Mỗi học sinh khi nghiên cứu về phép lập thể ở trường trung học đều bắt gặp một hình nón. Hai đặc điểm quan trọng của hình không gian này là diện tích bề mặt và thể tích. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách tìm thể tích của một khối nón tròn.
Hình nón tròn là hình quay của tam giác vuông
Trước khi đi thẳng vào chủ đề của bài viết, cần mô tả hình nón theo quan điểm hình học.
Để có một số tam giác vuông. Nếu bạn xoay nó xung quanh bất kỳ chân nào, thì kết quả của hành động này sẽ là con số mong muốn, được hiển thị trong hình bên dưới.
Ở đây, chân AB là một phần của trục của hình nón và chiều dài của nó tương ứng với chiều cao của hình. Chân thứ hai (đoạn CA) sẽ là bán kính của hình nón. Trong quá trình quay, nó sẽ mô tả một vòng tròn giới hạn phần đáy của hình. Cạnh huyền BC được gọi là ma trận chung của hình, hay ma trận chung của nó. Điểm B là đỉnh duy nhất của hình nón.
Với các tính chất của tam giác ABC, ta có thể viết mối quan hệ giữa ma trận g, bán kính r và chiều cao h như saubình đẳng:
g2=h2+ r2
Công thức này hữu ích trong việc giải nhiều bài toán hình học với hình được đề cập.
Công thức thể tích hình nón
Thể tích của bất kỳ hình không gian nào là diện tích không gian, được giới hạn bởi các bề mặt của hình này. Có hai bề mặt như vậy cho một hình nón:
- Mặt bên, hoặc hình nón. Nó được hình thành bởi tất cả các chủng tộc.
- Kem nền. Trong trường hợp này, nó là một vòng tròn.
Lấy công thức xác định thể tích của khối nón. Để làm điều này, chúng tôi tinh thần cắt nó thành nhiều lớp song song với cơ sở. Mỗi lớp có độ dày dx, có xu hướng bằng không. Diện tích Sxcủa lớp cách đỉnh của hình một khoảng x bằng biểu thức sau:
Sx=pir2 x2/ h2
Tính hợp lệ của biểu thức này có thể được kiểm tra trực quan bằng cách thay các giá trị x=0 và x=h. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta sẽ nhận được diện tích bằng 0, trong trường hợp thứ hai, nó sẽ bằng diện tích của cơ sở tròn.
Để xác định thể tích của hình nón, bạn cần cộng các "thể tích" nhỏ của mỗi lớp, tức là bạn nên sử dụng phép tính tích phân:
V=∫0h(pir2 x2/ h2 dx)=pir2/ h2 ∫0h(x2 dx)
Tính tích phân này, chúng ta đi đến công thức cuối cùng cho một hình nón tròn:
V=1/3pir2 h
Có một điều thú vị là công thức này hoàn toàn tương tự như công thức dùng để tính thể tích của một hình chóp tùy ý. Sự trùng hợp này không phải là ngẫu nhiên, bởi vì bất kỳ kim tự tháp nào cũng trở thành hình nón khi số cạnh của nó tăng lên đến vô cùng.
Bài toán tính toán khối lượng
Sẽ rất hữu ích nếu đưa ra một ví dụ về cách giải quyết vấn đề, ví dụ này sẽ chứng minh việc sử dụng công thức dẫn xuất cho thể tích V.
Cho một hình nón tròn có diện tích đáy là 37 cm2, và hình vẽ có bán kính gấp ba lần bán kính. Thể tích của hình nón là bao nhiêu?
Chúng ta có quyền sử dụng công thức thể tích nếu biết hai đại lượng: chiều cao h và bán kính r. Hãy cùng tìm công thức xác định chúng phù hợp với điều kiện của bài toán.
Bán kính r có thể được tính bằng cách biết diện tích hình tròn So, ta có:
So=pir2=>
r=√ (So/ pi)
Sử dụng điều kiện của bài toán, chúng ta viết đẳng thức cho bộ tạo g:
g=3r=3√ (So/ pi)
Biết công thức của r và g, tính chiều cao h:
h=√ (g2- r2)=√ (9So/ pi - So/ pi)=√ (8So/ pi)
Chúng tôi đã tìm thấy tất cả các thông số cần thiết. Bây giờ đã đến lúc cắm chúng vào công thức cho V:
V=1/3pir2 h=1/3piSo/ pi√ (8So/ pi)=So/ 3√ (8So/ pi)
Nó vẫn để thay thếdiện tích cơ sở Sovà tính giá trị thể tích: V=119,75 cm3.
