nó.

Sử dụng định luật bảo toàn động lượng cho trường hợp một chiều và có tính đến động năng được bảo toàn sau va chạm, ta viết:

v_{1 -}v₂=u₁+ u_2;

v₁²+ v₂^2=u12^{+ u}22^.

Ở đây chúng tôi ngay lập tức giảm khối lượng của các quả bóng do chúng bằng nhau và cũng tính đến thực tế là các vật thể chuyển động về phía nhau.

Việc tiếp tục giải quyết hệ thống sẽ dễ dàng hơn nếu bạn thay thế dữ liệu đã biết. Chúng tôi nhận được:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Thay u_{1vào phương trình thứ hai, ta được:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+ u₂ 2^{=4 - 4u}2_{+ 2u}22^{; vì thế,u}22^{- 2u}2_{- 15=0.}

Chúng tôi có phương trình bậc hai cổ điển. Chúng tôi giải quyết nó thông qua phân biệt, chúng tôi nhận được:

D=4 - 4 (-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m / c.}

Chúng tôi có hai giải pháp. Nếu chúng ta thay chúng vào biểu thức đầu tiên và xác định u₁, thì chúng ta nhận được giá trị sau: u₁=-3 m / s, u₂=5 m / s; u₁=5 m / s, u_{2=-3 m / s. Cặp số thứ hai được đưa ra trong điều kiện của bài toán, vì vậy nó không tương ứng với phân phối thực của vận tốc sau va chạm.}

Như vậy, chỉ còn lại một nghiệm: u₁=-3 m / s, u_{2=5 m / s. Kết quả gây tò mò này có nghĩa là trong một va chạm đàn hồi trung tâm, hai quả cầu có khối lượng bằng nhau chỉ đơn giản là trao đổi vận tốc của chúng.}

Khoảnh khắc lấy đà

Mọi thứ đã nói ở trên đề cập đến loại chuyển động tuyến tính. Tuy nhiên, nó chỉ ra rằng các đại lượng tương tự cũng có thể được đưa vào trong trường hợp chuyển động tròn của các vật thể quanh một trục nhất định. Mômen động lượng hay còn gọi là mômen động lượng được tính bằng tích của vectơ nối chất điểm với trục quay và động lượng của điểm này. Đó là, công thức diễn ra:

L¯=r¯p¯, trong đó p¯=mv¯.

Momentum, giống như p¯, là một vectơ có hướng vuông góc với mặt phẳng được xây dựng trên các vectơ r¯ và p¯.

Giá trị của L¯ là một đặc tính quan trọng của hệ quay, vì nó xác định năng lượng được lưu trữ trong đó.

Mômen động lượng và định luật bảo toàn

Mômen động lượng được bảo toàn nếu không có ngoại lực tác dụng lên hệ (thường người ta nói rằng không có mômen lực). Biểu thức trong đoạn văn trước, thông qua các phép biến đổi đơn giản, có thể viết ở dạng thuận tiện hơn cho việc luyện tập:

L¯=Iω¯, trong đó I=mr2là momen quán tính của chất điểm, ω¯ là vận tốc góc.

Mômen quán tính I, xuất hiện trong biểu thức, có cùng ý nghĩa đối với chuyển động quay như khối lượng thông thường đối với chuyển động thẳng.

Nếu có bất kỳ sự sắp xếp lại bên trong của hệ thống, trong đó I thay đổi, thì ω¯ cũng không phải là hằng số. Hơn nữa, sự thay đổi của cả hai đại lượng vật lý xảy ra theo cách mà đẳng thức dưới đây vẫn có giá trị:

I₁ ω₁¯=I₂ ω_2¯.

Đây là định luật bảo toàn momen động lượng L¯. Biểu hiện của nó đã được quan sát bởi tất cả những người ít nhất một lần tham dự ba lê hoặc trượt băng nghệ thuật, nơi các vận động viên biểu diễn pirouettes với chuyển động xoay.