Ma trận là một đối tượng đặc biệt trong toán học. Nó được mô tả dưới dạng một bảng hình chữ nhật hoặc hình vuông, bao gồm một số hàng và cột nhất định. Trong toán học, có rất nhiều loại ma trận, khác nhau về kích thước hoặc nội dung. Số hàng và cột của nó được gọi là đơn hàng. Những đối tượng này được sử dụng trong toán học để tổ chức việc viết các hệ phương trình tuyến tính và thuận tiện tìm kiếm kết quả của chúng. Các phương trình sử dụng ma trận được giải bằng cách sử dụng phương pháp của Carl Gauss, Gabriel Cramer, các phép cộng đại số và các phép tính nhỏ hơn, và nhiều cách khác. Kỹ năng cơ bản khi làm việc với ma trận là đưa chúng về dạng chuẩn. Tuy nhiên, trước tiên, hãy tìm ra những loại ma trận nào được các nhà toán học phân biệt.
Loại rỗng
Tất cả các thành phần của loại ma trận này là số không. Trong khi đó, số hàng và số cột của nó hoàn toàn khác nhau.
Kiểu vuông
Số cột và số hàng của loại ma trận này là như nhau. Nói cách khác, nó là một chiếc bàn hình "vuông". Số cột (hoặc hàng) của nó được gọi là thứ tự. Các trường hợp đặc biệt là tồn tại ma trận bậc hai (ma trận 2x2), bậc bốn (4x4), thứ mười (10x10), thứ mười bảy (17x17), v.v.
Vectơ cột
Đây là một trong những loại ma trận đơn giản nhất, chỉ chứa một cột, bao gồm ba giá trị số. Nó đại diện cho một loạt các số hạng tự do (số không phụ thuộc vào các biến) trong hệ phương trình tuyến tính.
Vectơ hàng
Xem tương tự như phần trước. Bao gồm ba phần tử số, lần lượt được sắp xếp thành một dòng.
Kiểu đường chéo
Chỉ các thành phần của đường chéo chính (được tô màu xanh lá cây) nhận các giá trị số ở dạng đường chéo của ma trận. Đường chéo chính bắt đầu với phần tử ở góc trên bên trái và kết thúc với phần tử ở góc dưới bên phải, tương ứng. Phần còn lại của các thành phần bằng không. Kiểu đường chéo chỉ là một ma trận vuông có bậc nào đó. Trong số các ma trận có dạng đường chéo, người ta có thể chọn ra một ma trận vô hướng. Tất cả các thành phần của nó có cùng giá trị.
Ma trận nhận dạng
Một phân loài của ma trận đường chéo. Tất cả các giá trị số của nó là đơn vị. Sử dụng một loại bảng ma trận duy nhất, thực hiện các phép biến đổi cơ bản của nó hoặc tìm một ma trận nghịch đảo với ma trận ban đầu.
Kiểu chính tắc
Dạng chính tắc của ma trận được coi là một trong những dạng chính tắc; đúc nó thường là cần thiết để làm việc. Số hàng và số cột trong ma trận chính tắc là khác nhau, nó không nhất thiết thuộc về kiểu vuông. Nó hơi giống với ma trận nhận dạng, tuy nhiên, trong trường hợp của nó, không phải tất cả các thành phần của đường chéo chính đều nhận giá trị bằng một. Có thể có hai hoặc bốn đơn vị đường chéo chính (tất cả phụ thuộc vào chiều dài và chiều rộng của ma trận). Hoặc có thể không có đơn vị nào cả (khi đó nó được coi là số không). Các thành phần còn lại của kiểu chuẩn, cũng như các phần tử của đường chéo và danh tính, đều bằng 0.
Kiểu tam giác
Một trong những loại ma trận quan trọng nhất, được sử dụng khi tìm kiếm định thức của nó và khi thực hiện các phép toán đơn giản. Kiểu tam giác xuất phát từ kiểu đường chéo nên ma trận cũng là hình vuông. Hình chiếu tam giác của ma trận được chia thành hình tam giác trên và hình tam giác dưới.
Trong ma trận tam giác trên (Hình 1), chỉ các phần tử nằm trên đường chéo chính nhận giá trị bằng 0. Các thành phần của chính đường chéo và một phần của ma trận bên dưới nó chứa các giá trị số.
Trong ma trận tam giác dưới (Hình 2), ngược lại, các phần tử nằm ở phần dưới của ma trận bằng 0.
Ma trận bước
Dạng xem cần thiết để tìm hạng của ma trận, cũng như cho các phép toán cơ bản trên chúng (cùng với kiểu tam giác). Ma trận bước được đặt tên như vậy vì nó chứa các "bước" đặc trưng của các số không (như thể hiện trong hình). Trong kiểu bước, một đường chéo gồm các số không được tạo thành (không nhất thiết là đường chéo chính) và tất cả các phần tử dưới đường chéo này cũng có giá trị bằng 0. Điều kiện tiên quyết là như sau: nếu có một hàng 0 trong ma trận bước, thì các hàng còn lại bên dưới nó cũng không chứa giá trị số.
Vì vậy, chúng tôi đã xem xét các loại ma trận quan trọng nhất cần thiết để làm việc với chúng. Bây giờ chúng ta hãy giải quyết công việc chuyển đổi ma trận thành dạng bắt buộc.
Giảm xuống dạng tam giác
Làm thế nào để đưa ma trận về dạng tam giác? Thông thường, trong các bài tập, bạn cần chuyển ma trận thành dạng tam giác để tìm định thức của nó, hay còn gọi là định thức. Khi thực hiện thủ tục này, điều cực kỳ quan trọng là phải "bảo toàn" đường chéo chính của ma trận, vì yếu tố quyết định của ma trận tam giác chính xác là tích các thành phần của đường chéo chính của nó. Tôi cũng nhắc bạn về các phương pháp thay thế để tìm định thức. Định thức kiểu bình phương được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức đặc biệt. Ví dụ, bạn có thể sử dụng phương pháp tam giác. Đối với các ma trận khác, phương pháp phân tích theo hàng, cột hoặc phần tử của chúng được sử dụng. Bạn cũng có thể áp dụng phương pháp phần phụ và phần bổ sung đại số của ma trận.
Chi tiếtHãy phân tích quá trình đưa ma trận về dạng tam giác bằng cách sử dụng các ví dụ về một số tác vụ.
Nhiệm vụ 1
Cần phải tìm định thức của ma trận đã trình bày, sử dụng phương pháp đưa nó về dạng tam giác.
Ma trận đã cho ta là ma trận vuông bậc ba. Do đó, để biến nó thành dạng tam giác, chúng ta cần vô hiệu hóa hai thành phần của cột đầu tiên và một thành phần của cột thứ hai.
Để đưa nó về dạng tam giác, hãy bắt đầu chuyển đổi từ góc dưới bên trái của ma trận - từ số 6. Để chuyển nó thành 0, nhân hàng đầu tiên với ba và trừ nó ở hàng cuối cùng.
Quan trọng! Dòng trên cùng không thay đổi, nhưng vẫn giống như trong ma trận ban đầu. Bạn không cần phải viết một chuỗi gấp bốn lần chuỗi ban đầu. Nhưng giá trị của các chuỗi có các thành phần cần được vô hiệu hóa liên tục thay đổi.
Tiếp theo, hãy xử lý giá trị tiếp theo - phần tử của hàng thứ hai của cột đầu tiên, số 8. Nhân hàng đầu tiên với bốn và trừ nó khỏi hàng thứ hai. Chúng tôi nhận được số không.
Chỉ còn lại giá trị cuối cùng - phần tử của hàng thứ ba của cột thứ hai. Đây là số (-1). Để chuyển nó thành 0, hãy trừ dòng thứ hai khỏi dòng đầu tiên.
Hãy kiểm tra:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Vì vậy, câu trả lời cho nhiệm vụ là -22.
Nhiệm vụ 2
Chúng ta cần tìm định thức của ma trận bằng cách đưa nó về dạng tam giác.
Ma trận được biểu diễnthuộc loại bình phương và là ma trận bậc 4. Điều này có nghĩa là ba thành phần của cột đầu tiên, hai thành phần của cột thứ hai và một thành phần của cột thứ ba phải bằng không.
Hãy bắt đầu sự giảm thiểu của nó từ phần tử nằm ở góc dưới bên trái - từ số 4. Chúng ta cần chuyển số này về không. Cách dễ nhất để làm điều này là nhân hàng trên cùng với bốn và sau đó trừ nó ở hàng thứ tư. Hãy viết ra kết quả của giai đoạn đầu tiên của quá trình biến đổi.
Vì vậy, thành phần của dòng thứ tư được đặt bằng không. Hãy chuyển sang phần tử đầu tiên của dòng thứ ba, đến số 3. Chúng ta thực hiện một thao tác tương tự. Nhân với ba dòng đầu tiên, trừ nó ở dòng thứ ba và viết kết quả.
Tiếp theo, chúng ta thấy số 2 ở dòng thứ hai. Chúng tôi lặp lại thao tác: nhân hàng trên cùng với hai và trừ nó cho hàng thứ hai.
Chúng tôi đã cố gắng đặt thành không tất cả các thành phần của cột đầu tiên của ma trận vuông này, ngoại trừ số 1, phần tử của đường chéo chính không yêu cầu biến đổi. Bây giờ điều quan trọng là phải giữ các số không kết quả, vì vậy chúng tôi sẽ thực hiện các phép biến đổi với hàng chứ không phải cột. Hãy chuyển sang cột thứ hai của ma trận đã trình bày.
Hãy bắt đầu lại từ dưới cùng - từ phần tử của cột thứ hai của hàng cuối cùng. Đây là số (-7). Tuy nhiên, trong trường hợp này thuận tiện hơn là bắt đầu bằng số (-1) - phần tử của cột thứ hai của hàng thứ ba. Để biến nó thành 0, hãy trừ hàng thứ hai khỏi hàng thứ ba. Sau đó, chúng tôi nhân hàng thứ hai với bảy và trừ nó từ hàng thứ tư. Chúng tôi nhận được số 0 thay vì phần tử nằm ở hàng thứ tư của cột thứ hai. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần thứ bacột.
Trong cột này, chúng ta chỉ cần chuyển về 0 một số - 4. Rất dễ thực hiện: chỉ cần thêm số thứ ba vào dòng cuối cùng và xem số 0 mà chúng ta cần.
Sau tất cả các phép biến đổi, chúng tôi đưa ma trận đề xuất về dạng tam giác. Bây giờ, để tìm định thức của nó, bạn chỉ cần nhân các yếu tố kết quả của đường chéo chính. Ta được: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Do đó, nghiệm là số 160.
Vậy giờ câu hỏi đưa ma trận về dạng tam giác sẽ không làm khó được các bạn nữa.
Giảm xuống dạng bước
Trong các phép toán cơ bản trên ma trận, dạng bậc ít được "yêu cầu" hơn dạng tam giác. Nó được sử dụng phổ biến nhất để tìm thứ hạng của ma trận (tức là số hàng khác 0 của nó) hoặc để xác định các hàng độc lập và phụ thuộc tuyến tính. Tuy nhiên, chế độ xem ma trận bậc linh hoạt hơn, vì nó không chỉ phù hợp với kiểu hình vuông mà còn phù hợp với tất cả các kiểu khác.
Để giảm ma trận thành dạng bậc, trước tiên bạn cần tìm định thức của nó. Đối với điều này, các phương pháp trên là phù hợp. Mục đích của việc tìm định thức là để tìm xem nó có thể được chuyển đổi thành ma trận bước hay không. Nếu định thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn 0, thì bạn có thể tiếp tục nhiệm vụ một cách an toàn. Nếu nó bằng 0, nó sẽ không có tác dụng giảm ma trận về dạng bậc. Trong trường hợp này, bạn cần kiểm tra xem có bất kỳ sai sót nào trong bản ghi hoặc trong các phép biến đổi ma trận hay không. Nếu không có những điểm không chính xác như vậy, nhiệm vụ không thể được giải quyết.
Hãy xem làm thế nàođưa ma trận về dạng bậc thang bằng cách sử dụng các ví dụ về một số tác vụ.
Nhiệm vụ 1. Tìm hạng của bảng ma trận đã cho.
Trước ta là ma trận vuông bậc 3 (3x3). Chúng ta biết rằng để tìm được bậc, cần phải giảm nó xuống dạng bậc. Do đó, trước hết ta cần tìm định thức của ma trận. Sử dụng phương pháp tam giác: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Định thức=12. Nó lớn hơn 0, có nghĩa là ma trận có thể được rút gọn thành dạng bậc. Hãy bắt đầu sự biến đổi của nó.
Hãy bắt đầu nó với phần tử của cột bên trái của hàng thứ ba - số 2. Nhân hàng trên cùng với hai và trừ nó cho hàng thứ ba. Nhờ phép toán này, cả phần tử chúng ta cần và số 4 - phần tử của cột thứ hai của hàng thứ ba - đều biến thành số 0.
Tiếp theo, chuyển về 0 phần tử của hàng thứ hai của cột đầu tiên - số 3. Để làm điều này, nhân hàng trên cùng với ba và trừ nó cho hàng thứ hai.
Chúng ta thấy rằng việc rút gọn dẫn đến một ma trận tam giác. Trong trường hợp của chúng tôi, không thể tiếp tục chuyển đổi, vì không thể chuyển các thành phần còn lại về 0.
Vì vậy, chúng tôi kết luận rằng số hàng chứa giá trị số trong ma trận này (hoặc thứ hạng của nó) là 3. Trả lời cho nhiệm vụ: 3.
Nhiệm vụ 2. Xác định số hàng độc lập tuyến tính của ma trận này.
Chúng ta cần tìm các chuỗi không thể đảo ngược bằng bất kỳ phép biến đổi nàovề không. Trong thực tế, chúng ta cần tìm số hàng khác 0, hoặc hạng của ma trận được biểu diễn. Để làm được điều này, hãy đơn giản hóa nó.
Ta thấy một ma trận không thuộc loại hình vuông. Nó có kích thước 3x4. Hãy cũng bắt đầu ép kiểu từ phần tử ở góc dưới bên trái - số (-1).
Thêm dòng đầu tiên vào dòng thứ ba. Tiếp theo, trừ đi giây để chuyển số 5 thành số 0.
Biến đổi xa hơn là không thể. Vì vậy, chúng tôi kết luận rằng số dòng độc lập tuyến tính trong đó và câu trả lời cho nhiệm vụ là 3.
Bây giờ đưa ma trận về dạng bậc không phải là nhiệm vụ bất khả thi đối với bạn.
Trên các ví dụ về các nhiệm vụ này, chúng tôi đã phân tích việc rút gọn ma trận thành dạng tam giác và dạng bậc. Để vô hiệu hóa các giá trị mong muốn của bảng ma trận, trong một số trường hợp, cần phải thể hiện trí tưởng tượng và biến đổi chính xác các cột hoặc hàng của chúng. Chúc may mắn trong toán học và làm việc với ma trận!
