Số vô tỉ là gì? Tại sao chúng được gọi như vậy? Chúng được sử dụng ở đâu và chúng là gì? Ít ai có thể trả lời những câu hỏi này mà không do dự. Nhưng trên thực tế, câu trả lời cho chúng khá đơn giản, mặc dù không phải ai cũng cần và trong những tình huống rất hiếm gặp
Bản chất và chỉ định
Số vô tỉ là phân số thập phân vô hạn tuần hoàn. Sự cần thiết phải đưa ra khái niệm này là do các khái niệm về số thực hoặc số thực, số nguyên, số tự nhiên và số hữu tỉ đã tồn tại trước đây không còn đủ để giải quyết các vấn đề mới nảy sinh. Ví dụ, để tính bình phương của 2 là bao nhiêu, bạn cần sử dụng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngoài ra, nhiều phương trình đơn giản nhất cũng không có nghiệm nếu không đưa ra khái niệm số vô tỉ.
Tập hợp này được ký hiệu là I. Và, như đã rõ, các giá trị này không thể được biểu diễn dưới dạng một phân số đơn giản, trong tử số sẽ có một số nguyên và ở mẫu số - một số tự nhiên.
Lần đầu tiênnếu không, các nhà toán học Ấn Độ đã gặp phải hiện tượng này vào thế kỷ thứ 7 trước Công nguyên, khi người ta phát hiện ra rằng căn bậc hai của một số đại lượng không thể được chỉ ra một cách rõ ràng. Và bằng chứng đầu tiên về sự tồn tại của những con số như vậy là do Pythagorean Hippasus, người đã thực hiện điều này trong quá trình nghiên cứu một tam giác vuông cân. Một số nhà khoa học khác sống trước thời đại của chúng ta đã đóng góp nghiêm túc vào việc nghiên cứu bộ này. Sự ra đời của khái niệm số vô tỷ đã kéo theo một sự sửa đổi của hệ thống toán học hiện có, đó là lý do tại sao chúng rất quan trọng.
Nguồn gốc của tên
Nếu ratio trong tiếng Latinh có nghĩa là "phân số", "tỷ lệ", thì tiền tố "ir"
mang lại nghĩa ngược lại cho từ này. Vì vậy, tên của tập hợp những con số này chỉ ra rằng chúng không thể được tương quan với một số nguyên hoặc phân số, chúng có một vị trí riêng biệt. Điều này xuất phát từ bản chất của họ.
Đặt trong phân loại tổng thể
Số vô tỉ, cùng với số hữu tỉ, thuộc nhóm số thực hoặc số thực, lần lượt thuộc nhóm số phức. Không có tập hợp con nào, tuy nhiên, có những giống đại số và siêu việt, sẽ được thảo luận bên dưới.
Thuộc tính
Vì các số vô tỷ là một phần của tập hợp các số thực, nên tất cả các tính chất của chúng được nghiên cứu trong số học (chúng còn được gọi là các định luật đại số cơ bản) đều áp dụng cho chúng.
a + b=b + a (tính giao hoán);
(a + b) + c=a + (b + c)(tính liên kết);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (sự tồn tại của số đối diện);
ab=ba (luật chuyển vị);
(ab) c=a (bc) (phân phối);
a (b + c)=ab + ac (luật phân phối);
a x 1=a
a x 1 / a=1 (sự tồn tại của một số nghịch đảo);
So sánh cũng được thực hiện theo luật và nguyên tắc chung:
Nếu a > b và b > c, thì a > c (độ nhạy của tỷ lệ) và. vv
Tất nhiên, tất cả các số vô tỉ đều có thể được chuyển đổi bằng cách sử dụng số học cơ bản. Không có quy tắc đặc biệt nào cho việc này.
Ngoài ra, tiên đề của Archimedes áp dụng cho các số vô tỉ. Nó nói rằng với hai đại lượng a và b bất kỳ, phát biểu đúng là bằng cách lấy a làm số hạng đủ lần, bạn có thể vượt qua b.
Sử dụng
Mặc dù thực tế là trong cuộc sống bình thường bạn không thường xuyên phải đối mặt với chúng, nhưng những con số vô tỉ không thể đếm được. Có rất nhiều trong số chúng, nhưng chúng hầu như vô hình. Chúng ta bị bao quanh bởi những con số vô tỉ ở khắp mọi nơi. Các ví dụ quen thuộc với mọi người là số pi, bằng 3, 1415926 …, hoặc e, về cơ bản là cơ số của lôgarit tự nhiên, 2, 718281828 … Trong đại số, lượng giác và hình học, chúng phải được sử dụng liên tục. Nhân tiện, giá trị nổi tiếng của "phần vàng", tức là tỷ lệ của cả phần lớn hơn với phần nhỏ hơn, và ngược lại, cũng là
thuộc bộ này. "Bạc" ít được biết đến hơn - quá.
Chúng nằm rất dày đặc trên trục số, vì vậy giữa hai giá trị bất kỳ liên quan đến tập hợp các giá trị hữu tỉ, một giá trị vô tỉ chắc chắn sẽ xảy ra.
Vẫn còn rất nhiều vấn đề chưa được giải quyết liên quan đến bộ này. Có những tiêu chí như thước đo tính bất hợp lý và tính bình thường của một số. Các nhà toán học tiếp tục xem xét các ví dụ quan trọng nhất cho việc họ thuộc nhóm này hay nhóm khác. Ví dụ, người ta tin rằng e là một số bình thường, nghĩa là xác suất các chữ số khác nhau xuất hiện trong bản ghi của nó là như nhau. Đối với số pi, nghiên cứu vẫn đang được tiến hành liên quan đến nó. Một số đo của tính vô tỉ còn được gọi là một giá trị cho biết mức độ gần đúng của số này hoặc số đó với các số hữu tỉ.
Đại số và siêu nghiệm
Như đã đề cập, số vô tỉ được chia có điều kiện thành đại số và siêu việt. Về mặt điều kiện, nói một cách chính xác, sự phân loại này được sử dụng để chia tập hợp C.
Ký hiệu này ẩn các số phức, bao gồm số thực hoặc số thực.
Vì vậy, một giá trị đại số là một giá trị là căn của một đa thức không đồng nhất với 0. Ví dụ: căn bậc hai của 2 sẽ thuộc loại này vì nó là nghiệm của phương trình x2- 2=0.
Tất cả các số thực khác không thỏa mãn điều kiện này được gọi là siêu việt. Đến sự đa dạng nàybao gồm các ví dụ nổi tiếng nhất và đã được đề cập - số pi và cơ số của lôgarit tự nhiên e.
Thật thú vị, không phải cái nào cũng như cái thứ hai ban đầu được các nhà toán học suy luận theo khả năng này, tính phi lý và tính siêu việt của chúng đã được chứng minh nhiều năm sau khi họ phát hiện ra. Đối với số pi, bằng chứng được đưa ra vào năm 1882 và được đơn giản hóa vào năm 1894, chấm dứt cuộc tranh cãi kéo dài 2.500 năm về vấn đề bình phương đường tròn. Nó vẫn chưa được hiểu đầy đủ, vì vậy các nhà toán học hiện đại có một cái gì đó để làm việc. Nhân tiện, tính toán đủ chính xác đầu tiên của giá trị này đã được thực hiện bởi Archimedes. Trước anh ấy, mọi phép tính đều quá gần đúng.
Đối với e (số Euler hoặc Napier), bằng chứng về tính siêu việt của nó đã được tìm thấy vào năm 1873. Nó được sử dụng để giải phương trình logarit.
Các ví dụ khác bao gồm các giá trị sin, cosine và tiếp tuyến cho bất kỳ giá trị đại số nào khác không.
