Thể tích là một đặc điểm của bất kỳ hình nào có các kích thước khác không trong cả ba chiều của không gian. Trong bài viết này, từ quan điểm của hình học lập thể (hình học của các hình không gian), chúng ta sẽ xem xét một hình lăng trụ và đưa ra cách tìm thể tích của các hình lăng trụ khác nhau.
Lăng kính là gì?
Stereometry có câu trả lời chính xác cho câu hỏi này. Hình lăng trụ trong đó được hiểu là hình được tạo bởi hai mặt đa giác giống nhau và một số hình bình hành. Hình dưới đây cho thấy bốn lăng kính khác nhau.
Mỗi chúng có thể được lấy như sau: bạn cần lấy một đa giác (tam giác, tứ giác, v.v.) và một đoạn có độ dài nhất định. Sau đó, mỗi đỉnh của đa giác nên được chuyển bằng cách sử dụng các đoạn song song sang một mặt phẳng khác. Trong mặt phẳng mới, sẽ song song với mặt phẳng ban đầu, sẽ thu được một đa giác mới, tương tự như đa giác đã chọn lúc đầu.
Lăng kính có thể có nhiều loại khác nhau. Vì vậy, chúng có thể thẳng, xiên và chính xác. Nếu cạnh bên của lăng kính (đoạn,nối các đỉnh của các cạnh) vuông góc với các đáy của hình vẽ thì hình sau là một đoạn thẳng. Theo đó, nếu điều kiện này không được đáp ứng, thì chúng ta đang nói về một lăng trụ nghiêng. Hình đều là hình lăng trụ bên phải có đáy là tam giác và đều.
Ở phần sau của bài viết, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách tính thể tích của từng loại lăng trụ này.
Thể tích của lăng trụ đều
Hãy bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất. Ta đưa ra công thức tính thể tích của khối lăng trụ đều có đáy là n. Công thức thể tích V cho bất kỳ hình nào của lớp đang xét như sau:
V=So h.
Tức là, để xác định thể tích, chỉ cần tính diện tích của một trong các cơ sở Sovà nhân với chiều cao h của hình là đủ.
Trong trường hợp của hình lăng trụ đều, hãy biểu thị độ dài của cạnh bên bằng chữ a và chiều cao bằng độ dài của cạnh bên bằng chữ h. Nếu cơ sở của n-gon là đúng, thì cách dễ nhất để tính diện tích của nó là sử dụng công thức chung sau:
S=n / 4a2 ctg (pi / n).
Thay giá trị của số cạnh n và độ dài của một cạnh a thành bằng nhau, bạn có thể tính được diện tích của cơ sở n-gonal. Lưu ý rằng hàm cotang ở đây được tính cho góc pi / n, được biểu thị bằng radian.
Cho đẳng thức viết cho S, chúng ta thu được công thức cuối cùng cho thể tích của một lăng trụ đều:
V=n / 4a2 hctg (pi / n).
Đối với từng trường hợp cụ thể, bạn có thể viết các công thức tương ứng cho V, nhưng tất cả đềuduy nhất theo sau từ biểu thức chung đã viết. Ví dụ, đối với một lăng trụ tứ giác đều, trong trường hợp chung là một hình bình hành là hình chữ nhật, chúng ta nhận được:
V4=4/4a2 hctg (pi / 4)=a2 h.
Nếu chúng ta lấy h=a trong biểu thức này, thì chúng ta sẽ nhận được công thức về thể tích của khối lập phương.
Thể tích của lăng kính trực tiếp
Chúng ta lưu ý ngay rằng đối với các hình thẳng, không có công thức chung nào để tính thể tích, công thức này đã được đưa ra ở trên cho các hình lăng trụ đều. Khi tìm giá trị được đề cập, nên sử dụng biểu thức ban đầu:
V=So h.
Ở đây h là độ dài của cạnh bên, như trong trường hợp trước. Đối với vùng cơ sở So, nó có thể nhận nhiều giá trị khác nhau. Nhiệm vụ tính thể tích của một khối lăng trụ thẳng được thu gọn là tìm diện tích của đáy.
Việc tính toán giá trị của Sonên được thực hiện dựa trên các đặc tính của chính cơ sở đó. Ví dụ, nếu nó là một hình tam giác, thì diện tích có thể được tính như sau:
So3=1/2aha.
Ở đây halà đỉnh của tam giác, tức là chiều cao của nó hạ xuống đáy a.
Nếu đáy là tứ giác thì nó có thể là hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật hoặc một loại hoàn toàn tùy ý. Đối với tất cả những trường hợp này, bạn nên sử dụng công thức đo độ phẳng thích hợp để xác định diện tích. Ví dụ: đối với hình thang, công thức này có dạng:
So4=1/2(a1+ a2)ha.
Trong đó halà chiều cao của hình thang,1và2là độ dài các cạnh song song của nó.
Để xác định diện tích của các đa giác có bậc cao hơn, bạn nên chia chúng thành các hình đơn giản (tam giác, tứ giác) và tính tổng diện tích của các hình sau.
Thể tích lăng kính nghiêng
Đây là trường hợp khó nhất khi tính thể tích của một lăng trụ. Công thức chung cho các số liệu như vậy cũng được áp dụng:
V=So h.
Tuy nhiên, với sự phức tạp của việc tìm diện tích của cơ sở biểu diễn một loại đa giác tùy ý, bài toán xác định chiều cao của hình được thêm vào. Nó luôn nhỏ hơn độ dài của cạnh bên trong lăng kính nghiêng.
Cách dễ nhất để tìm chiều cao này là nếu bạn biết một góc bất kỳ của hình (hình phẳng hoặc hình nhị diện). Nếu cho một góc như vậy, thì người ta nên sử dụng nó để dựng một tam giác vuông bên trong lăng trụ, trong đó có chiều cao h là một trong các cạnh và sử dụng các hàm lượng giác và định lý Pitago, tìm giá trị h.
Bài toán khối lượng hình học
Cho hình lăng trụ đều có đáy là hình tam giác, có chiều cao bằng 14 cm và độ dài cạnh bên là 5 cm. Thể tích của hình lăng trụ tam giác là bao nhiêu?
Vì chúng ta đang nói về con số chính xác, chúng ta có quyền sử dụng công thức nổi tiếng. Chúng tôi có:
V3=3/4a2 hctg (pi / 3)=3/452 141 / √3=√3 / 42514=151,55 cm3.
Hình lăng trụ tam giác là một hình khá đối xứng, dưới dạng các cấu trúc kiến trúc khác nhau thường được tạo ra. Lăng kính thủy tinh này được sử dụng trong quang học.
