Nói một cách đơn giản và ngắn gọn, phạm vi là các giá trị mà bất kỳ hàm nào cũng có thể nhận. Để khám phá đầy đủ chủ đề này, bạn cần phải dần dần tháo rời các điểm và khái niệm sau đây. Trước tiên, hãy hiểu định nghĩa của hàm và lịch sử xuất hiện của nó.
Hàm là gì
Tất cả các ngành khoa học chính xác cung cấp cho chúng ta nhiều ví dụ trong đó các biến được đề cập phụ thuộc vào nhau theo một cách nào đó. Ví dụ, khối lượng riêng của một chất hoàn toàn được xác định bởi khối lượng và thể tích của nó. Áp suất của một lượng khí lý tưởng ở thể tích không đổi thay đổi theo nhiệt độ. Các ví dụ này thống nhất với nhau bởi thực tế là tất cả các công thức đều có sự phụ thuộc giữa các biến, được gọi là hàm.
Hàm là một khái niệm biểu thị sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác. Nó có dạng y=f (x), trong đó y là giá trị của hàm, phụ thuộc vào x - đối số. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng y là một biến phụ thuộc vào giá trị của x. Các giá trị mà x có thể nhận cùng nhau làmiền của hàm đã cho (D (y) hoặc D (f)), và theo đó, các giá trị của y tạo thành tập giá trị của hàm (E (f) hoặc E (y)). Có những trường hợp khi một hàm được cho bởi một số công thức. Trong trường hợp này, miền định nghĩa bao gồm giá trị của các biến như vậy, trong đó ký hiệu với công thức có ý nghĩa.
Có các tính năng trùng khớp hoặc bằng nhau. Đây là hai hàm có phạm vi giá trị hợp lệ bằng nhau, cũng như bản thân các giá trị của hàm cũng bằng nhau đối với tất cả các đối số giống nhau.
Nhiều định luật của khoa học chính xác được đặt tên tương tự như các tình huống trong cuộc sống thực. Có một thực tế thú vị như vậy cũng về chức năng toán học. Có một định lý về giới hạn của một hàm "kẹp" giữa hai hàm khác có cùng giới hạn - về hai cảnh sát. Họ giải thích nó theo cách này: vì hai cảnh sát đang dẫn một tù nhân đến một phòng giam giữa họ, tên tội phạm buộc phải đến đó, và anh ta chỉ đơn giản là không có lựa chọn nào khác.
Tham chiếu tính năng lịch sử
Khái niệm về một hàm không ngay lập tức trở thành cuối cùng và chính xác, nó đã trải qua một chặng đường dài để trở thành. Đầu tiên, Giới thiệu và Nghiên cứu về Mặt phẳng và Địa điểm rắn của Fermat, được xuất bản vào cuối thế kỷ 17, đã nêu như sau:
Bất cứ khi nào có hai ẩn số trong phương trình cuối cùng, vẫn có chỗ.
Nói chung, tác phẩm này nói về sự phụ thuộc vào chức năng và hình ảnh vật chất của nó (địa điểm=dòng).
Cũng trong khoảng thời gian đó, Rene Descartes đã nghiên cứu các đường bằng phương trình của chúng trong tác phẩm "Hình học" (1637) của ông, một lần nữa thực tế làsự phụ thuộc của hai đại lượng vào nhau.
Việc đề cập đến thuật ngữ "chức năng" chỉ xuất hiện vào cuối thế kỷ 17 với Leibniz, nhưng không có trong cách giải thích hiện đại của nó. Trong công trình khoa học của mình, ông cho rằng một hàm là nhiều phân đoạn khác nhau được liên kết với một đường cong.
Nhưng đã đến thế kỷ 18, hàm bắt đầu được định nghĩa một cách chính xác hơn. Bernoulli đã viết như sau:
Hàm là một giá trị bao gồm một biến và một hằng số.
Suy nghĩ của Euler cũng gần với điều này:
Hàm đại lượng biến đổi là một biểu thức giải tích được tạo thành theo một cách nào đó của đại lượng biến đổi này và các số hoặc đại lượng không đổi.
Khi một số đại lượng phụ thuộc vào những đại lượng khác theo cách mà khi đại lượng thay đổi, bản thân chúng thay đổi, thì đại lượng trước được gọi là hàm của đại lượng sau.
Đồ thị hàm số
Đồ thị của hàm số bao gồm tất cả các điểm thuộc các trục của mặt phẳng tọa độ, các hoành độ của chúng nhận các giá trị của đối số và các giá trị của hàm tại các điểm này là hoành độ.
Phạm vi của một hàm có liên quan trực tiếp đến đồ thị của nó, bởi vì nếu bất kỳ khoảng cách nào bị loại trừ bởi phạm vi giá trị hợp lệ, thì bạn cần vẽ các điểm trống trên biểu đồ hoặc vẽ biểu đồ trong các giới hạn nhất định. Ví dụ: nếu lấy đồ thị dạng y=tgx thì giá trị x=pi / 2 + pin, n∉R bị loại khỏi vùng xác định, trong trường hợp đồ thị dạng tiếp tuyến, bạn cần vẽcác đường thẳng đứng song song với trục y (chúng được gọi là không triệu chứng) đi qua các điểm ± pi / 2.
Bất kỳ nghiên cứu kỹ lưỡng và cẩn thận nào về các chức năng đều tạo thành một nhánh lớn của toán học được gọi là giải tích. Trong toán học sơ cấp, các câu hỏi cơ bản về hàm số cũng được đề cập đến, chẳng hạn như xây dựng một đồ thị đơn giản và thiết lập một số tính chất cơ bản của một hàm số.
Có thể đặt chức năng nào thành
Chức năng có thể:
- là một công thức, ví dụ: y=cos x;
- được đặt bởi bất kỳ bảng cặp nào có dạng (x; y);
- ngay lập tức có chế độ xem đồ họa, vì điều này, các cặp từ mục trước của biểu mẫu (x; y) phải được hiển thị trên các trục tọa độ.
Hãy cẩn thận khi giải một số bài toán cấp cao, hầu hết mọi biểu thức đều có thể được coi là một hàm đối với một số đối số cho giá trị của hàm y (x). Tìm miền định nghĩa trong các nhiệm vụ như vậy có thể là chìa khóa cho giải pháp.
Phạm vi là gì?
Điều đầu tiên bạn cần biết về một hàm để nghiên cứu hoặc xây dựng nó là phạm vi của nó. Biểu đồ chỉ nên chứa những điểm mà hàm có thể tồn tại. Miền của định nghĩa (x) cũng có thể được coi là miền của các giá trị có thể chấp nhận được (viết tắt là ODZ).
Để xây dựng đồ thị hàm số một cách chính xác và nhanh chóng, bạn cần biết miền của hàm số này, bởi vì hình thức của đồ thị và độ trung thực phụ thuộc vào nósự thi công. Ví dụ, để xây dựng một hàm y=√x, bạn cần biết rằng x chỉ có thể nhận các giá trị dương. Do đó, nó chỉ được xây dựng trong góc phần tư tọa độ đầu tiên.
Phạm vi định nghĩa trên ví dụ về các hàm cơ bản
Trong kho vũ khí của nó, toán học có một số lượng nhỏ các hàm đơn giản, được xác định. Họ có một phạm vi hạn chế. Giải pháp cho vấn đề này sẽ không gây khó khăn ngay cả khi bạn có một cái gọi là chức năng phức tạp trước mặt bạn. Nó chỉ là sự kết hợp của một số đơn giản.
- Vì vậy, hàm có thể là phân số, ví dụ: f (x)=1 / x. Do đó, biến (đối số của chúng ta) nằm ở mẫu số và mọi người đều biết rằng mẫu số của một phân số không thể bằng 0, do đó, đối số có thể nhận bất kỳ giá trị nào ngoại trừ 0. Kí hiệu sẽ như thế này: D (y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞). Nếu có một biểu thức nào đó có một biến ở mẫu số, thì bạn cần giải phương trình cho x và loại trừ các giá trị / u200b / u200bt sẽ biến mẫu số thành 0. Đối với biểu diễn giản đồ, 5 điểm được chọn tốt là đủ. Đồ thị của hàm số này sẽ là một hyperbol có tiệm cận đứng đi qua điểm (0; 0) và hợp với các trục Ox và Oy. Nếu hình ảnh đồ họa giao nhau với dấu gạch đầu dòng, thì lỗi như vậy sẽ được coi là lỗi nặng nhất.
- Nhưng miền của gốc là gì? Miền của hàm có biểu thức căn (f (x)=√ (2x + 5)), chứa một biến cũng có sắc thái riêng (chỉ áp dụng cho căn bậc chẵn). Nhưcăn số học là biểu thức dương hoặc bằng 0 thì biểu thức căn phải lớn hơn hoặc bằng 0, ta giải được bất phương trình sau: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2,5, do đó miền này hàm số: D (y)=x ∈ (-2, 5; + ∞). Biểu đồ là một trong những nhánh của parabol, được xoay 90 độ, nằm trong góc phần tư tọa độ đầu tiên.
- Nếu chúng ta đang xử lý một hàm logarit, thì bạn nên nhớ rằng có một hạn chế liên quan đến cơ số của logarit và biểu thức dưới dấu của logarit, trong trường hợp này, bạn có thể tìm miền định nghĩa là theo sau. Ta có hàm: y=loga(x + 7), ta giải được bất phương trình: x + 7 > 0, x > -7. Khi đó miền của hàm này là D (y)=x ∈ (-7; + ∞).
- Cũng chú ý đến các hàm lượng giác có dạng y=tgx và y=ctgx, vì y=tgx=sinx / cos / x và y=ctgx=cosx / sinx, do đó, bạn cần loại trừ các giá trị tại đó mẫu số có thể bằng không. Nếu bạn đã quen thuộc với đồ thị của các hàm lượng giác thì việc hiểu miền của chúng là một việc đơn giản.
Làm việc với các chức năng phức tạp khác nhau như thế nào
Hãy nhớ một vài quy tắc cơ bản. Nếu chúng ta đang làm việc với một hàm phức tạp, thì không cần phải giải một cái gì đó, hãy đơn giản hóa, cộng phân số, rút gọn đến mẫu số chung nhỏ nhất và rút ra nghiệm nguyên. Chúng tôi phải điều tra hàm này vì các hoạt động khác nhau (thậm chí giống hệt nhau) có thể thay đổi phạm vi của hàm, dẫn đến câu trả lời không chính xác.
Ví dụ, chúng ta có một hàm phức: y=(x2- 4) / (x - 2). Chúng ta không thể giảm tử số và mẫu số của phân số, vì điều này chỉ có thể xảy ra khi x ≠ 2, và đây là nhiệm vụ tìm miền của hàm, vì vậy chúng ta không nhân tử số và không giải bất kỳ bất phương trình nào, bởi vì giá trị mà tại đó hàm không tồn tại, có thể nhìn thấy bằng mắt thường. Trong trường hợp này, x không thể nhận giá trị 2, vì mẫu số không thể chuyển về 0, ký hiệu sẽ như sau: D (y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; + ∞).
Chức năng đối ứng
Đối với người mới bắt đầu, điều đáng nói là một hàm chỉ có thể đảo ngược khi tăng hoặc giảm khoảng thời gian. Để tìm hàm ngược, bạn cần hoán đổi x và y trong ký hiệu và giải phương trình cho x. Các miền định nghĩa và miền giá trị được đảo ngược đơn giản.
Điều kiện chính để tính nghịch biến là khoảng đơn điệu của một hàm, nếu hàm có các khoảng tăng và giảm thì có thể lập hàm nghịch biến trong một khoảng bất kỳ (tăng hoặc giảm).
Ví dụ, đối với hàm mũ y=exnghịch đảo là hàm logarit tự nhiên y=logea=lna. Đối với lượng giác, đây sẽ là các hàm có tiền tố cung-: y=sinx và y=arcsinx, v.v. Các đồ thị sẽ được đặt đối xứng theo một số trục hoặc trục không dấu.
Kết luận
Tìm kiếm phạm vi giá trị chấp nhận được là để kiểm tra đồ thị của hàm (nếu có),ghi lại và giải hệ thống bất phương trình cụ thể cần thiết.
Vì vậy, bài viết này đã giúp bạn hiểu phạm vi của một hàm là gì và cách tìm nó. Chúng tôi hy vọng rằng nó sẽ giúp bạn hiểu rõ về khóa học cơ bản của trường.
