Để xác định độ song song và vuông góc của các mặt phẳng, cũng như tính khoảng cách giữa các đối tượng hình học này, rất tiện lợi khi sử dụng một hoặc một loại hàm số khác. Đối với những bài toán nào thì việc sử dụng phương trình của một mặt phẳng trong các đoạn là thuận tiện? Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét nó là gì và cách sử dụng nó trong các công việc thực tế.
Phương trình trong các đoạn thẳng là gì?
Một mặt phẳng có thể được xác định trong không gian 3D theo một số cách. Trong bài viết này, một số trong số chúng sẽ được đưa ra khi giải các bài toán dạng khác nhau. Ở đây chúng tôi đưa ra một mô tả chi tiết của phương trình trong các đoạn của mặt phẳng. Nó thường có dạng sau:
x / p + y / q + z / r=1.
Trong đó các ký hiệu p, q, r biểu thị một số con số cụ thể. Phương trình này có thể dễ dàng được chuyển thành một biểu thức tổng quát và sang các dạng hàm số khác cho mặt phẳng.
Sự thuận tiện của việc viết phương trình dưới dạng đoạn nằm ở chỗ nó chứa tọa độ rõ ràng của giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ vuông góc. Trên trục xso với gốc tọa độ, mặt phẳng cắt một đoạn có độ dài p, trên trục y - bằng q, trên z - có độ dài r.
Nếu bất kỳ biến nào trong ba biến không có trong phương trình, thì điều này có nghĩa là mặt phẳng không đi qua trục tương ứng (các nhà toán học nói rằng nó cắt ở vô cùng).
Tiếp theo, đây là một số vấn đề trong đó chúng tôi sẽ chỉ ra cách làm việc với phương trình này.
Giao tiếp của tổng quát và trong các phân đoạn của phương trình
Người ta biết rằng mặt phẳng được cho bởi đẳng thức sau:
2x - 3y + z - 6=0.
Cần phải viết phương trình tổng quát này của mặt phẳng thành các đoạn.
Khi một vấn đề tương tự phát sinh, bạn cần làm theo kỹ thuật này: chúng ta chuyển số hạng tự do sang vế phải của đẳng thức. Sau đó, chúng tôi chia toàn bộ phương trình cho số hạng này, cố gắng diễn đạt nó ở dạng đã cho trong đoạn trước. Chúng tôi có:
2x - 3y + z=6=>
2x / 6 - 3y / 6 + z / 6=1=>
x / 3 + y / (- 2) + z / 6=1.
Chúng ta đã thu được trong các phân đoạn phương trình của mặt phẳng, ban đầu được cho ở dạng tổng quát. Đáng chú ý là mặt phẳng cắt các đoạn có độ dài lần lượt là 3, 2 và 6 cho các trục x, y và z. Trục y cắt mặt phẳng trong vùng tọa độ âm.
Khi vẽ một phương trình trong các phân đoạn, điều quan trọng là tất cả các biến phải được đặt trước dấu "+". Chỉ trong trường hợp này, số mà biến này được chia sẽ hiển thị tọa độ bị cắt trên trục.
Vectơ pháp tuyến và điểm trên mặt phẳng
Biết rằng mặt phẳng nào đó có vectơ chỉ phương (3; 0; -1). Biết rằng nó đi qua điểm (1; 1; 1). Đối với mặt phẳng này, hãy viết một phương trình theo các đoạn.
Để giải quyết vấn đề này, trước tiên bạn nên sử dụng hình dạng chung cho đối tượng hình học hai chiều này. Dạng chung được viết là:
Ax + By + Cz + D=0.
Ba hệ số đầu tiên ở đây là tọa độ của vectơ hướng dẫn, được chỉ định trong câu lệnh bài toán, đó là:
A=3;
B=0;
C=-1.
Nó vẫn là để tìm số hạng tự do D. Nó có thể được xác định theo công thức sau:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Trong đó các giá trị tọa độ có chỉ số 1 tương ứng với tọa độ của một điểm thuộc mặt phẳng. Chúng tôi thay thế các giá trị của chúng từ điều kiện của vấn đề, chúng tôi nhận được:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Bây giờ bạn có thể viết phương trình đầy đủ:
3x - z - 2=0.
Kỹ thuật chuyển biểu thức này thành một phương trình trong các đoạn của mặt phẳng đã được trình bày ở trên. Áp dụng nó:
3x - z=2=>
x / (2/3) + z / (- 2)=1.
Đã nhận được câu trả lời cho vấn đề. Lưu ý rằng mặt phẳng này chỉ cắt các trục x và z. Đối với y, nó là song song.
Hai đường thẳng xác định một mặt phẳng
Từ môn học hình học không gian, mọi học sinh đều biết rằng hai đường thẳng tùy ý xác định duy nhất một mặt phẳng trongkhông gian ba chiều. Hãy giải quyết một vấn đề tương tự.
Hai phương trình của đường đã biết:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(- 1; 0; 1).
Cần phải viết phương trình của mặt phẳng thành các đoạn, đi qua các đường này.
Vì cả hai đường thẳng phải nằm trong mặt phẳng, điều này có nghĩa là vectơ (hướng dẫn) của chúng phải vuông góc với vectơ (hướng dẫn) đối với mặt phẳng. Đồng thời, biết rằng tích vectơ của hai đoạn thẳng có hướng tùy ý cho kết quả dưới dạng tọa độ của bậc ba, vuông góc với hai đoạn gốc. Với thuộc tính này, chúng tôi thu được tọa độ của một vectơ pháp tuyến đối với mặt phẳng mong muốn:
[(2; -1; 0)(- 1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Vì nó có thể được nhân với một số tùy ý, điều này tạo thành một đoạn có hướng mới song song với đoạn ban đầu, ta có thể thay dấu của tọa độ thu được bằng dấu đối (nhân với -1), ta được:
(1; 2; 1).
Chúng ta biết vectơ chỉ hướng. Vẫn lấy một điểm tùy ý của một trong các đường thẳng và vẽ phương trình tổng quát của mặt phẳng:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Dịch đẳng thức này thành một biểu thức trong các phân đoạn, chúng ta nhận được:
x + 2y + z=1=>
x / 1 + y / (1/2) + z / 1=1.
Như vậy, mặt phẳng cắt cả ba trục trong miền dương của hệ tọa độ.
Ba điểm và một mặt phẳng
Cũng giống như hai đường thẳng, ba điểm xác định một mặt phẳng duy nhất trong không gian ba chiều. Chúng ta viết phương trình tương ứng thành các đoạn nếu biết tọa độ các điểm nằm trong mặt phẳng sau:
Q (1; -2; 0);
P (2; -3; 0);
M (4; 1; 0).
Hãy làm như sau: tính tọa độ của hai vectơ tùy ý nối các điểm này, sau đó tìm vectơ n¯ pháp tuyến với mặt phẳng bằng cách tính tích của các đoạn thẳng tìm được. Chúng tôi nhận được:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Lấy điểm P làm ví dụ, lập phương trình mặt phẳng:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(- 3) + 60)=0;
6z=0 hoặc z=0.
Chúng ta có một biểu thức đơn giản tương ứng với mặt phẳng xy trong hệ tọa độ hình chữ nhật đã cho. Nó không thể được viết thành các đoạn vì trục x và y thuộc mặt phẳng và độ dài của đoạn bị cắt trên trục z bằng 0 (điểm (0; 0; 0) thuộc mặt phẳng).
