Bất phương trình đại số hoặc hệ của chúng với hệ số hữu tỉ có nghiệm được tìm dưới dạng tích phân hoặc số nguyên. Theo quy luật, số ẩn số trong phương trình Diophantine lớn hơn. Do đó, chúng còn được gọi là bất đẳng thức không xác định. Trong toán học hiện đại, khái niệm trên được áp dụng cho các phương trình đại số có nghiệm được tìm kiếm trong các số nguyên đại số của một số phần mở rộng của trường biến hữu tỉ Q, trường biến p-adic, v.v.
Nguồn gốc của những bất bình đẳng này
Việc nghiên cứu các phương trình Diophantine nằm ở ranh giới giữa lý thuyết số và hình học đại số. Tìm lời giải trong các biến số nguyên là một trong những vấn đề toán học lâu đời nhất. Đã có vào đầu thiên niên kỷ thứ hai trước Công nguyên. người Babylon cổ đại đã giải được các hệ phương trình với hai ẩn số. Ngành toán học này phát triển mạnh mẽ nhất ở Hy Lạp cổ đại. Số học của Diophantus (khoảng thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên) là một nguồn quan trọng và chính chứa nhiều dạng và hệ phương trình khác nhau.
Trong cuốn sách này, Diophantus đã thấy trước một số phương pháp để nghiên cứu các bất đẳng thức của bậc thứ hai và thứ babằng cấp được phát triển đầy đủ vào thế kỷ 19. Việc nhà nghiên cứu Hy Lạp cổ đại này tạo ra lý thuyết về số hữu tỉ đã dẫn đến việc phân tích các giải pháp hợp lý cho các hệ vô định, được tiếp nối một cách có hệ thống trong cuốn sách của ông. Mặc dù công trình của ông có chứa các giải pháp cho các phương trình Diophantine cụ thể, nhưng có lý do để tin rằng ông cũng đã quen thuộc với một số phương pháp chung.
Việc nghiên cứu những bất bình đẳng này thường đi kèm với những khó khăn nghiêm trọng. Do thực tế là chúng chứa các đa thức với hệ số nguyên F (x, y1,…, y ). Dựa trên điều này, kết luận được rút ra rằng không có thuật toán duy nhất nào có thể được sử dụng để xác định xem phương trình F (x, y1,…., Y) ). Tình hình có thể giải quyết được cho y1,…, y . Ví dụ về các đa thức như vậy có thể được viết.
Bất đẳng thức đơn giản nhất
ax + by=1, trong đó a và b là các số nguyên và số nguyên tố tương đối, nó có số lần thực thi rất lớn (nếu x0,y0kết quả được tạo thành, sau đó cặp biến x=x0+ b và y=y0-an, trong đó n là tùy ý, cũng sẽ được coi là bất đẳng thức). Một ví dụ khác về phương trình Diophantine là x2+ y2=z2. Các nghiệm nguyên dương của bất đẳng thức này là độ dài của các cạnh nhỏ x, y và tam giác vuông, cũng như cạnh huyền z với kích thước cạnh nguyên. Những con số này được gọi là số Pitago. Tất cả các bộ ba liên quan đến số nguyên tố được chỉ địnhcác biến trên được cho bởi x=m2- n2, y=2mn, z=m2+ n2, trong đó m và n là số nguyên và số nguyên tố (m>n>0).
Diophantus trong môn Số học của mình tìm kiếm các nghiệm hữu tỉ (không nhất thiết là tích phân) của các dạng bất phương trình đặc biệt của mình. Một lý thuyết chung để giải các phương trình diophantine ở mức độ đầu tiên được phát triển bởi C. G. Baschet vào thế kỷ 17. Các nhà khoa học khác vào đầu thế kỷ 19 chủ yếu nghiên cứu các bất đẳng thức tương tự như ax2+ bxy + cy2+ dx + ey + f=0, trong đó a, b, c, d, e, và f là tổng quát, không đồng nhất, với hai ẩn số của bậc hai. Lagrange đã sử dụng các phân số tiếp tục trong nghiên cứu của mình. Gauss cho các dạng bậc hai đã phát triển một lý thuyết tổng quát làm cơ sở cho một số dạng giải pháp.
Trong việc nghiên cứu các bất đẳng thức bậc hai này, chỉ có tiến bộ đáng kể trong thế kỷ 20. A. Thue nhận thấy rằng phương trình Diophantine a0x + a1xn-1y +… + a y =c, trong đó n ≧ 3, a0,…, a , c là các số nguyên và0tn+ …+ a không thể có vô số nghiệm nguyên. Tuy nhiên, phương pháp của Thue đã không được phát triển đúng cách. A. Baker đã tạo ra các định lý hiệu quả đưa ra các ước tính về hiệu suất của một số phương trình thuộc loại này. BN Delaunay đã đề xuất một phương pháp điều tra khác có thể áp dụng cho một nhóm hẹp hơn của những bất bình đẳng này. Đặc biệt, dạng ax3+ y3=1 hoàn toàn có thể giải quyết được theo cách này.
Phương trình diophantine: phương pháp giải
Lý thuyết về Diophantus có nhiều hướng. Do đó, một vấn đề nổi tiếng trong hệ thống này là giả thuyết rằng không có nghiệm không tầm thường của phương trình Diophantine xn+ y =znnếu n ≧ 3 (câu hỏi của Fermat). Việc nghiên cứu các nghiệm nguyên của bất đẳng thức là một sự tổng quát hóa tự nhiên của vấn đề về bộ ba Pitago. Euler đã thu được một nghiệm dương của bài toán Fermat với n=4. Nhờ kết quả này, nó đề cập đến việc chứng minh số nguyên bị thiếu, các nghiên cứu khác 0 của phương trình nếu n là một số nguyên tố lẻ.
Nghiên cứu về quyết định vẫn chưa được hoàn thành. Những khó khăn khi thực hiện nó liên quan đến thực tế là phép tính thừa đơn giản trong vành các số nguyên đại số không phải là duy nhất. Lý thuyết về ước số trong hệ này cho nhiều cấp số mũ nguyên tố n làm cho nó có thể khẳng định tính đúng đắn của định lý Fermat. Do đó, phương trình Diophantine tuyến tính với hai ẩn số được hoàn thành bằng các phương pháp và cách hiện có.
Loại và các loại nhiệm vụ được mô tả
Số học các vành của các số nguyên đại số cũng được sử dụng trong nhiều bài toán khác và giải phương trình Diophantine. Ví dụ: các phương pháp như vậy đã được áp dụng khi thực hiện các bất đẳng thức dạng N (a1x1+… + a x )=m, trong đó N (a) là chuẩn của a, và x1,…, xnbiến hợp lý liên kết được tìm thấy. Lớp này bao gồm phương trình Pell x2–dy2=1.
Các giá trị a1,…,a xuất hiện, các phương trình này được chia thành hai loại. Loại đầu tiên - được gọi là dạng hoàn chỉnh - bao gồm các phương trình trong đó trong số a có m số độc lập tuyến tính trên trường của các biến hữu tỉ Q, trong đó m=[Q (a1,…, a ): Q], trong đó có mức độ số mũ đại số Q (a1,…, a ) trên Q. Các loài không hoàn chỉnh là những loài ở mà số lượng lớn nhất của một inhỏ hơn m.
Hình thức đầy đủ đơn giản hơn, nghiên cứu của họ hoàn thành và tất cả các giải pháp có thể được mô tả. Loại thứ hai, loài không hoàn chỉnh, phức tạp hơn, và sự phát triển của một lý thuyết như vậy vẫn chưa được hoàn thiện. Các phương trình như vậy được nghiên cứu bằng cách sử dụng các phép gần đúng Diophantine, bao gồm bất đẳng thức F (x, y)=C, trong đó F (x, y) là một đa thức thuần nhất bất khả quy bậc n ≧ 3. Do đó, chúng ta có thể giả sử rằng yi→∞. Theo đó, nếu yiđủ lớn, thì bất đẳng thức sẽ mâu thuẫn với định lý của Thue, Siegel và Roth, từ đó nó cho rằng F (x, y)=C, trong đó F là dạng bậc ba trở lên, bất khả quy không thể có vô số nghiệm.
Cách giải phương trình Diophantine?
Ví dụ này là một lớp khá hẹp trong số tất cả. Ví dụ: mặc dù đơn giản, x3+ y3+ z3=N và x 2+ y2+ z2+ u2=N không được bao gồm trong lớp này. Nghiên cứu các nghiệm là một nhánh được nghiên cứu khá kỹ lưỡng của phương trình Diophantine, trong đó cơ sở là sự biểu diễn bằng các dạng số bậc hai. Lagrangeđã tạo ra một định lý nói rằng sự thỏa mãn tồn tại với mọi số tự nhiên N. Bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba bình phương (định lý Gauss), nhưng nó không được có dạng 4a(8K- 1), trong đó a và k là số mũ nguyên không âm.
Các nghiệm hữu tỉ hoặc tích phân cho hệ phương trình Diophantine loại F (x1,…, x )=a, trong đó F (x1,…, x ) là một dạng bậc hai với hệ số nguyên. Do đó, theo định lý Minkowski-Hasse, bất đẳng thức ∑aijxixj=b ijvà b là số hữu tỉ, có nghiệm nguyên trong các số thực và p-adic với mọi số nguyên tố p chỉ khi nó có thể giải được trong cấu trúc này.
Do những khó khăn cố hữu, việc nghiên cứu các con số với các dạng tùy ý từ bậc ba trở lên đã được nghiên cứu ở mức độ thấp hơn. Phương pháp thực hiện chính là phương pháp tính tổng lượng giác. Trong trường hợp này, số nghiệm của phương trình được viết rõ ràng dưới dạng tích phân Fourier. Sau đó, phương pháp môi trường được sử dụng để biểu thị số lượng thỏa mãn bất đẳng thức của các đồng dư tương ứng. Phương pháp tính tổng lượng giác phụ thuộc vào các đặc trưng đại số của bất đẳng thức. Có một số lượng lớn các phương pháp cơ bản để giải phương trình Diophantine tuyến tính.
Phân tích diophantine
Khoa toán học, môn học nghiên cứu về các nghiệm nguyên và hữu tỉ của các hệ phương trình đại số bằng các phương pháp hình học, từ cùnghình cầu. Vào nửa sau của thế kỷ 19, sự xuất hiện của lý thuyết số này đã dẫn đến việc nghiên cứu các phương trình Diophantine từ một trường tùy ý với các hệ số, và các nghiệm được coi là trong đó hoặc trong các vòng của nó. Hệ thống các hàm số đại số phát triển song song với các số. Sự tương đồng cơ bản giữa hai khái niệm này, được D. Hilbert và đặc biệt là L. Kronecker nhấn mạnh, đã dẫn đến việc xây dựng thống nhất các khái niệm số học khác nhau, thường được gọi là tổng thể.
Điều này đặc biệt đáng chú ý nếu các hàm đại số đang nghiên cứu trên một trường hữu hạn của hằng số là một biến. Các khái niệm như lý thuyết trường lớp, ước số, phân nhánh và kết quả là một minh họa tốt cho điều trên. Quan điểm này chỉ được áp dụng trong hệ thống các bất đẳng thức Diophantine sau đó, và việc nghiên cứu hệ thống không chỉ với các hệ số bằng số, mà còn với các hệ số là hàm, chỉ bắt đầu vào những năm 1950. Một trong những yếu tố quyết định trong cách tiếp cận này là sự phát triển của hình học đại số. Việc nghiên cứu đồng thời các lĩnh vực số và hàm, vốn là hai khía cạnh quan trọng như nhau của cùng một chủ đề, không chỉ cho kết quả tốt và thuyết phục, mà còn dẫn đến sự phong phú lẫn nhau của hai chủ đề.
Trong hình học đại số, khái niệm đa dạng được thay thế bằng một tập bất phương trình không bất biến trên một trường K cho trước, và nghiệm của chúng được thay thế bằng các điểm hữu tỉ có giá trị trong K hoặc trong phần mở rộng hữu hạn của nó. Theo đó, người ta có thể nói rằng vấn đề cơ bản của hình học Diophantine là nghiên cứu các điểm hữu tỉcủa một tập đại số X (K), trong khi X là các số nhất định trong trường K. Việc thực thi số nguyên có ý nghĩa hình học trong phương trình Diophantine tuyến tính.
Nghiên cứu bất đẳng thức và các tùy chọn thực thi
Khi nghiên cứu các điểm hữu tỉ (hoặc tích phân) trên các giống đại số, vấn đề đầu tiên nảy sinh, đó là sự tồn tại của chúng. Bài toán thứ mười của Hilbert được xây dựng dưới dạng bài toán tìm một phương pháp chung để giải bài toán này. Trong quá trình tạo ra một định nghĩa chính xác của thuật toán và sau khi nó được chứng minh rằng không có thực thi nào như vậy cho một số lượng lớn các bài toán, bài toán đã nhận được một kết quả âm rõ ràng và câu hỏi thú vị nhất là định nghĩa các lớp của phương trình Diophantine mà hệ thống trên tồn tại. Cách tiếp cận tự nhiên nhất, theo quan điểm đại số, là cái gọi là nguyên lý Hasse: trường ban đầu K được nghiên cứu cùng với phần hoàn thành của nó Kvtrên tất cả các ước lượng có thể có. Vì X (K)=X (Kv) là điều kiện cần để tồn tại, và điểm K tính đến tập X (Kv) không trống cho tất cả v.
Tầm quan trọng nằm ở chỗ nó tập hợp hai vấn đề. Cái thứ hai đơn giản hơn nhiều, nó có thể giải được bằng một thuật toán đã biết. Trong trường hợp cụ thể khi giống X là phép xạ ảnh, bổ đề Hansel và các khái quát của nó có thể làm giảm thêm khả năng: vấn đề có thể được rút gọn thành việc nghiên cứu các điểm hợp lý trên một trường hữu hạn. Sau đó, anh ấy quyết định xây dựng một khái niệm thông qua nghiên cứu nhất quán hoặc các phương pháp hiệu quả hơn.
Cuối cùngmột lưu ý quan trọng là các tập X (Kv) không rỗng với tất cả trừ một số hữu hạn v, do đó số điều kiện luôn là hữu hạn và chúng có thể được kiểm tra một cách hiệu quả. Tuy nhiên, nguyên lý của Hasse không áp dụng cho các đường cong độ. Ví dụ: 3x3+ 4y3=5 có điểm trong tất cả các trường số p-adic và trong hệ thống các số thực, nhưng không có điểm hữu tỉ.
Phương pháp này được dùng như một điểm khởi đầu để xây dựng một khái niệm mô tả các lớp của không gian đồng nhất chính của các giống Abelian để thực hiện "độ lệch" so với nguyên tắc Hasse. Nó được mô tả dưới dạng cấu trúc đặc biệt có thể liên kết với từng ống góp (nhóm Tate-Shafarevich). Khó khăn chính của lý thuyết nằm ở chỗ, các phương pháp tính toán nhóm rất khó có được. Khái niệm này cũng đã được mở rộng cho các lớp đại số khác.
Tìm kiếm thuật toán giải các bất đẳng thức
Một ý tưởng heuristic khác được sử dụng trong nghiên cứu phương trình Diophantine là nếu số lượng biến liên quan đến một tập bất phương trình lớn, thì hệ thường có nghiệm. Tuy nhiên, điều này rất khó chứng minh cho bất kỳ trường hợp cụ thể nào. Cách tiếp cận chung cho các bài toán dạng này sử dụng lý thuyết số giải tích và dựa trên các ước lượng cho các tổng lượng giác. Phương pháp này ban đầu được áp dụng cho các loại phương trình đặc biệt.
Tuy nhiên, sau này nó đã được chứng minh với sự trợ giúp của nó rằng nếu dạng của một mức độ kỳ lạ là F, trong dvà n biến và với hệ số hữu tỉ thì n đủ lớn so với d nên siêu mặt xạ ảnh F=0 có một điểm hữu tỉ. Theo phỏng đoán của Artin, kết quả này đúng ngay cả khi n > d2. Điều này chỉ được chứng minh cho các dạng bậc hai. Các vấn đề tương tự cũng có thể được đặt ra cho các lĩnh vực khác. Vấn đề trọng tâm của hình học Diophantine là cấu trúc của tập hợp các điểm nguyên hoặc hữu tỉ và nghiên cứu của chúng, và câu hỏi đầu tiên cần được làm rõ là liệu tập hợp này có hữu hạn hay không. Trong bài toán này, tình huống thường có một số lần thực hiện hữu hạn nếu mức độ của hệ thống lớn hơn nhiều so với số lượng biến. Đây là giả định cơ bản.
Bất bình đẳng trên đường và đường cong
Nhóm X (K) có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của một cấu trúc tự do bậc r và một nhóm hữu hạn bậc n. Từ những năm 1930, người ta đã nghiên cứu câu hỏi liệu những con số này có bị giới hạn trên tập tất cả các đường cong elip trên một trường K cho trước hay không. Có các đường cong có thứ hạng cao tùy ý trong trường hợp hàm. Trong trường hợp số, vẫn chưa có câu trả lời cho câu hỏi này.
Cuối cùng, phỏng đoán của Mordell nói rằng số điểm tích phân là hữu hạn đối với một đường cong của chi g>1. Trong trường hợp chức năng, khái niệm này đã được Yu I. Manin chứng minh vào năm 1963. Công cụ chính được sử dụng để chứng minh các định lý hữu hạn trong hình học Diophantine là chiều cao. Trong số các loại đại số, các kích thước trên một là abelianđa tạp, là dạng tương tự đa chiều của đường cong elip, đã được nghiên cứu kỹ lưỡng nhất.
A. Weil khái quát định lý về tính hữu hạn của số bộ tạo của một nhóm các điểm hợp lý đối với các giống Abel có chiều bất kỳ (khái niệm Mordell-Weil), mở rộng nó. Vào những năm 1960, phỏng đoán của Birch và Swinnerton-Dyer xuất hiện, cải thiện điều này và nhóm và các chức năng zeta của đa tạp. Nhiều bằng chứng ủng hộ giả thuyết này.
Giải quyết vấn đề
Bài toán tìm một thuật toán có thể dùng để xác định xem bất kỳ phương trình Diophantine nào có nghiệm hay không. Một đặc điểm cơ bản của vấn đề được đặt ra là việc tìm kiếm một phương pháp phổ quát có thể phù hợp với bất kỳ sự bất bình đẳng nào. Phương pháp như vậy cũng cho phép giải các hệ trên, vì nó tương đương với P21 + ⋯ + P2k=0.p1=0,…, PK=0p=0,…, pK=0 hoặc p21 + ⋯ + P2K=0. n12 + ⋯ + pK2=0. Bài toán tìm một cách phổ biến như vậy để tìm lời giải cho bất phương trình tuyến tính trong số nguyên được đặt ra bởi D. Gilbert.
Vào đầu những năm 1950, những nghiên cứu đầu tiên xuất hiện nhằm mục đích chứng minh sự không tồn tại của một thuật toán giải các phương trình Diophantine. Lúc này, phỏng đoán Davis xuất hiện, điều này cho biết bộ kê nào cũng thuộc về nhà bác học Hy Lạp. Bởi vì các ví dụ về các tập hợp không thể quyết định theo thuật toán đã được biết đến, nhưng có thể liệt kê một cách đệ quy. Theo đó, phỏng đoán Davis là đúng và vấn đề về khả năng giải của các phương trình nàycó một thực thi tiêu cực.
Sau đó, đối với phỏng đoán Davis, điều cần chứng minh là có một phương pháp biến đổi một bất đẳng thức đồng thời có (hoặc không) có nghiệm. Người ta chỉ ra rằng sự thay đổi như vậy của phương trình Diophantine nếu nó có hai tính chất trên: 1) trong bất kỳ nghiệm nào thuộc loại này v ≦ uu; 2) với k bất kỳ, có một thực thi với mức tăng trưởng theo cấp số nhân.
Một ví dụ về phương trình Diophantine tuyến tính của lớp này đã hoàn thành việc chứng minh. Vấn đề về sự tồn tại của một thuật toán cho khả năng giải và công nhận các bất đẳng thức này trong các số hữu tỉ vẫn được coi là một câu hỏi quan trọng và mở chưa được nghiên cứu đầy đủ.
