Hình tròn là hình chính trong hình học, các tính chất của hình học được coi là ở trường ở lớp 8. Một trong những bài toán điển hình liên quan đến hình tròn là tìm diện tích của một phần nào đó của nó, được gọi là cung tròn. Bài viết cung cấp các công thức cho diện tích của một cung và độ dài cung của nó, cũng như một ví dụ về việc sử dụng chúng để giải một bài toán cụ thể.
Khái niệm về hình tròn và hình tròn
Trước khi đưa ra công thức về diện tích của một hình tròn, chúng ta hãy xem hình được chỉ ra là gì. Theo định nghĩa toán học, một đường tròn được hiểu là một hình như vậy trên một mặt phẳng, tất cả các điểm đều cách đều một điểm (tâm).
Khi xem xét một vòng tròn, thuật ngữ sau được sử dụng:
- Bán kính - một đoạn được vẽ từ điểm trung tâm đến đường cong của hình tròn. Nó thường được ký hiệu bằng chữ R.
- Đường kính là đoạn nối hai điểm của đường tròn, nhưng cũng đi qua tâm của hình. Nó thường được ký hiệu bằng chữ D.
- Arc là một phần của hình tròn cong. Nó được đo bằng đơn vị chiều dài hoặc sử dụng góc.
Hình tròn là một hình học quan trọng khác, nó là tập hợp các điểm được giới hạn bởi một đường tròn cong.
Diện tích và chu vi hình tròn
Các giá trị ghi trong tiêu đề của mục được tính bằng hai công thức đơn giản. Chúng được liệt kê bên dưới:
- Chu vi: L=2piR.
- Diện tích hình tròn: S=piR2.
Trong các công thức này, pi là một số hằng số được gọi là Pi. Nó không hợp lý, nghĩa là nó không thể được biểu thị chính xác dưới dạng một phân số đơn giản. Pi xấp xỉ 3,1416.
Như bạn thấy từ các biểu thức trên, để tính diện tích và chiều dài, chỉ cần biết bán kính của hình tròn là đủ.
Diện tích cung của hình tròn và độ dài cung của nó
Trước khi xem xét các công thức tương ứng, chúng ta nhớ lại rằng góc trong hình học thường được biểu diễn theo hai cách chính:
- theo độ thập phân và toàn bộ vòng quay quanh trục của nó là 360o;
- tính bằng radian, được biểu thị dưới dạng phân số của pi và liên quan đến độ theo phương trình sau: 2pi=360o.
Cung của hình tròn là hình được giới hạn bởi ba đường: một cung của hình tròn và hai bán kính nằm ở hai đầu của cung này. Ví dụ về cung tròn được hiển thị trong ảnh dưới đây.
Có được ý tưởng về khu vực cho một vòng tròn, thật dễ dànghiểu cách tính diện tích và độ dài cung tương ứng. Hình trên có thể thấy rằng cung của cung ứng với góc θ. Chúng ta biết rằng một đường tròn đầy đủ tương ứng với 2pi radian, vì vậy công thức về diện tích của một cung tròn sẽ có dạng: S1=Sθ / (2pi)=piR 2 θ / (2pi)=θR2/ 2. Ở đây góc θ được biểu thị bằng radian. Một công thức tương tự cho diện tích cung, nếu góc θ được đo bằng độ, sẽ có dạng như sau: S1=piθR2/ 360.
Độ dài của cung tạo thành một cung được tính theo công thức: L1=θ2piR / (2pi)=θR. Và nếu θ được biết theo độ, thì: L1=piθR / 180.
Ví dụ về giải quyết vấn đề
Hãy sử dụng ví dụ của một bài toán đơn giản để chỉ ra cách sử dụng các công thức tính diện tích của một hình tròn và độ dài cung của nó.
Được biết bánh xe có 12 nan. Khi bánh xe thực hiện một vòng quay hoàn toàn, nó sẽ đi được quãng đường 1,5 mét. Diện tích được bao quanh giữa hai nan liền kề của bánh xe và độ dài của cung giữa chúng là bao nhiêu?
Như bạn thấy từ các công thức tương ứng, để sử dụng chúng, bạn cần biết hai đại lượng: bán kính của đường tròn và góc của cung. Bán kính có thể được tính từ khi biết chu vi của bánh xe, vì quãng đường mà nó đi được trong một vòng quay tương ứng chính xác với nó. Ta có: 2Rpi=1,5, khi đó: R=1,5 / (2pi)=0,2387 mét. Góc giữa các nan hoa gần nhất có thể được xác định bằng cách biết số lượng của chúng. Giả sử rằng tất cả 12 nan hoa chia đều hình tròn thành các cung bằng nhau, chúng ta nhận được 12 cung giống nhau. Theo đó, số đo góc của cung giữa hai nan hoa là: θ=2pi / 12=pi / 6=0,5236 radian.
Chúng tôi đã tìm thấy tất cả các giá trị cần thiết, bây giờ chúng có thể được thay thế vào các công thức và tính toán các giá trị theo yêu cầu của điều kiện của bài toán. Ta nhận được: S1=0,5236(0,2387)2/ 2=0,0149 m2,hoặc 149cm2; L1=0,52360,2387=0,125 m hoặc 12,5 cm.
