Lý thuyết xác suất làm việc với các biến ngẫu nhiên. Đối với các biến ngẫu nhiên, có cái gọi là luật phân phối. Định luật như vậy mô tả biến ngẫu nhiên của nó với tính hoàn chỉnh tuyệt đối. Tuy nhiên, khi làm việc với các tập biến ngẫu nhiên thực, thường rất khó thiết lập ngay quy luật phân phối của chúng và bị giới hạn trong một tập hợp các đặc trưng số nhất định. Ví dụ: tính toán giá trị trung bình và phương sai của một biến ngẫu nhiên thường rất hữu ích.
Tại sao cần
Nếu bản chất của kỳ vọng toán học gần với giá trị trung bình của đại lượng, thì trong trường hợp này, sự phân tán cho biết các giá trị của đại lượng của chúng ta được phân tán như thế nào xung quanh kỳ vọng toán học này. Ví dụ: nếu chúng ta đo chỉ số IQ của một nhóm người và muốn kiểm tra kết quả đo (mẫu), kỳ vọng toán học sẽ hiển thị giá trị trung bình gần đúng của thương số thông minh cho nhóm người này và nếu chúng ta tính phương sai mẫu, chúng tôi sẽ tìm hiểu cách các kết quả được nhóm xung quanh kỳ vọng toán học: một nhóm gần nó (sự thay đổi nhỏ trong IQ) hoặc đồng đều hơn trên toàn bộ phạm vi từ kết quả tối thiểu đến tối đa (biến thể lớn và ở đâu đó ở giữa - kỳ vọng toán học).
Để tính toán phương sai, bạn cần một đặc tính mới của một biến ngẫu nhiên - độ lệch của giá trị so với phép toánđang chờ đợi.
Lệch
Để hiểu cách tính phương sai, trước tiên bạn phải hiểu độ lệch. Định nghĩa của nó là sự khác biệt giữa giá trị mà một biến ngẫu nhiên nhận được và kỳ vọng toán học của nó. Nói một cách đại khái, để hiểu một giá trị được "phân tán" như thế nào, bạn cần phải xem độ lệch của nó được phân phối như thế nào. Tức là chúng ta thay thế giá trị của giá trị bằng giá trị của độ lệch của nó so với mat. kỳ vọng và khám phá luật phân phối của nó.
Luật phân phối rời rạc, nghĩa là, một biến ngẫu nhiên nhận các giá trị riêng lẻ, được viết dưới dạng một bảng, trong đó giá trị của giá trị tương quan với xác suất xuất hiện của nó. Sau đó, trong luật phân phối độ lệch, biến ngẫu nhiên sẽ được thay thế bằng công thức của nó, trong đó có một giá trị (đã giữ lại xác suất) và mat của chính nó. đang chờ đợi.
Tính chất của luật phân phối độ lệch của một biến ngẫu nhiên
Chúng tôi đã viết ra luật phân phối cho độ lệch của một biến ngẫu nhiên. Từ nó, chúng ta chỉ có thể trích xuất cho đến nay một đặc tính như kỳ vọng toán học. Để thuận tiện, tốt hơn nên lấy một ví dụ số.
Giả sử có luật phân phối của một số biến ngẫu nhiên: X - giá trị, p - xác suất.
Chúng tôi tính toán kỳ vọng toán học bằng công thức và ngay lập tức độ lệch.
Vẽ một bảng phân phối độ lệch mới.
Chúng tôi cũng tính toán kỳ vọng ở đây.
Hóa ra là không. Chỉ có một ví dụ, nhưng nó sẽ luôn luôn như vậy: không khó để chứng minh điều này trong trường hợp chung. Công thức cho kỳ vọng toán học của độ lệch có thể được phân tích thành sự khác biệt giữa kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên và, bất kể nó nghe có vẻ quanh co như thế nào, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. kỳ vọng (tuy nhiên, đệ quy) giống nhau, do đó sự khác biệt của chúng sẽ bằng không.
Điều này được mong đợi: sau tất cả, độ lệch trong dấu hiệu có thể vừa dương vừa âm, do đó, về trung bình chúng sẽ cho bằng không.
Cách tính phương sai của trường hợp rời rạc. số lượng
Nếu chiếu. nó là vô nghĩa để tính toán kỳ vọng lệch, bạn phải tìm kiếm một cái gì đó khác. Bạn có thể chỉ cần lấy các giá trị tuyệt đối của độ lệch (modulo); nhưng với mô-đun, mọi thứ không đơn giản như vậy, vì vậy độ lệch được bình phương, và sau đó kỳ vọng toán học của chúng được tính toán. Trên thực tế, đây là ý nghĩa khi họ nói về cách tính phương sai.
Tức là, chúng tôi lấy các độ lệch, bình phương chúng và lập một bảng các độ lệch và xác suất bình phương tương ứng với các biến ngẫu nhiên. Đây là một luật phân phối mới. Để tính kỳ vọng toán học, bạn cần thêm tích của bình phương độ lệch và xác suất.
Công thức dễ dàng hơn
Tuy nhiên, bài báo bắt đầu với thực tế là quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên ban đầu thường không được biết đến. Vì vậy, một cái gì đó nhẹ hơn là cần thiết. Thật vậy, có một công thức khác cho phép bạn tính phương sai mẫu chỉ bằng cách sử dụng mat.chờ đợi:
Tán - sự khác biệt giữa các tấm chiếu. kỳ vọng của bình phương của một biến ngẫu nhiên và ngược lại, bình phương của mặt phẳng của nó. đang chờ đợi.
Có một bằng chứng cho điều này, nhưng không có ý nghĩa gì khi trình bày nó ở đây, vì nó không có giá trị thực tế (và chúng ta chỉ cần tính phương sai).
Cách tính phương sai của biến ngẫu nhiên trong chuỗi biến phân
Trong thống kê thực, không thể phản ánh tất cả các biến ngẫu nhiên (bởi vì, theo quy luật, có vô số biến trong số chúng). Do đó, những gì được đưa vào nghiên cứu là cái gọi là mẫu đại diện từ một số dân số chung chung. Và, vì các đặc trưng số của bất kỳ biến ngẫu nhiên nào từ một tổng thể chung như vậy được tính toán từ mẫu, chúng được gọi là mẫu: trung bình mẫu, tương ứng, phương sai mẫu. Bạn có thể tính toán nó theo cách tương tự như cách thông thường (thông qua độ lệch bình phương).
Tuy nhiên, sự phân tán như vậy được gọi là thiên vị. Công thức phương sai không chệch có vẻ hơi khác một chút. Nó thường được yêu cầu để tính toán nó.
Bổ sung nhỏ
Một đặc tính số nữa được kết nối với độ phân tán. Nó cũng dùng để đánh giá cách biến ngẫu nhiên phân tán xung quanh mặt phẳng của nó. kỳ vọng. Không có nhiều sự khác biệt trong cách tính phương sai và độ lệch chuẩn: cái sau là căn bậc hai của cái trước.
