Một đối tượng hình học quan trọng được nghiên cứu trong không gian phẳng là một đường thẳng. Trong không gian ba chiều, ngoài đường thẳng còn có mặt phẳng. Cả hai đối tượng đều được xác định thuận tiện bằng cách sử dụng vectơ hướng. Đó là gì, những vectơ này được sử dụng như thế nào để xác định phương trình của một đường thẳng và một mặt phẳng? Những câu hỏi này và những câu hỏi khác được đề cập trong bài viết.
Đường thẳng và cách xác định nó
Mỗi học sinh có một ý tưởng tốt về đối tượng hình học mà họ đang nói đến. Theo quan điểm của toán học, một đường thẳng là một tập hợp các điểm, trong trường hợp nối đôi tùy ý của chúng, dẫn đến một tập các vectơ song song. Định nghĩa này về một đường được sử dụng để viết phương trình cho nó theo cả hai chiều và ba chiều.
Để mô tả đối tượng một chiều được coi là, các loại phương trình khác nhau được sử dụng, được liệt kê trong danh sách dưới đây:
- xem chung;
- tham số;
- véc tơ;
- chính tắc hoặc đối xứng;
- trong các phân đoạn.
Mỗi loài này đều có một số ưu điểm hơn những loài khác. Ví dụ, một phương trình trong các đoạn rất thuận tiện để sử dụng khi nghiên cứu hành vi của một đường thẳng so với các trục tọa độ, một phương trình tổng quát thuận tiện khi tìm phương vuông góc với một đường thẳng cho trước, cũng như khi tính toán góc của nó. giao điểm với trục x (đối với trường hợp phẳng).
Vì chủ đề của bài viết này liên quan đến vectơ chỉ phương của một đường thẳng, chúng ta sẽ chỉ xem xét phương trình trong đó vectơ này là cơ bản và được chứa một cách rõ ràng, tức là biểu thức vectơ.
Chỉ định một đường thẳng qua một vectơ
Giả sử chúng ta có một số vectơ v¯ có tọa độ đã biết (a; b; c). Vì có ba tọa độ nên vectơ được cho trong không gian. Làm thế nào để mô tả nó trong một hệ thống tọa độ hình chữ nhật? Điều này được thực hiện rất đơn giản: trên mỗi trục trong ba trục, một đoạn được vẽ, độ dài của đoạn đó bằng tọa độ tương ứng của vectơ. Giao điểm của ba đường vuông góc được khôi phục trên các mặt phẳng xy, yz và xz sẽ là điểm cuối của vectơ. Khởi đầu của nó là điểm (0; 0; 0).
Tuy nhiên, vị trí đã cho của vectơ không phải là vị trí duy nhất. Tương tự, người ta có thể vẽ v¯ bằng cách đặt điểm gốc của nó tại một điểm tùy ý trong không gian. Những lập luận này nói rằng không thể thiết lập một dòng cụ thể bằng cách sử dụng một vectơ. Nó xác định một họ gồm vô số đường thẳng song song.
Bây giờcố định một số điểm P (x0; y0; z0) của không gian. Và ta đặt điều kiện: một đường thẳng phải đi qua P. Trong trường hợp này, vectơ v¯ cũng phải chứa điểm này. Thực tế cuối cùng có nghĩa là một dòng duy nhất có thể được xác định bằng cách sử dụng P và v¯. Nó sẽ được viết dưới dạng phương trình sau:
Q=P + λ × v¯
Ở đây Q là bất kỳ điểm nào thuộc đoạn thẳng. Điểm này có thể đạt được bằng cách chọn tham số λ thích hợp. Phương trình đã viết được gọi là phương trình vectơ, và v¯ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Bằng cách sắp xếp nó sao cho nó đi qua P và thay đổi độ dài của nó với tham số λ, chúng ta nhận được mỗi điểm của Q là một đường thẳng.
Ở dạng tọa độ, phương trình sẽ được viết như sau:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Và ở dạng rõ ràng (tham số), bạn có thể viết:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Nếu chúng ta loại trừ tọa độ thứ ba trong các biểu thức trên, thì chúng ta nhận được phương trình vectơ của đường thẳng trên mặt phẳng.
Biết vectơ hướng sẽ hữu ích cho những công việc gì?
Theo quy tắc, đây là các nhiệm vụ để xác định độ song song và vuông góc của các đường. Ngoài ra, vectơ trực tiếp xác định hướng được sử dụng khi tính khoảng cách giữa các đường thẳng và một điểm và một đường thẳng, để mô tả hoạt động của một đường thẳng so với mặt phẳng.
Haicác đường thẳng sẽ song song nếu vectơ chỉ phương của chúng. Theo đó, tính vuông góc của các đường được chứng minh bằng cách sử dụng tính vuông góc của các vectơ của chúng. Trong các dạng bài toán này, chỉ cần tính tích vô hướng của các vectơ được coi là đủ để có câu trả lời.
Trong trường hợp nhiệm vụ tính khoảng cách giữa các đường và điểm, vectơ hướng được đưa vào công thức tương ứng một cách rõ ràng. Hãy viết nó ra:
d=| [P1P2¯ × v¯] | / | v¯ |
Đây P1P2¯ - được xây dựng trên các điểm P1và P2phân đoạn đạo. Điểm P2là tùy ý, nằm trên đường thẳng với vectơ v¯, trong khi điểm P1là điểm có khoảng cách đến được xác định. Nó có thể độc lập hoặc thuộc về một đường thẳng hoặc mặt phẳng khác.
Lưu ý rằng chỉ nên tính khoảng cách giữa các đường khi chúng song song hoặc cắt nhau. Nếu chúng cắt nhau thì d bằng 0.
Công thức trên cho d cũng có giá trị để tính khoảng cách giữa mặt phẳng và đường thẳng song song với nó, chỉ trong trường hợp này P1nên thuộc mặt phẳng.
Hãy giải quyết một số vấn đề để hiển thị tốt hơn cách sử dụng vectơ được xem xét.
Bài toán phương trình véc tơ
Người ta biết rằng một đường thẳng được mô tả bởi phương trình sau:
y=3 × x - 4
Bạn nên viết biểu thức thích hợp trongdạng vectơ.
Đây là một phương trình điển hình của một đường thẳng, được mọi học sinh biết đến, được viết dưới dạng tổng quát. Hãy chỉ cách viết lại nó ở dạng vectơ.
Biểu thức có thể được biểu diễn dưới dạng:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Có thể thấy rằng nếu bạn mở nó ra, bạn sẽ có được sự bình đẳng ban đầu. Bây giờ chúng ta chia vế phải của nó thành hai vectơ sao cho chỉ một vectơ trong chúng chứa x, chúng ta có:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Vẫn lấy x ra khỏi dấu ngoặc, chỉ định nó bằng ký hiệu Hy Lạp và hoán đổi các vectơ ở phía bên phải:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Chúng ta có dạng vectơ của biểu thức ban đầu. Tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng là (1; 3).
Nhiệm vụ xác định vị trí tương đối của các dòng
Hai dòng được cho trong khoảng trắng:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Chúng song song, cắt nhau hay cắt nhau?
Các vectơ khác 0 (-1; 3; 1) và (1; 2; 0) sẽ là hướng dẫn cho các dòng này. Chúng ta hãy biểu diễn các phương trình này dưới dạng tham số và thay các tọa độ của phương trình thứ nhất thành phương trình thứ hai. Chúng tôi nhận được:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3/2 × λ - 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Thay tham số tìm được λ vào hai phương trình trên, ta được:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3/2 × λ - 1=5
Tham số γ không thể nhận hai giá trị khác nhau cùng một lúc. Điều này có nghĩa là các đường không có một điểm chung duy nhất, đó là chúng giao nhau. Chúng không song song, vì các vectơ khác 0 không song song với nhau (đối với sự song song của chúng, phải có một số mà bằng cách nhân với một vectơ, sẽ dẫn đến tọa độ của thứ hai).
Mô tả toán học của mặt phẳng
Để thiết lập một mặt phẳng trong không gian, chúng ta đưa ra một phương trình tổng quát:
A × x + B × y + C × z + D=0
Ở đây các chữ cái viết hoa Latinh đại diện cho các số cụ thể. Ba đầu tiên trong số họ xác định tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Nếu nó được ký hiệu là n¯, thì:
n¯=(A; B; C)
Vectơ này vuông góc với mặt phẳng nên được gọi là hướng dẫn. Kiến thức của nó, cũng như tọa độ đã biết của bất kỳ điểm nào thuộc mặt phẳng, xác định duy nhất điểm sau.
Nếu điểm P (x1; y1; z1) thuộc mặt phẳng, thì điểm chặn D được tính như sau:
D=-1 × (A × x1+ B × y1+ C × z1)
Hãy giải một vài vấn đề bằng cách sử dụng phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhiệm vụ chotìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mặt phẳng được xác định như sau:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Làm thế nào để tìm một vectơ chỉ đường cho cô ấy?
Từ lý thuyết trên, ta thấy rằng tọa độ của vectơ pháp tuyến n¯ là các hệ số đứng trước các biến. Về vấn đề này, để tìm n¯, phương trình cần được viết ở dạng tổng quát. Chúng tôi có:
1/3 × x + 1/2 × y - 1/4 × z - 13/6=0
Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Bài toán lập phương trình mặt phẳng
Tọa độ của ba điểm được cho là:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Phương trình của mặt phẳng chứa tất cả các điểm này sẽ như thế nào.
Qua ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng chỉ vẽ được một mặt phẳng. Để tìm phương trình của nó, trước hết ta tính vectơ chỉ phương của mặt phẳng n¯. Để làm điều này, chúng ta tiến hành như sau: chúng ta tìm hai vectơ tùy ý thuộc mặt phẳng và tính tích vectơ của chúng. Nó sẽ cho một vectơ sẽ vuông góc với mặt phẳng này, nghĩa là, n¯. Chúng tôi có:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Lấy điểm M1để vẽbiểu thức mặt phẳng. Chúng tôi nhận được:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Chúng tôi đã thu được một biểu thức kiểu tổng quát cho một mặt phẳng trong không gian bằng cách xác định trước một vectơ chỉ phương cho nó.
Thuộc tính tích chéo cần được ghi nhớ khi giải các bài toán với mặt phẳng, vì nó cho phép bạn xác định tọa độ của vectơ pháp tuyến một cách đơn giản.
