Một hệ thống cơ học bao gồm một chất điểm (vật) treo trên một sợi chỉ không trọng lượng không kéo dãn được (khối lượng của nó không đáng kể so với trọng lượng của vật) trong trường trọng lực đều được gọi là con lắc toán học (tên khác là một dao động). Có những loại thiết bị này. Thay vì một sợi, một thanh không trọng lượng có thể được sử dụng. Một con lắc toán học có thể bộc lộ rõ bản chất của nhiều hiện tượng thú vị. Với biên độ dao động nhỏ, chuyển động của nó được gọi là điều hòa.
Tổng quan hệ thống cơ
Công thức tính chu kỳ dao động của con lắc này do nhà khoa học người Hà Lan Huygens (1629-1695) đưa ra. Người cùng thời với I. Newton rất thích hệ thống cơ học này. Năm 1656, ông đã tạo ra chiếc đồng hồ quả lắc đầu tiên. Họ đã đo thời gian bằng cách đặc biệtcho những thời điểm chính xác. Phát minh này đã trở thành một cột mốc quan trọng trong sự phát triển của các thí nghiệm vật lý và các hoạt động thực tế.
Nếu con lắc ở trạng thái cân bằng (treo thẳng đứng) thì trọng lực sẽ cân bằng bằng lực căng dây. Con lắc phẳng trên một sợi dây không dao động được là một hệ có hai bậc tự do có mối liên hệ. Khi bạn chỉ thay đổi một thành phần, các đặc tính của tất cả các bộ phận của nó sẽ thay đổi. Vì vậy, nếu thay ren bằng thanh truyền thì hệ cơ này sẽ chỉ có 1 bậc tự do. Các tính chất của một con lắc toán học là gì? Trong hệ thống đơn giản nhất này, sự hỗn loạn phát sinh dưới ảnh hưởng của một sự nhiễu loạn định kỳ. Trong trường hợp khi chất điểm treo không chuyển động mà dao động điều hòa thì con lắc có vị trí cân bằng mới. Với dao động lên và xuống nhanh chóng, hệ thống cơ học này có được một vị trí lộn ngược ổn định. Cô ấy cũng có tên riêng của mình. Nó được gọi là con lắc của Kapitza.
Thuộc tính con lắc
Con lắc toán học có những tính chất rất thú vị. Tất cả chúng đều được xác nhận bởi các quy luật vật lý đã biết. Chu kỳ dao động của bất kỳ con lắc nào khác phụ thuộc vào các trường hợp khác nhau, chẳng hạn như kích thước và hình dạng của vật thể, khoảng cách giữa điểm treo và trọng tâm, sự phân bố của khối lượng so với điểm này. Đó là lý do tại sao việc xác định thời hạn treo cổ là một việc khá khó khăn. Việc tính toán chu kỳ của một con lắc trong toán học sẽ dễ dàng hơn nhiều, công thức của chúng sẽ được đưa ra dưới đây. Theo kết quả của những quan sát tương tựhệ thống cơ khí có thể thiết lập các mẫu sau:
• Nếu trong khi giữ nguyên chiều dài của con lắc, chúng ta treo các quả nặng khác nhau, thì chu kỳ dao động của chúng sẽ như nhau, mặc dù khối lượng của chúng sẽ khác nhau rất nhiều. Do đó, chu kỳ của con lắc như vậy không phụ thuộc vào khối lượng của tải.
• Khi khởi động hệ thống, nếu con lắc bị lệch không quá lớn, nhưng góc khác nhau, thì nó sẽ bắt đầu dao động với cùng chu kỳ, nhưng với biên độ khác nhau. Chừng nào độ lệch khỏi tâm cân bằng không quá lớn thì dao động ở dạng của chúng sẽ khá gần với dao động điều hòa. Chu kì của con lắc như thế nào không phụ thuộc vào biên độ dao động. Tính chất này của hệ thống cơ học này được gọi là isochronism (dịch từ tiếng Hy Lạp "chronos" - thời gian, "isos" - bằng nhau).
Chu kỳ của con lắc toán học
Chỉ báo này thể hiện chu kỳ của dao động tự nhiên. Mặc dù có từ ngữ phức tạp, nhưng bản thân quá trình này rất đơn giản. Nếu chiều dài của sợi dây của một con lắc toán học là L và gia tốc rơi tự do là g, thì giá trị này là:
T=2π√L / g
Chu kì của dao động nhỏ tự nhiên không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc và biên độ dao động. Trong trường hợp này, con lắc chuyển động giống như một con lắc toán học với chiều dài giảm.
Swings của con lắc toán học
Một con lắc toán học dao động, có thể được mô tả bằng một phương trình vi phân đơn giản:
x + ω2 sin x=0, trong đó x (t) là một hàm chưa biết (đây là góc lệch so với giá trị thấp hơnvị trí cân bằng tại thời điểm t, tính bằng radian); ω là hằng số dương, được xác định từ các tham số của con lắc (ω=√g / L, trong đó g là gia tốc rơi tự do và L là chiều dài của con lắc toán học (dây treo).
Phương trình của dao động nhỏ gần vị trí cân bằng (phương trình điều hòa) có dạng như sau:
x + ω2 sin x=0
Chuyển động dao động của con lắc
Một con lắc toán học tạo ra dao động nhỏ chuyển động theo hình sin. Phương trình vi phân cấp hai đáp ứng tất cả các yêu cầu và thông số của chuyển động đó. Để xác định quỹ đạo, bạn phải chỉ định tốc độ và tọa độ, từ đó xác định các hằng số độc lập:
x=A sin (θ0+ ωt), trong đó θ0là pha ban đầu, A là biên độ dao động, ω là tần số chu kỳ được xác định từ phương trình chuyển động.
Con lắc toán học (công thức về biên độ lớn)
Hệ thống cơ học này, tạo ra các dao động với biên độ đáng kể, tuân theo các định luật chuyển động phức tạp hơn. Đối với một con lắc như vậy, chúng được tính theo công thức:
sin x / 2=usn (ωt / u), trong đó sn là sin Jacobi, đối với u < 1 là hàm tuần hoàn và đối với u nhỏ, nó trùng với sin lượng giác đơn giản. Giá trị của u được xác định bởi biểu thức sau:
u=(ε + ω2) / 2ω2, trong đó ε=E / mL2 (mL2 là năng lượng của con lắc).
Xác định chu kỳ dao động của con lắc phi thẳngthực hiện theo công thức:
T=2π / Ω, trong đó Ω=π / 2ω / 2K (u), K là tích phân elip, π-3, 14.
Chuyển động của con lắc dọc theo dải phân cách
Ma trận phân cách là quỹ đạo của một hệ động lực với không gian pha hai chiều. Con lắc toán học chuyển động dọc theo nó không theo chu kỳ. Tại một thời điểm xa vô cùng, nó rơi từ vị trí cực trên xuống bên với vận tốc bằng không, rồi nhấc dần lên. Cuối cùng nó cũng dừng lại, quay trở lại vị trí ban đầu.
Nếu biên độ dao động của con lắc tiến tới số π, điều này cho thấy chuyển động trên mặt phẳng pha đang tiến gần đến ma trận. Trong trường hợp này, dưới tác dụng của một lực truyền động tuần hoàn nhỏ, hệ thống cơ khí thể hiện hành vi hỗn loạn.
Khi con lắc toán học lệch khỏi vị trí cân bằng một góc φ nhất định thì phát sinh lực tiếp tuyến Fτ=–mg sin φ. Dấu trừ có nghĩa là thành phần tiếp tuyến này hướng theo hướng ngược lại với hướng đi của con lắc. Khi độ dời của con lắc dọc theo cung tròn bán kính L được kí hiệu là x thì độ dời góc của nó bằng φ=x / L. Định luật thứ hai của Isaac Newton, được thiết kế cho phép chiếu của vectơ gia tốc và lực, sẽ cho giá trị mong muốn:
mg τ=Fτ=–mg sin x / L
Dựa trên tỷ số này, rõ ràng con lắc này là một hệ phi tuyến tính, vì lực tìm cách quay trở lạinó đến vị trí cân bằng, luôn luôn tỷ lệ không với độ dịch chuyển x, mà tỷ lệ với sin x / L.
Chỉ khi con lắc toán học dao động nhỏ mới là dao động điều hòa. Nói cách khác, nó trở thành một hệ thống cơ học có khả năng thực hiện dao động điều hòa. Sự gần đúng này thực tế có giá trị đối với các góc từ 15–20 °. Con lắc dao động với biên độ lớn không điều hòa.
Định luật Newton cho dao động nhỏ của con lắc
Nếu hệ thống cơ học này thực hiện các dao động nhỏ, định luật 2 Newton sẽ có dạng như sau:
mg τ=Fτ=–mg / Lx.
Dựa vào đó, chúng ta có thể kết luận rằng gia tốc tiếp tuyến của con lắc toán học tỉ lệ với độ dịch chuyển của nó với một dấu trừ. Đây là điều kiện mà hệ thống trở thành một dao động điều hòa. Môđun của độ lợi tỉ lệ giữa độ dịch chuyển và gia tốc bằng bình phương của tần số tròn:
ω02=g / L; ω0=√ g / L.
Công thức này phản ánh tần số riêng của dao động nhỏ của loại con lắc này. Dựa trên điều này, T=2π / ω0=2π√ g / L.
Tính toán dựa trên định luật bảo toàn năng lượng
Các tính chất của chuyển động dao động của con lắc cũng có thể được mô tả bằng cách sử dụng định luật bảo toàn cơ năng. Trong trường hợp này, cần tính thế năng của con lắc trong trọng trường là:
E=mg∆h=mgL (1 - cos α)=mgL2sin2 α / 2
Tổng năng lượng cơ họcbằng động năng hoặc thế năng cực đại: Epmax=Ekmsx=E
Sau khi định luật bảo toàn cơ năng được viết, hãy lấy đạo hàm của vế phải và vế trái của phương trình:
Ep + Ek=const
Vì đạo hàm của các giá trị không đổi bằng 0 nên (Ep + Ek) '=0. Đạo hàm của tổng bằng tổng của các đạo hàm:
Ep '=(mg / Lx2 / 2)'=mg / 2L2xx '=mg / Lv + Ek'=(mv2 / 2)=m / 2 (v2) '=m / 22vv '=mvα, do đó:
Mg / Lxv + mva=v (mg / Lx + m α)=0.
Dựa vào công thức cuối cùng, chúng ta tìm thấy: α=- g / Lx.
Ứng dụng thực tế của con lắc toán học
Gia tốc rơi tự do thay đổi theo vĩ độ địa lý, vì mật độ của vỏ trái đất trên khắp hành tinh là không giống nhau. Ở những nơi có mật độ cao hơn, nó sẽ cao hơn một chút. Gia tốc của một con lắc toán học thường được sử dụng để thăm dò địa chất. Nó được sử dụng để tìm kiếm các khoáng chất khác nhau. Chỉ cần đếm số lần lắc của con lắc, bạn có thể tìm thấy than hoặc quặng trong ruột của Trái đất. Điều này là do thực tế là những hóa thạch như vậy có mật độ và khối lượng lớn hơn so với những tảng đá rời bên dưới chúng.
Con lắc toán học đã được sử dụng bởi các nhà khoa học lỗi lạc như Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Nhiều người trong số họ tin rằng hệ thống máy móc này có thể ảnh hưởng đến số phận và cuộc sống của một người. Archimedes đã sử dụng một con lắc toán học trong các tính toán của mình. Ngày nay, nhiều nhà huyền bí và tâm linh họcsử dụng hệ thống máy móc này để thực hiện lời tiên tri của họ hoặc tìm kiếm những người mất tích.
Nhà thiên văn học và nhà tự nhiên học nổi tiếng người Pháp K. Flammarion cũng sử dụng một con lắc toán học cho nghiên cứu của mình. Ông tuyên bố rằng với sự giúp đỡ của mình, ông có thể dự đoán việc phát hiện ra một hành tinh mới, sự xuất hiện của thiên thạch Tunguska và các sự kiện quan trọng khác. Trong Chiến tranh thế giới thứ hai ở Đức (Berlin), một Viện Con lắc chuyên dụng đã hoạt động. Ngày nay, Viện Cận tâm lý học Munich cũng tham gia vào nghiên cứu tương tự. Các nhân viên của tổ chức này gọi công việc của họ với con lắc là “cảm giác bức xạ.”
