Trong bài viết này, phương pháp được coi là cách giải hệ phương trình tuyến tính (SLAE). Phương pháp này là phân tích, nghĩa là, nó cho phép bạn viết một thuật toán giải pháp chung, và sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những hệ có vô số nghiệm. Hoặc hoàn toàn không có.
Giải bằng phương pháp Gauss nghĩa là gì?
Đầu tiên, chúng ta cần viết hệ phương trình dưới dạng ma trận. Nó trông như thế này. Hệ thống được lấy:
Hệ số được viết dưới dạng một bảng và ở bên phải trong một cột riêng biệt - thành viên tự do. Cột có các thành viên tự do được ngăn cách thuận tiện bằng một thanh dọc. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.
Tiếp theo, ma trận chính với các hệ số phải được thu gọn thành hình tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông như thế này, do đó chỉ có các số không ở phần dưới bên trái của nó:
Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng một hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng dòng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các căn, sau đó được thay vào phương trình trên, một căn khác được tìm thấy., v.v.
Đây là mô tả về giải pháp Gaussian theo các thuật ngữ chung nhất. Và điều gì sẽ xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có giải pháp? Hay có vô hạn trong số chúng? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng trong giải pháp theo phương pháp Gauss.
Ma trận, thuộc tính của chúng
Không có ý nghĩa ẩn trong ma trận. Nó chỉ là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động sau này. Ngay cả học sinh cũng không nên sợ chúng.
Ma trận luôn là hình chữ nhật vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mọi thứ chỉ tập trung vào việc xây dựng một ma trận tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ với các số không ở nơi không có số. Zeros có thể được bỏ qua, nhưng chúng được ngụ ý.
Ma trận có kích thước. "Chiều rộng" của nó là số hàng (m), "chiều dài" của nó là số cột (n). Khi đó kích thước của ma trận A (các chữ cái Latinh viết hoa thường được sử dụng để chỉ định của chúng) sẽ được ký hiệu là Am × n. Nếu m=n, thì ma trận này là hình vuông, vàm=n - thứ tự của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A có thể được ký hiệu bằng số hàng và cột của nó: axy; x - số hàng, thay đổi [1, m], y - số cột, thay đổi [1, n].
Trong phương pháp Gaussian, ma trận không phải là điểm chính của giải pháp. Về nguyên tắc, tất cả các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, tuy nhiên, ký hiệu sẽ phức tạp hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều.
Vòng loại
Ma trận cũng có một định thức. Đây là một tính năng rất quan trọng. Việc tìm ra ý nghĩa của nó bây giờ là không có giá trị, bạn có thể chỉ cần chỉ ra cách nó được tính toán, và sau đó cho biết thuộc tính nào của ma trận mà nó xác định. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên, và sau đó các tích kết quả được cộng: đường chéo có độ dốc bên phải - với dấu "cộng", với độ dốc ở bên trái - với dấu "trừ".
Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho một ma trận vuông. Đối với ma trận hình chữ nhật, bạn có thể làm như sau: chọn giá trị nhỏ nhất trong số hàng và số cột (giả sử là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử nằm ở giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo thành một ma trận vuông mới. Nếu định thức của một ma trận như vậy là một số khác 0, thì nó sẽ được gọi là số nhỏ cơ bản của ma trận hình chữ nhật ban đầu.
TrướcLàm thế nào để bắt đầu giải một hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, nó không làm tổn hại đến việc tính toán định thức. Nếu nó trở thành 0, thì chúng ta có thể nói ngay rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.
Phân loại hệ thống
Có một thứ như là hạng của ma trận. Đây là bậc lớn nhất của định thức khác 0 của nó (nhớ số hạng cơ sở, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là hạng của phần tử cơ sở).
Cách mọi thứ theo thứ hạng, CHẬM có thể được chia thành:
- Doanh. Đối với hệ thống liên kết, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (với một cột các số hạng tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, do đó, các hệ thống chung cũng được chia thành:
- - xác định - có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, thứ hạng của ma trận và số ẩn số bằng nhau (hoặc số cột giống nhau);
- - vô thời hạn - với vô số giải pháp. Thứ hạng của ma trận trong các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
- Không tương thích. Đối với các hệ thống như vậy, cấp bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng không khớp với nhau. Các hệ thống không tương thích không có giải pháp.
Phương pháp Gauss tốt vì nó cho phép bạn có được bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (mà không tính toán các định thức của ma trận lớn) hoặc một nghiệm tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm.
Các phép biến đổi cơ bản
Trướclàm thế nào để tiến hành trực tiếp lời giải của hệ thống, bạn có thể làm cho nó bớt rườm rà và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua các phép biến đổi cơ bản - sao cho việc triển khai chúng không thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản ở trên chỉ hợp lệ cho ma trận, nguồn của nó chính xác là SLAE. Đây là danh sách các phép biến đổi này:
- Thay đổi chuỗi. Rõ ràng là nếu chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến lời giải theo bất kỳ cách nào. Do đó, cũng có thể hoán đổi các hàng trong ma trận của hệ thống này, tất nhiên là không quên về cột các thành viên tự do.
- Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi với một số thừa số. Rất hữu ích! Với nó, bạn có thể giảm các số lớn trong ma trận hoặc loại bỏ các số không. Như thường lệ, tập hợp các giải pháp sẽ không thay đổi và sẽ trở nên thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác tiếp theo. Điều chính là hệ số không được bằng 0.
- Xóa các dòng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân / chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, nhiều hơn) hàng hoàn toàn giống hệt nhau và bạn có thể loại bỏ các hàng thừa, chỉ để lại một.
- Xóa dòng rỗng. Nếu trong quá trình biến đổi, một chuỗi thu được ở đâu đó mà tất cả các phần tử, kể cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì một chuỗi như vậy có thể được gọi là 0 và bị loại ra khỏi ma trận.
- Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (theocác cột tương ứng) nhân với một số hệ số. Sự biến đổi khó hiểu nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó đáng để xem chi tiết hơn.
Thêm một chuỗi nhân với hệ số
Để dễ hiểu, cần phải tháo rời quy trình này từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:
a11a12 … a1n| b1
a21a22 … a2n| b2
Giả sử bạn cần thêm số đầu tiên nhân với hệ số "-2" vào số thứ hai.
a ' 21=a21+ -2 × a11
a ' 22=a22+ -2 × a12
a ' 2n=a2n+ -2 × a1n
Sau đó, hàng thứ hai trong ma trận được thay thế bằng hàng mới, trong khi hàng đầu tiên không thay đổi.
a11a12 … a1n| b1
a ' 21a'22 … a ' 2n| b2
Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách mà kết quả của việc cộng hai chuỗi, một trong các phần tử của chuỗi mới bằng không. Do đó, có thể thu được một phương trình trong hệ, trong đó sẽ có một ẩn số ít hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì phép toán có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình đã chứa ít ẩn số hơn. Và nếu mỗi lần chúng ta chuyển về 0 một hệ số cho tất cả các hàng thấp hơn hàng ban đầu, thì chúng ta có thể, giống như các bước, đi xuống dưới cùng của ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Cái này được gọi làgiải hệ thống bằng phương pháp Gauss.
Nói chung là
Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó như thế này:
Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột gồm các thành viên tự do được thêm vào ma trận mở rộng và được phân tách bằng một thanh để thuận tiện.
Tiếp theo:
- hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k=(-a21/ a11);
- hàng được sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
- thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
- bây giờ hệ số đầu tiên trong dòng thứ hai mới là11× (-a21/ a11) + a21=-a21+ a21=0.
Bây giờ cùng một loạt các phép biến đổi được thực hiện, chỉ có dòng đầu tiên và dòng thứ ba là có liên quan. Theo đó, trong mỗi bước của thuật toán, phần tử a21được thay thế bằng31. Sau đó, mọi thứ lặp lại cho một41,… am1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng [2, m] bằng không. Bây giờ bạn cần quên dòng số một và thực hiện thuật toán tương tự bắt đầu từ dòng thứ hai:
- k hệ số=(-a32/ a22);
- dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng "hiện tại";
- kết quả của phép cộng được thay thế thành các dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và thứ hai không thay đổi;
- trong các hàng [3, m] của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng 0.
Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi hệ số k=(-am, m-1/ ammxuất hiện). Điều này có nghĩa là thuật toán chỉ được chạy lần cuối cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có hình dạng bậc thang. Dòng dưới cùng chứa phương trình amn× x =bm. Hệ số và số hạng tự do đã biết, và căn được biểu thị qua chúng: x =bm/ amn. Gốc kết quả được thay thế vào hàng trên cùng để tìm xn-1=(bm-1- am-1, n × (bm/ amn )) ÷ am-1, n-1. Và tương tự như vậy: trong mỗi dòng tiếp theo có một gốc mới và khi đạt đến "đỉnh" của hệ thống, người ta có thể tìm thấy một tập các nghiệm [x1,… x ]. Nó sẽ là chiếc duy nhất.
Khi không có giải pháp
Nếu trong một trong các hàng của ma trận tất cả các phần tử, ngoại trừ số hạng tự do, đều bằng 0, thì phương trình tương ứng với hàng này có dạng 0=b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ, thì tập nghiệm của toàn bộ hệ là trống, tức là nó suy biến.
Khi có vô số nghiệm
Hóa ra là trong ma trận tam giác rút gọn không có hàng nào có một phần tử - hệ số của phương trình và một - một phần tử tự do. Chỉ có những chuỗi, khi được viết lại, sẽ trông giống như một phương trình có hai hoặc nhiều biến. Điều này có nghĩa là hệ thống có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm điều đó?
Tất cảcác biến trong ma trận được chia thành cơ bản và tự do. Cơ bản - đây là những thứ đứng "ở rìa" của các hàng trong ma trận bậc. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp chung, các biến cơ bản được viết dưới dạng các biến miễn phí.
Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành một hệ phương trình. Sau đó, trong biến cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên, và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mỗi phương trình với một biến cơ bản. Sau đó, trong phần còn lại của phương trình, nếu có thể, thay vì biến cơ bản, biểu thức thu được cho nó được thay thế. Nếu kết quả lại là một biểu thức chỉ chứa một biến cơ bản, thì nó được biểu diễn lại từ đó, v.v., cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng một biểu thức với các biến tự do. Đây là giải pháp chung của SLAE.
Bạn cũng có thể tìm thấy giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến tự do bất kỳ giá trị nào, sau đó tính giá trị của các biến cơ bản cho trường hợp cụ thể này. Có vô số giải pháp cụ thể.
Giải pháp với các ví dụ cụ thể
Đây là một hệ phương trình.
Để tiện hơn, nên làm ngay ma trận của nó
Được biết rằng khi giải bằng phương pháp Gauss, phương trình ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận là nhỏ nhất - sau đó là các phần tử đầu tiênphần còn lại của các hàng sau các hoạt động sẽ chuyển thành không. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ có lợi nếu đặt hàng thứ hai thay cho hàng đầu tiên.
Tiếp theo, bạn cần thay đổi dòng thứ hai và thứ ba để các phần tử đầu tiên trở thành số không. Để thực hiện việc này, hãy thêm chúng vào giá trị đầu tiên, nhân với hệ số:
dòng thứ hai: k=(-a21/ a11)=(-3/1)=-3
a ' 21=a21+ k × a11=3 + (-3) × 1=0
a ' 22=a22+ k × a12=-1 + (- 3) × 2=-7
a ' 23=a23+ k × a13=1 + (-3) × 4=-11
b ' 2=b2+ k × b1=12 + (-3) × 12=-24
dòng thứ ba: k=(-a31/ a11)=(- 5/1)=-5
a ' 31=a31 + k × a11=5 + (-5) × 1=0
a ' 32=a32 + k × a12=1 + (-5) × 2=-9
a ' 33=a33+ k × a13=2 + (-5) × 4=-18
b ' 3=b3+ k × b1=3 + (-5) × 12=-57
Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, bạn cần viết một ma trận với các kết quả trung gian của các phép biến đổi.
Rõ ràng, một ma trận như vậy có thể dễ đọc hơn với sự trợ giúp của một số phép toán. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả các "minuses" khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với "-1".
Cũng cần lưu ý rằng ở dòng thứ ba, tất cả các phần tử đều là bội số của ba. Sau đó bạn có thểcắt chuỗi theo số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời để xóa các giá trị âm).
Trông đẹp hơn rất nhiều. Bây giờ chúng ta cần để lại dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a32trở thành số không.
k=(-a32/ a22)=(-3/7)=-3/7 (nếu trong một số phép biến đổi trong câu trả lời hóa ra không phải là số nguyên, bạn nên để nó “nguyên trạng”, ở dạng một phân số thông thường và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, hãy quyết định xem có làm tròn và chuyển sang dạng khác của ký hiệu)
a ' 32=a32+ k × a22=3 + (-3 / 7) × 7=3 + (-3)=0
a ' 33=a33+ k × a23=6 + (-3 / 7) × 11=-9 / 7
b ' 3=b3+ k × b2=19 + (-3 / 7) × 24=-61 / 7
Ma trận được viết lại với các giá trị mới.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9 / 7 | -61 / 7 |
Như bạn thấy, ma trận kết quả đã có dạng bậc. Do đó, không cần thực hiện các phép biến đổi tiếp theo của hệ thống theo phương pháp Gauss. Điều có thể làm ở đây là xóa hệ số tổng thể "-1/7" khỏi dòng thứ ba.
Bây giờ mọi ngườiđẹp. Điểm nhỏ - viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính các nghiệm thức
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Thuật toán mà các gốc bây giờ sẽ được tìm thấy được gọi là di chuyển ngược lại trong phương pháp Gauss. Phương trình (3) chứa giá trị z:
z=61/9
Tiếp theo, quay lại phương trình thứ hai:
y=(24 - 11 × (61/9)) / 7=-65/9
Và phương trình đầu tiên cho phép bạn tìm x:
x=(12 - 4z - 2y) / 1=12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9)=-6/9=-2/3
Chúng tôi có quyền gọi như vậy là một liên kết hệ thống, và thậm chí xác định, nghĩa là có một giải pháp duy nhất. Câu trả lời được viết dưới dạng sau:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61 / 9.
Ví dụ về hệ thống không xác định
Phương pháp giải một hệ nào đó bằng phương pháp Gauss đã được phân tích, bây giờ cần xem xét trường hợp nếu hệ là vô định, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.
x1+ x2+ x3+ x4 + x5=7 (1)
3x1+ 2x2+ x3+ x4- 3x5=-2 (2)
x2+ 2x3+ 2x4+ 6x5=23 (3)
5x1+ 4x2+ 3x3+ 3x4- x5=12 (4)
Dạng chính của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số ẩn số là n=5, và hạng của ma trận hệ thống đã chính xác nhỏ hơn số này, bởi vì số hàng là m=4, tức là, bậc lớn nhất của định thức bình phương là 4. Vì vậy,Có vô số lời giải, và chúng ta phải tìm dạng tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính cho phép bạn làm điều này.
Đầu tiên, như thường lệ, ma trận tăng cường được biên dịch.
Dòng thứ hai: hệ số k=(-a21/ a11)=-3. Trong dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến hình, vì vậy bạn không cần phải chạm vào bất cứ thứ gì, bạn cần để nguyên như vậy. Dòng thứ tư: k=(-a41/ a11)=-5
Lần lượt nhân các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng bắt buộc, ta được ma trận có dạng sau:
Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư thường giống nhau, vì vậy, một trong số chúng có thể bị xóa ngay lập tức và phần còn lại nhân với hệ số "-1" và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, hãy để lại một trong hai dòng giống nhau.
Kết quả là một ma trận như vậy. Hệ thống vẫn chưa được viết ra, ở đây cần xác định các biến cơ bản - đứng ở các hệ số a11=1 và a22=1 và miễn phí - tất cả phần còn lại.
Chỉ có một biến cơ bản trong phương trình thứ hai - x2. Do đó, nó có thể được biểu diễn từ đó, viết thông qua các biến x3, x4, x5, mà miễn phí.
Thay biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.
Hóa ra một phương trình trong đóbiến cơ bản duy nhất là x1. Hãy làm tương tự với nó như với x2.
Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai, được biểu thị dưới dạng ba biến tự do, bây giờ bạn có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.
Bạn cũng có thể chỉ định một trong các giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, theo quy tắc, các số không được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Thì câu trả lời sẽ là:
-16, 23, 0, 0, 0.
Ví dụ về hệ thống không nhất quán
Giải hệ phương trình không nhất quán bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là giai đoạn có tính rễ khá dài và thê lương biến mất. Hệ thống sau đang được xem xét:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Như thường lệ, ma trận được biên dịch:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Và giảm xuống dạng bước:
k1=-2k2=-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Sau lần biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa một phương trình có dạng
0=7, không có giải pháp. Do đó, hệ thốngkhông nhất quán và câu trả lời là tập hợp trống.
Ưu nhược điểm của phương pháp
Nếu bạn chọn phương pháp nào để giải SLAE trên giấy bằng bút, thì phương pháp được xem là trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Trong các phép biến đổi cơ bản, sẽ khó nhầm lẫn hơn nhiều so với việc bạn phải tự tìm kiếm định thức hoặc một số ma trận nghịch đảo khó. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với dữ liệu thuộc loại này, chẳng hạn như bảng tính, thì hóa ra các chương trình đó đã chứa các thuật toán để tính toán các tham số chính của ma trận - định thức, ma trận nhỏ, ma trận nghịch đảo và chuyển vị, v.v.. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc sai lầm, thì việc sử dụng phương pháp ma trận hoặc các công thức của Cramer sẽ phù hợp hơn, bởi vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính toán các định thức và ma trận nghịch đảo.
Đơn
Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và trên thực tế, ma trận là một mảng hai chiều, nên nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự định vị mình như một hướng dẫn "cho hình nộm", nên phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để đưa phương pháp vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và đối với các phép toán với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước!), Phép nhân với một số, phép nhân ma trận (cũng vớihạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị và quan trọng nhất là tính định thức. Nếu tác vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì việc xác định thứ hạng của ma trận sẽ nhanh hơn nhiều và do đó, thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của nó.
