Khả năng xác định thể tích của các hình trong không gian rất quan trọng để giải các bài toán hình học và thực tế. Một trong những hình này là hình lăng trụ. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét nó là gì và chỉ ra cách tính thể tích của một lăng trụ nghiêng.
Lăng kính trong hình học có nghĩa là gì?
Đây là một hình đa diện đều (đa diện), được tạo thành bởi hai đáy giống nhau nằm trong các mặt phẳng song song và một số hình bình hành nối các đáy được đánh dấu.
Cơ sở lăng trụ có thể là các đa giác tùy ý, chẳng hạn như tam giác, tứ giác, lục giác, v.v. Hơn nữa, số góc (cạnh) của đa giác xác định tên của hình.
Bất kỳ lăng trụ nào có đáy là n-gon (n là số cạnh) gồm n + 2 mặt, 2 × n đỉnh và 3 × n cạnh. Từ các số đã cho, có thể thấy rằng số phần tử của lăng kính tương ứng với định lý Euler:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Hình bên dưới cho thấy các lăng trụ tam giác và tứ giác làm bằng thủy tinh trông như thế nào.
Các loại hình. Lăng kính nghiêng
Ở trên đã nói rằng tên của hình lăng trụ được xác định bởi số cạnh của đa giác ở đáy. Tuy nhiên, có những đặc điểm khác trong cấu trúc của nó quyết định các thuộc tính của hình. Vì vậy, nếu tất cả các hình bình hành tạo thành mặt bên của lăng trụ được biểu diễn bằng hình chữ nhật hoặc hình vuông, thì hình đó được gọi là đường thẳng. Đối với hình lăng trụ thẳng, khoảng cách giữa các đáy bằng độ dài cạnh bên của hình chữ nhật bất kỳ.
Nếu một số hoặc tất cả các cạnh là hình bình hành, thì chúng ta đang nói về một lăng trụ nghiêng. Chiều cao của nó sẽ nhỏ hơn chiều dài của sườn bên.
Một tiêu chí khác để phân loại các hình đang được xem xét là độ dài các cạnh và các góc của đa giác ở đáy. Nếu chúng bằng nhau thì đa giác sẽ đúng. Một hình thẳng có một đa giác đều ở các đáy được gọi là hình đều. Nó là thuận tiện để làm việc với nó khi xác định diện tích bề mặt và thể tích. Một lăng kính nghiêng về mặt này có một số khó khăn.
Hình bên dưới cho thấy hai lăng trụ có đáy là hình vuông. Góc 90 ° cho thấy sự khác biệt cơ bản giữa lăng kính thẳng và lăng trụ xiên.
Công thức xác định thể tích của hình
Phần không gian giới hạn bởi các mặt của lăng trụ được gọi là thể tích của nó. Đối với các số liệu được xem xét thuộc bất kỳ loại nào, giá trị này có thể được xác định theo công thức sau:
V=h × So
Ở đây, ký hiệu h biểu thị chiều cao của lăng kính,là thước đo khoảng cách giữa hai đế. Ký hiệu So- một hình vuông cơ sở.
Khu vực cơ sở dễ tìm. Với thực tế là đa giác đều hay không và biết số cạnh của nó, bạn nên áp dụng công thức thích hợp và nhận được So. Ví dụ, đối với một n-gon thông thường có độ dài cạnh a, diện tích sẽ là:
S=n / 4 × a2 ×ctg (pi / n)
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang độ cao h. Đối với hình lăng trụ thẳng việc xác định chiều cao không khó nhưng đối với hình lăng trụ xiên thì đây không phải là việc dễ dàng. Nó có thể được giải quyết bằng các phương pháp hình học khác nhau, bắt đầu từ các điều kiện ban đầu cụ thể. Tuy nhiên, có một cách phổ biến để xác định chiều cao của một con số. Hãy mô tả ngắn gọn.
Ý tưởng là tìm khoảng cách từ một điểm trong không gian đến một mặt phẳng. Giả sử rằng mặt phẳng được cho bởi phương trình:
A × x + B × y + C × z + D=0
Sau đó máy bay sẽ ở khoảng cách:
h=| A × x1+ B × y1+ C × z1+ D | / √ (A2+ B2+ C2)
Nếu các trục tọa độ được sắp xếp sao cho điểm (0; 0; 0) nằm trong mặt phẳng đáy của hình lăng trụ thì phương trình của mặt phẳng đáy có thể được viết như sau:
z=0
Điều này có nghĩa là công thức cho chiều cao sẽ được viếtvì vậy:
h=z1
Chỉ cần tìm tọa độ z của bất kỳ điểm nào của cơ sở trên là đủ để xác định chiều cao của hình.
Ví dụ về giải quyết vấn đề
Hình bên dưới là hình lăng trụ tứ giác. Mặt đáy của hình lăng trụ nghiêng là hình vuông có cạnh 10 cm, cần tính thể tích của nó nếu biết độ dài cạnh bên là 15 cm và góc nhọn của hình bình hành là 70 °.
Vì chiều cao h của hình này cũng chính là chiều cao của hình bình hành nên ta dùng công thức xác định diện tích để tìm h. Hãy biểu thị các cạnh của hình bình hành như sau:
a=10cm;
b=15 cm
Sau đó, bạn có thể viết các công thức sau để nó xác định diện tích Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Từ nơi chúng tôi nhận được:
h=b × sin (α)
Ở đây α là một góc nhọn của hình bình hành. Vì đáy là hình vuông nên công thức tính thể tích của lăng trụ nghiêng sẽ có dạng:
V=a2× b × sin (α)
Chúng tôi thay thế dữ liệu từ điều kiện vào công thức và nhận được câu trả lời: V ≈ 1410 cm3.
