Một trong những hình xuất hiện khi giải các bài toán hình học trong không gian là hình nón. Nó, không giống như khối đa diện, thuộc về lớp các hình quay. Trong bài viết, chúng ta hãy xem xét ý nghĩa của nó trong hình học và khám phá các đặc điểm của các phần khác nhau của hình nón.
Nón trong hình học
Giả sử rằng có một số đường cong trên mặt phẳng. Nó có thể là một parabol, một hình tròn, một hình elip, v.v. Lấy một điểm không thuộc mặt phẳng xác định và nối tất cả các điểm của đường cong với nó. Bề mặt tạo thành được gọi là hình nón hoặc đơn giản là hình nón.
Nếu đường cong ban đầu bị đóng lại, thì bề mặt hình nón có thể chứa đầy vật chất. Hình thu được theo cách này là một vật thể ba chiều. Nó còn được gọi là hình nón. Một số hình nón giấy được hiển thị bên dưới.
Mặt nón được tìm thấy trong cuộc sống hàng ngày. Ví dụ: một que kem hoặc một nón giao thông sọc có hình dạng này, được thiết kế để thu hút sự chú ý của người lái xe vàngười đi bộ.
Các loại côn
Như bạn có thể đoán, các số liệu đang xem xét khác nhau theo kiểu đường cong mà chúng được hình thành. Ví dụ, có một hình nón tròn hoặc một hình elip. Đường cong này được gọi là cơ sở của hình. Tuy nhiên, hình dạng của đế không phải là đặc điểm duy nhất cho phép phân loại nón.
Đặc điểm quan trọng thứ hai là vị trí của chiều cao so với chân đế. Đường cao của hình nón là đoạn thẳng hạ từ đỉnh của hình xuống mặt phẳng đáy và vuông góc với mặt phẳng này. Nếu chiều cao giao với mặt đáy ở tâm hình học (ví dụ, ở tâm hình tròn) thì hình nón sẽ thẳng, nếu đoạn vuông góc rơi xuống bất kỳ điểm nào khác của mặt đáy hoặc xa hơn nó, thì hình nón sẽ là xiên.
Hơn nữa, trong bài viết, chúng tôi sẽ chỉ coi hình nón tròn thẳng là đại diện sáng giá của loại hình được coi là.
Tên hình học của các phần tử hình nón
Ở trên đã nói rằng hình nón có đế. Nó được giới hạn bởi một đường tròn, được gọi là đường dẫn của hình nón. Các đoạn nối thanh dẫn với một điểm không nằm trong mặt phẳng của đế được gọi là bộ tạo. Tập hợp tất cả các điểm của máy phát được gọi là mặt nón hoặc mặt bên của hình. Đối với hình nón tròn bên phải, tất cả các máy phát điện đều có cùng chiều dài.
Điểm mà các đầu phát giao nhau được gọi là đỉnh của hình. Không giống như khối đa diện, một hình nón có một đỉnh duy nhất và không cócạnh.
Đường thẳng đi qua đỉnh của hình và tâm của hình tròn được gọi là trục. Trục chứa đường cao của hình nón thẳng nên tạo với mặt phẳng đáy một góc vuông. Thông tin này rất quan trọng khi tính diện tích mặt cắt trục của hình nón.
Hình nón tròn thẳng - hình xoay
Hình nón được coi là một hình khá đối xứng, có thể nhận được là kết quả của phép quay của tam giác. Giả sử chúng ta có một tam giác với một góc vuông. Để có được một hình nón, chỉ cần xoay tam giác này xung quanh một trong các chân như trong hình bên dưới là đủ.
Có thể thấy trục quay là trục của hình nón. Một trong các chân sẽ bằng chiều cao của hình và chân thứ hai sẽ trở thành bán kính của cơ sở. Cạnh huyền của một tam giác là kết quả của phép quay sẽ mô tả một bề mặt hình nón. Nó sẽ là ma trận chung của hình nón.
Phương pháp thu được hình nón tròn thẳng này rất tiện lợi khi sử dụng để nghiên cứu mối quan hệ toán học giữa các tham số tuyến tính của hình: chiều cao h, bán kính của đáy tròn và đường dẫn g. Công thức tương ứng dựa trên các tính chất của một tam giác vuông. Nó được liệt kê bên dưới:
g2=h2+ r2.
Vì chúng ta có một phương trình và ba biến, điều này có nghĩa là để thiết lập duy nhất các tham số của một hình nón tròn, bạn cần biết hai đại lượng bất kỳ.
Mặt cắt của hình nón bởi mặt phẳng không chứa đỉnh của hình
Câu hỏi về cấu tạo các phần của một hình khôngkhông đáng kể. Thực tế là hình dạng của mặt cắt hình nón phụ thuộc vào vị trí tương đối của hình và mặt cắt.
Giả sử rằng chúng ta cắt hình nón với một mặt phẳng. Kết quả của phép toán hình học này sẽ là gì? Các tùy chọn hình dạng phần được hiển thị trong hình bên dưới.
Phần màu hồng là một hình tròn. Nó được tạo thành do giao của hình với mặt phẳng song song với đáy của hình nón. Đây là những phần vuông góc với trục của hình. Hình được tạo thành phía trên mặt phẳng cắt là một hình nón tương tự như hình ban đầu, nhưng có một hình tròn nhỏ hơn ở đáy.
Phần màu xanh lá cây là một hình elip. Nó nhận được nếu mặt phẳng cắt không song song với mặt đáy mà nó chỉ cắt mặt bên của hình nón. Hình cắt phía trên mặt phẳng được gọi là hình nón xiên elip.
Phần màu xanh lam và màu da cam lần lượt là parabol và hypebol. Như bạn có thể thấy trong hình, chúng thu được nếu mặt phẳng cắt đồng thời cắt mặt bên và mặt đáy của hình.
Để xác định diện tích các mặt cắt của hình nón đã xét, cần sử dụng các công thức cho hình tương ứng trên mặt phẳng. Ví dụ: đối với hình tròn, đây là số Pi nhân với bình phương bán kính và đối với hình elip, đây là tích của Pi và độ dài của các bán trục chính và phụ:
vòng tròn: S=pir2;
ellipse: S=piab.
Phần chứa đỉnh của hình nón
Bây giờ hãy xem xét các tùy chọn cho các mặt cắt phát sinh nếu mặt phẳng cắt làđi qua đỉnh của hình nón. Ba trường hợp có thể xảy ra:
- Phần là một điểm duy nhất. Ví dụ, một mặt phẳng đi qua đỉnh và song song với cơ sở sẽ tạo ra một mặt cắt như vậy.
- Mặt cắt là một đường thẳng. Tình huống này xảy ra khi mặt phẳng tiếp tuyến với một bề mặt hình nón. Đường thẳng của phần trong trường hợp này sẽ là ma trận của hình nón.
- Mặt cắt trục. Nó được hình thành khi mặt phẳng không chỉ chứa đỉnh của hình mà còn chứa toàn bộ trục của nó. Trong trường hợp này, mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt đáy tròn và sẽ chia hình nón thành hai phần bằng nhau.
Rõ ràng, diện tích của hai loại mặt cắt đầu tiên bằng không. Đối với diện tích mặt cắt ngang của hình nón đối với loại thứ 3, vấn đề này sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong phần tiếp theo.
Mặt cắt trục
Ở trên đã lưu ý rằng thiết diện trục của một hình nón là hình được tạo thành khi hình nón được cắt bởi một mặt phẳng đi qua trục của nó. Có thể dễ dàng đoán rằng phần này sẽ đại diện cho hình như trong hình bên dưới.
Đây là một tam giác cân. Đỉnh của phần trục của hình nón là đỉnh của tam giác này, được tạo thành bởi giao của các cạnh trùng nhau. Các cạnh sau bằng chiều dài của ma trận hình nón. Đáy của tam giác là đường kính của đáy hình nón.
Tính diện tích phần trục của hình nón rút gọn để tìm diện tích tam giác tạo thành. Nếu ban đầu biết bán kính của đáy r và chiều cao h của hình nón thì diện tích S của thiết diện đang xét sẽ là:
S=hr.
Cái nàybiểu thức là hệ quả của việc áp dụng công thức tiêu chuẩn cho diện tích của một tam giác (một nửa tích của chiều cao nhân với đáy).
Lưu ý rằng nếu đường sinh của hình nón bằng đường kính của đáy tròn của nó thì tiết diện trục của hình nón là tam giác đều.
Mặt cắt hình tam giác được tạo thành khi mặt phẳng cắt vuông góc với đáy của hình nón và đi qua trục của nó. Bất kỳ mặt phẳng nào khác song song với mặt phẳng được đặt tên sẽ cho một hyperbol trong phần. Tuy nhiên, nếu mặt phẳng chứa đỉnh của hình nón và cắt đáy của nó không qua đường kính, thì phần tạo thành cũng sẽ là một tam giác cân.
Bài toán xác định các thông số tuyến tính của hình nón
Hãy trình bày cách sử dụng công thức tính diện tích của phần trục để giải một bài toán hình học.
Biết rằng diện tích thiết diện trục của hình nón là 100 cm2. Kết quả là tam giác đều. Chiều cao của hình nón và bán kính của đáy là bao nhiêu?
Vì tam giác đều nên chiều cao h của nó tương ứng với độ dài cạnh a như sau:
h=√3 / 2a.
Cho rằng cạnh của tam giác gấp đôi bán kính của đáy hình nón và thay biểu thức này vào công thức về diện tích mặt cắt ngang, ta được:
S=hr=√3 / 22rr=>
r=√ (S / √3).
Khi đó chiều cao của hình nón là:
h=√3 / 22r=√3√ (S / √3)=√ (√3S).
Nó vẫn để thay thế giá trị của khu vực từ điều kiện của vấn đềvà nhận được câu trả lời:
r=√ (100 / √3) ≈ 7.60 cm;
h=√ (√3100) ≈ 13, 16 cm.
Điều quan trọng là phải biết các thông số của các phần được xem xét trong lĩnh vực nào?
Việc nghiên cứu các loại mặt cắt hình nón không chỉ quan tâm đến lý thuyết mà còn có các ứng dụng thực tế.
Đầu tiên, cần lưu ý khu vực khí động học, nơi mà với sự trợ giúp của các phần hình nón, có thể tạo ra các hình dạng mịn lý tưởng của cơ thể rắn.
Thứ hai, mặt cắt hình nón là quỹ đạo mà các vật thể không gian chuyển động trong trường hấp dẫn. Loại mặt cắt cụ thể nào biểu thị quỹ đạo chuyển động của các thiên thể vũ trụ của hệ được xác định bằng tỷ số giữa khối lượng, vận tốc tuyệt đối và khoảng cách giữa chúng.
