Trong toán học và xử lý, khái niệm tín hiệu phân tích (viết tắt - C, AC) là một hàm phức hợp không có các thành phần tần số âm. Phần thực và phần ảo của hiện tượng này là các hàm thực liên quan đến nhau bằng phép biến đổi Hilbert. Tín hiệu phân tích là một hiện tượng khá phổ biến trong hóa học, bản chất của nó tương tự như định nghĩa toán học của khái niệm này.
Biểu diễn
Biểu diễn giải tích của một hàm thực là một tín hiệu giải tích chứa hàm gốc và phép biến đổi Hilbert của nó. Biểu diễn này tạo điều kiện cho nhiều thao tác toán học. Ý tưởng chính là các thành phần tần số âm của biến đổi Fourier (hoặc phổ) của một hàm thực là dư thừa do tính đối xứng Hermitian của một phổ như vậy. Các thành phần tần số âm này có thể được loại bỏ mà không cầnmất thông tin, với điều kiện là bạn muốn xử lý một chức năng phức tạp. Điều này làm cho các thuộc tính tính năng nhất định dễ tiếp cận hơn và giúp dễ dàng tìm ra các kỹ thuật điều chế và giải điều chế như SSB.
Thành phần phủ định
Miễn là hàm đang được thao tác không có các thành phần tần số âm (tức là nó vẫn còn ở dạng phân tích), thì việc chuyển đổi từ phức trở lại thực chỉ đơn giản là bỏ đi phần ảo. Biểu diễn giải tích là sự tổng quát hóa khái niệm vectơ: trong khi vectơ bị giới hạn ở biên độ, pha và tần số bất biến theo thời gian, thì phân tích định tính của tín hiệu phân tích cho phép các tham số thay đổi theo thời gian.
Biên độ tức thời, pha tức thời và tần số được sử dụng trong một số ứng dụng để đo và phát hiện các đặc trưng cục bộ của C. Một ứng dụng khác của biểu diễn phân tích liên quan đến việc giải điều chế các tín hiệu đã điều chế. Các tọa độ cực tách biệt hiệu quả của điều chế AM và pha (hoặc tần số) một cách thuận tiện và giải điều chế hiệu quả một số loại nhất định.
Sau đó, một bộ lọc thông thấp đơn giản với các hệ số thực có thể cắt bỏ phần quan tâm. Một động cơ khác là giảm tần số tối đa, làm giảm tần số tối thiểu để lấy mẫu không phải bí danh. Sự thay đổi tần số không làm suy giảm tính hữu dụng toán học của biểu diễn. Do đó, theo nghĩa này, đảo ngược vẫn mang tính phân tích. Tuy nhiên, việc khôi phục lại các đại diện thựckhông còn là một vấn đề đơn giản chỉ đơn giản là giải nén thành phần thực. Có thể cần phải chuyển đổi nâng cấp và nếu tín hiệu được lấy mẫu (thời gian rời rạc), thì cũng có thể yêu cầu nội suy (lấy mẫu ngược) để tránh hiện tượng răng cưa.
Biến
Khái niệm này được định nghĩa rõ ràng cho các hiện tượng biến đơn lẻ, thường là tạm thời. Tính thời gian này khiến nhiều nhà toán học mới bắt đầu bối rối. Đối với hai hoặc nhiều biến, C phân tích có thể được xác định theo nhiều cách khác nhau và hai cách tiếp cận được trình bày bên dưới.
Phần thực và phần ảo của hiện tượng này tương ứng với hai phần tử của tín hiệu đơn nguyên giá trị vectơ, như được định nghĩa cho các hiện tượng tương tự với một biến. Tuy nhiên, đơn nguyên có thể được mở rộng cho một số biến tùy ý theo cách đơn giản, tạo ra một hàm vectơ chiều (n + 1) cho trường hợp tín hiệu n biến.
Chuyển đổi tín hiệu
Bạn có thể chuyển đổi tín hiệu thực thành tín hiệu phân tích bằng cách thêm thành phần ảo (Q), là biến đổi Hilbert của thành phần thực.
Nhân tiện, đây không phải là điều mới mẻ đối với quá trình xử lý kỹ thuật số của nó. Một trong những cách truyền thống để tạo ra dải biên đơn (SSB) AM, phương pháp phân kỳ, liên quan đến việc tạo tín hiệu bằng cách tạo ra biến đổi Hilbert của tín hiệu âm thanh trong mạng tụ điện điện trở tương tự. Vì nó chỉ có tần số dương, nên có thể dễ dàng chuyển đổi nó thành tín hiệu RF được điều chế chỉ với một dải biên.
Công thức định nghĩa
Biểu thức tín hiệu giải tích là một hàm phức đa hình được xác định trên ranh giới của nửa mặt phẳng phức trên. Ranh giới của nửa mặt phẳng trên trùng với ngẫu nhiên, do đó C được cho bởi ánh xạ fa: R → C. Kể từ giữa thế kỷ trước, khi Denis Gabor đề xuất sử dụng hiện tượng này vào năm 1946 để nghiên cứu biên độ và pha không đổi., tín hiệu đã tìm thấy nhiều ứng dụng. Tính đặc biệt của hiện tượng này đã được nhấn mạnh [Vak96], ở đó người ta chỉ ra rằng chỉ một phân tích định tính của tín hiệu phân tích tương ứng với các điều kiện vật lý về biên độ, pha và tần số.
Thành tựu mới nhất
Trong vài thập kỷ qua, người ta quan tâm đến việc nghiên cứu tín hiệu theo nhiều chiều, được thúc đẩy bởi các vấn đề nảy sinh trong các lĩnh vực từ xử lý hình ảnh / video đến các quá trình dao động đa chiều trong vật lý, chẳng hạn như địa chấn, điện từ và sóng hấp dẫn. Nói chung, người ta đã chấp nhận rằng, để tổng quát hóa giải tích C (phân tích định tính) một cách chính xác cho trường hợp có nhiều chiều, người ta phải dựa vào cấu trúc đại số mở rộng các số phức thông thường một cách thuận tiện. Các cấu trúc như vậy thường được gọi là số siêu tổng hợp [SKE].
Cuối cùng, có thể xây dựng một tín hiệu phân tích siêu hoàn chỉnh fh: Rd → S, trong đó một số hệ đại số siêu tổng quát được biểu diễn, hệ thống này mở rộng một cách tự nhiên tất cả các thuộc tính cần thiết để có được biên độ tức thời vàgiai đoạn.
Học
Một số bài báo dành cho các vấn đề khác nhau liên quan đến sự lựa chọn chính xác của hệ thống số siêu tổng, định nghĩa của phép biến đổi Fourier siêu tổng hợp và phép biến đổi Hilbert phân số để nghiên cứu biên độ và pha tức thời. Hầu hết công việc này dựa trên các thuộc tính của các không gian khác nhau như Cd, quaternion, đại số Clearon và cấu trúc Cayley-Dixon.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ liệt kê một số công trình dành cho việc nghiên cứu tín hiệu theo nhiều chiều. Theo những gì chúng ta biết, các công trình đầu tiên về phương pháp đa biến được thu thập vào đầu những năm 1990. Chúng bao gồm công trình của Ell [Ell92] về các phép biến đổi hypercomplex; Công trình của Bulow về việc tổng quát hóa phương pháp phản ứng phân tích (tín hiệu phân tích) cho nhiều phép đo [BS01] và công trình của Felsberg và Sommer về tín hiệu đơn nguyên.
Triển vọng xa hơn
Tín hiệu hypercomplex được mong đợi sẽ mở rộng tất cả các thuộc tính hữu ích mà chúng ta có trong trường hợp 1D. Trước hết, chúng ta phải có khả năng trích xuất và tổng quát hóa biên độ và pha tức thời của các phép đo. Thứ hai, phổ Fourier của một tín hiệu phân tích phức tạp chỉ được duy trì ở các tần số dương, vì vậy chúng tôi hy vọng phép biến đổi Fourier siêu đơn giản sẽ có phổ giá trị siêu riêng của nó, sẽ chỉ được duy trì trong một số góc phần tư dương của không gian siêu đơn giản. Bởi vì nó rất quan trọng.
Thứ ba, các phần liên hợp của một khái niệm phức tạpcủa tín hiệu phân tích có liên quan đến phép biến đổi Hilbert, và chúng ta có thể mong đợi rằng các thành phần liên hợp trong không gian siêu đơn giản cũng phải liên quan đến một số tổ hợp của phép biến đổi Hilbert. Và cuối cùng, thực sự, một tín hiệu siêu đơn giản phải được định nghĩa là phần mở rộng của một số hàm siêu phức hợp siêu đơn hình của một số biến siêu đơn hình được xác định trên ranh giới của một số dạng trong không gian siêu đơn giản.
Chúng tôi đang giải quyết những vấn đề này theo thứ tự tuần tự. Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng cách xem xét công thức tích phân Fourier và chỉ ra rằng phép biến đổi Hilbert thành 1-D có liên quan đến công thức tích phân Fourier đã sửa đổi. Thực tế này cho phép chúng tôi xác định biên độ, pha và tần số tức thời mà không cần tham chiếu đến hệ thống số siêu hoàn chỉnh và các hàm phức hợp.
Sửa đổi tích phân
Chúng ta tiếp tục bằng cách mở rộng công thức tích phân Fourier đã sửa đổi sang một số thứ nguyên và xác định tất cả các thành phần dịch pha cần thiết mà chúng ta có thể thu thập thành biên độ và pha tức thời. Thứ hai, chúng ta chuyển sang câu hỏi về sự tồn tại của các hàm holomorphic của một số biến siêu tích lũy. Sau [Sch93], hóa ra đại số siêu hoàn chỉnh giao hoán và kết hợp được tạo bởi một tập hợp các bộ tạo elliptic (e2i=−1) là không gian thích hợp cho tín hiệu phân tích siêu hoàn chỉnh tồn tại, chúng tôi gọi đại số siêu đơn giản như vậy là không gian Schaefers và biểu thị nóSd.
Do đó, siêu phức tạp của tín hiệu phân tích được định nghĩa là một hàm đa hình trên ranh giới của đa đĩa / nửa trên của mặt phẳng trong một số không gian siêu hoàn chỉnh, mà chúng ta gọi là không gian Schaefers chung và được ký hiệu là Sd. Sau đó, chúng tôi quan sát tính hợp lệ của công thức tích phân Cauchy cho các hàm Sd → Sd, được tính trên một siêu bề mặt bên trong một đĩa đa giác trong Sd và suy ra các phép biến đổi Hilbert phân số tương ứng liên quan đến các thành phần liên hợp siêu đơn giản. Cuối cùng, hóa ra biến đổi Fourier với các giá trị trong không gian Schaefers chỉ được hỗ trợ ở các tần số không âm. Nhờ bài viết này, bạn đã biết được tín hiệu phân tích là gì.
