Rất thường xuyên trong khoa học toán học có một số khó khăn và câu hỏi, và nhiều câu trả lời không phải lúc nào cũng rõ ràng. Không có ngoại lệ là một chủ đề như là bản chất của các tập hợp. Trên thực tế, đây không gì khác hơn là một biểu thức số của số lượng các đối tượng. Theo nghĩa chung, một tập hợp là một tiên đề; nó không có định nghĩa. Nó dựa trên bất kỳ đối tượng nào, hay đúng hơn là tập hợp của chúng, có thể rỗng, hữu hạn hoặc vô hạn. Ngoài ra, nó còn chứa các số nguyên hoặc số tự nhiên, ma trận, chuỗi, phân đoạn và dòng.
Giới thiệu về các biến hiện có
Một tập hợp rỗng hoặc rỗng không có giá trị nội tại được coi là một phần tử chính vì nó là một tập hợp con. Tập hợp tất cả các tập con của một tập khác rỗng S là một tập hợp. Vì vậy, tập hợp lũy thừa của một tập hợp đã cho được coi là nhiều, có thể hình dung được, nhưng là tập hợp đơn lẻ. Tập hợp này được gọi là tập hợp các lũy thừa của S và được ký hiệu là P (S). Nếu S chứa N phần tử, thì P (S) chứa 2 ^ n tập con, vì một tập con của P (S) là ∅ hoặc một tập con chứa r phần tử từ S, r=1, 2, 3,… Bao gồm tất cả mọi thứ vô hạn.tập hợp M được gọi là đại lượng công suất và được ký hiệu là P (M).
Các yếu tố của lý thuyết tập hợp
Lĩnh vực kiến thức này được phát triển bởi George Cantor (1845-1918). Ngày nay nó được sử dụng trong hầu hết các ngành toán học và đóng vai trò như một phần cơ bản của nó. Trong lý thuyết tập hợp, các phần tử được biểu diễn dưới dạng một danh sách và được cung cấp bởi các kiểu (tập rỗng, singleton, tập hữu hạn và vô hạn, bằng nhau và tương đương, phổ quát), liên hợp, giao, hiệu và cộng các số. Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường nói về một tập hợp các đồ vật như chùm chìa khóa, đàn chim, gói thẻ, … Trong toán lớp 5 trở lên là các số tự nhiên, số nguyên, số nguyên tố và hợp số.
Có thể coi các bộ sau:
- số tự nhiên;
- chữ cái trong bảng chữ cái;
- tỷ lệ cược chính;
- hình tam giác với các cạnh khác nhau.
Có thể thấy rằng những ví dụ cụ thể này là những tập đối tượng được xác định rõ ràng. Hãy xem xét một vài ví dụ khác:
- năm nhà khoa học nổi tiếng nhất thế giới;
- bảy cô gái xinh đẹp trong xã hội;
- ba bác sĩ phẫu thuật giỏi nhất.
Những ví dụ về số lượng này không phải là tập hợp các đối tượng được xác định rõ ràng, bởi vì các tiêu chí cho "nổi tiếng nhất", "đẹp nhất", "tốt nhất" khác nhau ở mỗi người.
Bộ
Giá trị này là một số lượng các đối tượng khác nhau được xác định rõ ràng. Giả sử rằng:
- tập từ là một từ đồng nghĩa, tổng hợp, lớp và chứa các phần tử;
- đối tượng, các thành viên là các điều khoản bình đẳng;
- bộ thường được ký hiệu bằng chữ in hoa A, B, C;
- phần tử tập hợp được biểu diễn bằng các chữ cái nhỏ a, b, c.
Nếu "a" là một phần tử của tập A, thì người ta nói rằng "a" thuộc A. Hãy biểu thị cụm từ "thuộc" bằng ký tự Hy Lạp "∈" (epsilon). Như vậy, a ∈ A. Nếu 'b' là một phần tử không thuộc A thì được biểu diễn dưới dạng b ∉ A. Một số tập hợp quan trọng dùng trong toán lớp 5 được biểu diễn bằng ba phương pháp sau:
- ứng dụng;
- sổ đăng ký hoặc dạng bảng;
- quy tắc tạo đội hình.
Khi kiểm tra kỹ hơn, mẫu đơn dựa trên những điều sau đây. Trong trường hợp này, một mô tả rõ ràng về các phần tử của tập hợp được đưa ra. Tất cả chúng đều được đặt trong dấu ngoặc nhọn. Ví dụ:
- tập hợp các số lẻ nhỏ hơn 7 - được viết là {nhỏ hơn 7};
- tập hợp các số lớn hơn 30 và nhỏ hơn 55;
- số học sinh trong một lớp nhiều hơn số giáo viên.
Trong biểu mẫu (bảng) sổ đăng ký, các phần tử của một tập hợp được liệt kê trong một cặp dấu ngoặc vuông {} và được phân tách bằng dấu phẩy. Ví dụ:
- Gọi N là tập hợp năm số tự nhiên đầu tiên. Do đó, N=→ đăng ký mẫu
- Tập hợp tất cả các nguyên âm của bảng chữ cái tiếng Anh. Do đó V={a, e, i, o, u, y} → đăng ký dạng
- Tập hợp tất cả các số lẻ nhỏ hơn 9. Do đó, X={1, 3, 5, 7} → dạngđăng ký
- Tập hợp tất cả các chữ cái trong từ "Toán học". Do đó, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Mẫu đăng ký
- W là tập hợp của bốn tháng cuối năm. Do đó, W={tháng 9, tháng 10, tháng 11, tháng 12} → đăng ký.
Lưu ý rằng thứ tự liệt kê các phần tử không quan trọng, nhưng chúng không được lặp lại. Một dạng xây dựng đã thiết lập, trong một trường hợp nhất định, một quy tắc, công thức hoặc toán tử được viết trong một cặp dấu ngoặc để tập hợp được xác định chính xác. Trong biểu mẫu trình tạo tập hợp, tất cả các phần tử phải có cùng thuộc tính để trở thành thành viên của giá trị được đề cập.
Trong hình thức biểu diễn tập hợp này, một phần tử của tập hợp được mô tả bằng ký tự "x" hoặc bất kỳ biến nào khác theo sau bởi dấu hai chấm (":" hoặc "|" được dùng để biểu thị). Ví dụ, đặt P là tập hợp các số có thể đếm được lớn hơn 12. P ở dạng trình tạo tập hợp được viết dưới dạng - {số đếm được và lớn hơn 12}. Nó sẽ đọc theo một cách nhất định. Nghĩa là, "P là tập hợp các phần tử x sao cho x đếm được và lớn hơn 12."
Đã giải quyết ví dụ bằng cách sử dụng ba phương pháp biểu diễn tập hợp: số nguyên từ -2 đến 3. Dưới đây là ví dụ về các loại tập hợp khác nhau:
- Một tập hợp rỗng hoặc rỗng không chứa bất kỳ phần tử nào và được ký hiệu bằng ký hiệu ∅ và được đọc là phi. Ở dạng danh sách, ∅ được viết {}. Tập hợp hữu hạn trống vì số phần tử là 0. Ví dụ: tập hợp các giá trị nguyên nhỏ hơn 0.
- Rõ ràng là không nên có <0. Do đó, điều nàybộ trống.
- Một tập chỉ chứa một biến được gọi là tập singleton. Không đơn giản cũng không phức tạp.
Tập hợp hữu hạn
Tập hợp chứa một số phần tử nhất định được gọi là tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn. Rỗng đề cập đến đầu tiên. Ví dụ: một tập hợp tất cả các màu trong cầu vồng.
Vô cực là một bộ. Các phần tử trong nó không thể được liệt kê. Tức là, chứa các biến tương tự được gọi là một tập hợp vô hạn. Ví dụ:
- lũy thừa của tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng;
- tập hợp tất cả các số nguyên tố.
Nhưng bạn nên hiểu rằng tất cả các thẻ số của sự kết hợp của một tập hợp không thể được thể hiện dưới dạng một danh sách. Ví dụ: số thực, vì các phần tử của chúng không tương ứng với bất kỳ mẫu cụ thể nào.
Số chính của một tập hợp là số phần tử khác nhau trong một số lượng nhất định A. Nó được ký hiệu là n (A).
Ví dụ:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Do đó, n (A)=4.
- B=tập hợp các chữ cái trong từ ALGEBRA.
Bộ tương đương để so sánh bộ
Hai bản số của một tập hợp A và B là như vậy nếu số bản chất của chúng giống nhau. Ký hiệu cho tập hợp tương đương là "↔". Ví dụ: A ↔ B.
Tập hợp bằng nhau: hai bản số của tập hợp A và B nếu chúng chứa các phần tử giống nhau. Mỗi hệ số từ A là một biến từ B và mỗi hệ số từ B là giá trị xác định của A. Do đó, A=B. Các loại liên hiệp bản thể khác nhau và định nghĩa của chúng được giải thích bằng cách sử dụng các ví dụ được cung cấp.
Bản chất của sự hữu hạn và vô hạn
Sự khác biệt giữa bản số của một tập hợp hữu hạn và một tập hợp vô hạn là gì?
Giá trị đầu tiên có tên sau nếu nó trống hoặc có số phần tử hữu hạn. Trong một tập hợp hữu hạn, một biến có thể được chỉ định nếu nó có số lượng giới hạn. Ví dụ, sử dụng số tự nhiên 1, 2, 3. Và quá trình liệt kê kết thúc ở N. Số phần tử khác nhau đếm được trong tập hữu hạn S được ký hiệu là n (S). Nó còn được gọi là order hoặc cardinal. Ký hiệu một cách tượng trưng theo nguyên tắc chuẩn. Do đó, nếu tập hợp S là bảng chữ cái tiếng Nga, thì nó chứa 33 phần tử. Cũng cần nhớ rằng một phần tử không xuất hiện nhiều hơn một lần trong một tập hợp.
Vô hạn trong bộ
Một tập hợp được gọi là vô hạn nếu không liệt kê được các phần tử. Nếu nó có một số tự nhiên không giới hạn (nghĩa là không đếm được) 1, 2, 3, 4 với n bất kỳ. Một tập hợp không hữu hạn được gọi là vô hạn. Bây giờ chúng ta có thể thảo luận về các ví dụ về các giá trị số đang được xem xét. Tùy chọn giá trị cuối:
- Cho Q={số tự nhiên nhỏ hơn 25}. Khi đó Q là một tập hữu hạn và n (P)=24.
- Cho R={số nguyên từ 5 đến 45}. Khi đó R là một tập hữu hạn và n (R)=38.
- Cho S={số modulo 9}. Sau đó S={-9, 9} là một tập hữu hạn và n (S)=2.
- Tập hợp tất cả mọi người.
- Số lượng tất cả các loài chim.
Ví dụ vô hạn:
- số điểm hiện có trên máy bay;
- số tất cả các điểm trong đoạn thẳng;
- tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 3 là vô hạn;
- tất cả các số nguyên và tự nhiên.
Như vậy, từ suy luận trên, ta thấy rõ cách phân biệt giữa tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn.
Sức mạnh của tập hợp liên tục
Nếu chúng ta so sánh tập hợp và các giá trị hiện có khác, thì một phần bổ sung được đính kèm vào tập hợp. Nếu ξ là phổ và A là tập con của ξ thì phần bù của A là số tất cả các phần tử của ξ không phải là phần tử của A. Nói một cách tượng trưng, phần bù của A đối với ξ là A '. Ví dụ: 2, 4, 5, 6 là các phần tử duy nhất của ξ không thuộc A. Do đó, A '={2, 4, 5, 6}
Một tập hợp có tính liên tục về số lượng có các đặc điểm sau:
- phần bù của đại lượng tổng quát là giá trị trống được đề cập;
- biến tập hợp rỗng này là biến phổ biến;
- lượng và phần bổ sung của nó là rời rạc.
Ví dụ:
- Cho số tự nhiên là một tập hợp phổ quát và A là số chẵn. Khi đó A '{x: x là tập hợp lẻ có các chữ số giống nhau}.
- Let ξ=tập hợp các chữ cái trong bảng chữ cái. A=tập hợp các phụ âm. Khi đó A '=số nguyên âm.
- Phần bù của tập phổ quát là số lượng rỗng. Có thể được ký hiệu là ξ. Khi đó ξ '=Tập hợp các phần tử không có trong ξ. Tập rỗng φ được viết và ký hiệu. Do đó ξ=φ. Do đó, phần bổ sung cho tập hợp phổ quát là trống.
Trong toán học, "liên tục" đôi khi được sử dụng để biểu diễn một đường thực. Và tổng quát hơn, để mô tả các đối tượng tương tự:
- liên tục (trong lý thuyết tập hợp) - dòng thực hoặc số chính tương ứng;
- tuyến tính - bất kỳ tập hợp có thứ tự nào chia sẻ các thuộc tính nhất định của một đường thực;
- liên tục (trong cấu trúc liên kết) - không gian số liệu được kết nối nhỏ gọn không trống (đôi khi là Hausdorff);
- giả thuyết rằng không có tập hợp vô hạn nào lớn hơn số nguyên nhưng nhỏ hơn số thực;
- lũy thừa của liên tục là một số chính thể hiện kích thước của tập hợp các số thực.
Về cơ bản, một sự liên tục (đo lường), các lý thuyết hoặc mô hình giải thích sự chuyển đổi dần dần từ trạng thái này sang trạng thái khác mà không có bất kỳ sự thay đổi đột ngột nào.
Vấn đề về đoàn và giao điểm
Biết rằng giao của hai hay nhiều tập hợp là số chứa tất cả các phần tử có chung trong các giá trị này. Các tác vụ Word trên các tập hợp được giải quyết để có được những ý tưởng cơ bản về cách sử dụng các thuộc tính hợp và giao nhau của các tập hợp. Giải quyết các vấn đề chính của từ trênbộ trông như thế này:
Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Chúng sao cho n (A)=20, n (B)=28 và n (A ∪ B)=36, tìm n (A ∩ B)
Mối quan hệ trong các tập hợp sử dụng biểu đồ Venn:
- Sự kết hợp của hai tập hợp có thể được biểu diễn bằng một vùng bóng mờ đại diện cho A ∪ B. A ∪ B khi A và B là các tập rời rạc.
- Giao của hai tập hợp có thể được biểu diễn bằng biểu đồ Venn. Với vùng bóng mờ đại diện cho A ∩ B.
- Sự khác biệt giữa hai tập hợp có thể được biểu diễn bằng biểu đồ Venn. Với vùng bóng mờ đại diện cho A - B.
- Mối quan hệ giữa ba tập hợp sử dụng biểu đồ Venn. Nếu ξ đại diện cho một đại lượng phổ quát, thì A, B, C là ba tập con. Ở đây, cả ba bộ đều chồng chéo lên nhau.
Tổng hợp thông tin bộ
Tổng số của một tập hợp được định nghĩa là tổng số phần tử riêng lẻ trong tập hợp. Và giá trị được chỉ định cuối cùng được mô tả là số của tất cả các tập con. Khi nghiên cứu các vấn đề đó cần có phương pháp, cách thức và giải pháp. Vì vậy, đối với bản số của một tập hợp, các ví dụ sau có thể đóng vai trò là:
Cho A={0, 1, 2, 3} | |=4, trong đó | A | đại diện cho bản số của tập A.
Bây giờ bạn có thể tìm thấy gói năng lượng của mình. Nó cũng khá đơn giản. Như đã nói, bộ lũy thừa được đặt từ tất cả các tập con của một số nhất định. Vì vậy, về cơ bản người ta nên xác định tất cả các biến, phần tử và các giá trị khác của A,đó là {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Bây giờ hãy tìm hiểu P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} có 16 phần tử. Như vậy, tích số của tập A=16. Rõ ràng, đây là một phương pháp tẻ nhạt và rườm rà để giải bài toán này. Tuy nhiên, có một công thức đơn giản mà trực tiếp, bạn có thể biết số phần tử trong tập hợp lũy thừa của một số nhất định. | P |=2 ^ N, trong đó N là số phần tử trong một số A. Công thức này có thể nhận được bằng cách sử dụng tổ hợp đơn giản. Vì vậy, câu hỏi là 2 ^ 11 vì số phần tử trong tập A là 11.
Vì vậy, một tập hợp là bất kỳ đại lượng nào được biểu thị bằng số, có thể là bất kỳ đối tượng nào có thể. Ví dụ, ô tô, người, số. Theo nghĩa toán học, khái niệm này rộng hơn và khái quát hơn. Nếu ở giai đoạn đầu, các con số và tùy chọn cho giải pháp của chúng được sắp xếp theo thứ tự, thì ở giai đoạn giữa và cao hơn, các điều kiện và nhiệm vụ phức tạp. Trên thực tế, bản số của sự kết hợp của một tập hợp được xác định bởi sự thuộc về đối tượng đối với bất kỳ nhóm nào. Nghĩa là, một phần tử thuộc về một lớp, nhưng có một hoặc nhiều biến.
