Leonhard Euler (1707-1783) - nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ và Nga, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg, đã sống phần lớn cuộc đời ở Nga. Nổi tiếng nhất trong phân tích toán học, thống kê, khoa học máy tính và logic là vòng tròn Euler (biểu đồ Euler-Venn), được sử dụng để biểu thị phạm vi của các khái niệm và tập hợp các phần tử.
John Venn (1834-1923) - nhà triết học và logic học người Anh, đồng tác giả của biểu đồ Euler-Venn.
Khái niệm tương thích và không tương thích
Theo khái niệm trong logic có nghĩa là một hình thức tư duy phản ánh các đặc điểm thiết yếu của một lớp các đối tượng đồng nhất. Chúng được biểu thị bằng một hoặc một nhóm từ: “bản đồ thế giới”, “hợp âm thứ năm-thứ bảy thống trị”, “thứ hai”, v.v.
Trong trường hợp các yếu tố thuộc phạm vi của một khái niệm này hoàn toàn hoặc một phần thuộc phạm vi của khái niệm khác, người ta nói về các khái niệm tương thích. Tuy nhiên, nếu không có phần tử nào thuộc phạm vi của một khái niệm nhất định thuộc phạm vi của một khái niệm khác, chúng ta có các khái niệm không tương thích.
Đổi lại, mỗi loại khái niệm có một tập hợp các mối quan hệ có thể có của riêng nó. Đối với các khái niệm tương thích, đó là:
- danh tính (tương đương) của khối lượng;
- vượt qua (trận đấu một phần)tập;
- submission (sự phụ thuộc).
Đối với không tương thích:
- phụ (phối hợp);
- ngược lại (trái ngược);
- mâu thuẫn (mâu thuẫn).
Về mặt sơ đồ, quan hệ giữa các khái niệm trong logic thường được biểu thị bằng cách sử dụng vòng tròn Euler-Venn.
Quan hệ tương đương
Trong trường hợp này, các khái niệm có cùng một chủ đề. Theo đó, khối lượng của các khái niệm này là hoàn toàn giống nhau. Ví dụ:
A - Sigmund Freud;
B là người sáng lập ra phân tâm học.
Hoặc:
A là hình vuông;
B là hình chữ nhật đều;
C là một hình thoi đều.
Các vòng tròn Euler hoàn toàn trùng khớp được dùng để chỉ định.
Giao điểm (khớp một phần)
Danh mục này bao gồm các khái niệm có các yếu tố chung liên quan đến việc vượt biển. Có nghĩa là, khối lượng của một trong các khái niệm được bao gồm một phần trong khối lượng của khái niệm kia:
A - giáo viên;
B là một người yêu âm nhạc.
Như có thể thấy từ ví dụ này, khối lượng các khái niệm trùng khớp một phần: một nhóm giáo viên nhất định có thể là những người yêu âm nhạc, và ngược lại - có thể có những người đại diện cho nghề dạy học trong số những người yêu âm nhạc. Một thái độ tương tự sẽ xảy ra trong trường hợp ví dụ, khái niệm A là “công dân” và B là “người lái xe”.
Submission (sự phụ thuộc)
được biểu thị một cách sơ đồ là các vòng tròn Euler với các tỷ lệ khác nhau. Quan hệgiữa các khái niệm trong trường hợp này được đặc trưng bởi thực tế là khái niệm cấp dưới (nhỏ hơn về khối lượng) hoàn toàn được bao gồm trong cấp dưới (lớn hơn về khối lượng). Đồng thời, khái niệm cấp dưới không hoàn toàn làm kiệt quệ người cấp dưới.
Ví dụ:
A - cây;
B - cây thông.
Khái niệm B sẽ phụ thuộc vào khái niệm A. Vì cây thông thuộc về cây nên khái niệm A trong ví dụ này trở thành cấp dưới, "hấp thụ" phạm vi của khái niệm B.
Phối (phối)
Quan hệ đặc trưng cho hai hoặc nhiều khái niệm loại trừ nhau, nhưng thuộc một vòng tròn chung chung nhất định. Ví dụ:
A - clarinet;
B - guitar;
C - vi-ô-lông;
D là một loại nhạc cụ.
Các khái niệm A, B, C không tương quan với nhau, tuy nhiên, chúng đều thuộc về loại nhạc cụ (khái niệm D).
Ngược lại (trái ngược)
Mối quan hệ đối lập giữa các khái niệm ngụ ý rằng các khái niệm này thuộc cùng một chi. Đồng thời, một trong những khái niệm có những thuộc tính (đặc điểm) nhất định, trong khi khái niệm kia phủ nhận chúng, thay thế chúng bằng những thuộc tính đối lập về bản chất. Vì vậy, chúng ta đang đối phó với các từ trái nghĩa. Ví dụ:
A là người lùn;
B là một người khổng lồ.
Vòng tròn Euler có quan hệ đối lập giữa các khái niệmđược chia thành ba phân đoạn, phân đoạn đầu tiên tương ứng với khái niệm A, phân đoạn thứ hai tương ứng với khái niệm B và phân đoạn thứ ba tương ứng với tất cả các khái niệm có thể có khác.
Mâu thuẫn (mâu thuẫn)
Trong trường hợp này, cả hai khái niệm đều là các loài thuộc cùng một chi. Như trong ví dụ trước, một trong những khái niệm chỉ ra những phẩm chất (tính năng) nhất định, trong khi khái niệm kia phủ nhận chúng. Tuy nhiên, đối lập với quan hệ của các mặt đối lập, khái niệm thứ hai, đối lập không thay thế các thuộc tính bị phủ nhận bằng các thuộc tính khác thay thế. Ví dụ:
A là một nhiệm vụ khó khăn;
B là một nhiệm vụ dễ dàng (không phải-A).
Thể hiện khối lượng của các khái niệm thuộc loại này, vòng tròn Euler được chia thành hai phần - liên kết thứ ba, trung gian trong trường hợp này không tồn tại. Như vậy, các khái niệm cũng là từ trái nghĩa. Đồng thời, một trong số chúng (A) trở nên tích cực (khẳng định một số tính năng), và thứ hai (B hoặc không phải A) trở thành tiêu cực (phủ định tính năng tương ứng): “white paper” - “không phải là white paper”, “lịch sử quốc gia”-“lịch sử nước ngoài”, v.v.
Vì vậy, tỷ lệ khối lượng của các khái niệm trong mối quan hệ với nhau là đặc điểm chính xác định các vòng tròn Euler.
Mối quan hệ giữa các bộ
Cũng cần phân biệt giữa các khái niệm về phần tử và tập hợp, thể tích của chúng được hiển thị bởi các vòng tròn Euler. Khái niệm tập hợp được vay mượn từ khoa học toán học và có một ý nghĩa khá rộng. Các ví dụ trong logic và toán học hiển thị nó như một tập hợp các đối tượng nhất định. Bản thân các đối tượng làcác phần tử của tập hợp này. "Nhiều người được coi là một" (Georg Kantor, người sáng lập lý thuyết tập hợp).
Tập hợp được ký hiệu bằng chữ in hoa: A, B, C, D… vv, các phần tử của tập hợp được ký hiệu bằng chữ thường: a, b, c, d… vv. Ví dụ về một tập hợp có thể là học sinh đang ở trong một lớp học, sách trên một giá nhất định (hoặc, ví dụ, tất cả sách trong một thư viện nhất định), các trang trong nhật ký, quả mọng trong rừng, v.v.
Đến lượt nó, nếu một tập hợp nào đó không chứa một phần tử nào thì nó được gọi là rỗng và được ký hiệu bằng dấu Ø. Ví dụ, tập hợp các giao điểm của các đường thẳng song song, tập nghiệm của phương trình x2=-5.
Giải quyết vấn đề
Vòng kết nốiEuler được sử dụng tích cực để giải quyết một số lượng lớn các vấn đề. Các ví dụ trong logic chứng minh rõ ràng mối liên hệ giữa các phép toán logic và lý thuyết tập hợp. Trong trường hợp này, bảng sự thật của các khái niệm được sử dụng. Ví dụ, vòng tròn có nhãn A đại diện cho vùng chân lý. Vì vậy, khu vực bên ngoài hình tròn sẽ đại diện cho false. Để xác định khu vực của sơ đồ cho một phép toán logic, bạn nên tô bóng các khu vực xác định vòng tròn Euler, trong đó giá trị của nó cho các phần tử A và B sẽ là true.
Việc sử dụng các vòng tròn Euler đã được ứng dụng rộng rãi trong thực tế trong các ngành công nghiệp khác nhau. Ví dụ, trong một tình huống có sự lựa chọn chuyên nghiệp. Nếu đối tượng lo lắng về việc lựa chọn nghề nghiệp trong tương lai, anh ta có thể được hướng dẫn theo các tiêu chí sau:
W - tôi thích làm gì?
D - tôi đang làm gì vậy?
P- làm thế nào tôi có thể kiếm tiền tốt?
Hãy vẽ cái này dưới dạng biểu đồ: Các vòng tròn Euler (ví dụ trong quan hệ logic - giao điểm):
Kết quả sẽ là những nghề sẽ nằm ở giao điểm của cả ba vòng tròn.
Các vòng tròn
Euler-Venn chiếm một vị trí riêng trong toán học (lý thuyết tập hợp) khi tính toán các tổ hợp và tính chất. Các vòng tròn Euler của tập hợp các phần tử được bao trong hình ảnh của một hình chữ nhật biểu thị tập phổ quát (U). Thay vì các hình tròn, các hình khép kín khác cũng có thể được sử dụng, nhưng bản chất của điều này không thay đổi. Các hình cắt nhau, theo điều kiện của bài toán (trong trường hợp tổng quát nhất). Ngoài ra, các số liệu này nên được dán nhãn tương ứng. Các phần tử của tập hợp đang xét có thể là các điểm nằm bên trong các đoạn khác nhau của sơ đồ. Dựa vào đó, bạn có thể tô bóng các khu vực cụ thể, từ đó chỉ định các nhóm mới được hình thành.
Với các tập hợp này, có thể thực hiện các phép toán cơ bản: cộng (tổng các phần tử), trừ (hiệu), nhân (tích). Ngoài ra, nhờ sơ đồ Euler-Venn, có thể so sánh các tập hợp theo số phần tử có trong chúng, không tính chúng.
