Sự tiến bộ của loài người phần lớn là nhờ những khám phá của các thiên tài. Một trong số đó là Blaise Pascal. Cuốn tiểu sử sáng tạo của ông một lần nữa khẳng định chân lý trong cách nói của Lion Feuchtwanger “Một người tài năng, có tài trong mọi việc”. Tất cả những thành tựu khoa học của nhà khoa học vĩ đại này thật khó có thể đong đếm được. Trong số đó có một trong những phát minh tao nhã nhất trong thế giới toán học - tam giác Pascal.
Vài lời về thiên tài
Blaise Pascal chết sớm theo tiêu chuẩn hiện đại, ở tuổi 39. Tuy nhiên, trong cuộc đời ngắn ngủi của mình, ông đã tự cho mình là một nhà vật lý, toán học, triết học và nhà văn kiệt xuất. Con cháu biết ơn đã đặt tên đơn vị áp suất và ngôn ngữ lập trình phổ biến là Pascal để vinh danh ông. Nó đã được sử dụng trong gần 60 năm để dạy cách viết các mã khác nhau. Ví dụ, với sự trợ giúp của nó, mỗi học sinh có thể viết một chương trình để tính diện tích hình tam giác trong Pascal, cũng như khám phá các tính chất của mạch điện, vềsẽ được thảo luận bên dưới.
Hoạt động của nhà khoa học với tư duy phi thường này trải dài trên nhiều lĩnh vực khoa học. Đặc biệt, Blaise Pascal là một trong những người sáng lập ra thủy tĩnh học, giải tích toán học, một số lĩnh vực hình học và lý thuyết xác suất. Ngoài ra, anh ấy:
- đã tạo ra một máy tính cơ học được gọi là bánh xe Pascal;
- cung cấp bằng chứng thực nghiệm rằng không khí có tính đàn hồi và trọng lượng;
- thiết lập rằng một phong vũ biểu có thể được sử dụng để dự đoán thời tiết;
- phát minh ra xe cút kít;
- đã phát minh ra omnibus - xe ngựa có các tuyến đường cố định, sau này trở thành loại phương tiện giao thông công cộng thông thường đầu tiên, v.v.
Tam giác số học Pascal
Như đã đề cập, nhà khoa học vĩ đại người Pháp này đã có đóng góp to lớn cho khoa học toán học. Một trong những kiệt tác khoa học tuyệt đối của ông là "Luận về tam giác số học", bao gồm các hệ số nhị thức được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Các thuộc tính của sơ đồ này nổi bật ở sự đa dạng của chúng, và bản thân nó khẳng định câu tục ngữ "Mọi việc khéo léo đều đơn giản!".
Một chút lịch sử
Công bằng mà nói, trên thực tế, tam giác Pascal đã được biết đến ở Châu Âu từ đầu thế kỷ 16. Đặc biệt, hình ảnh của ông có thể được nhìn thấy trên trang bìa của một cuốn sách giáo khoa số học của nhà thiên văn học nổi tiếng Peter Apian từ Đại học Ingolstadt. Một tam giác tương tự cũng được hiển thị như một hình minh họa.trong một cuốn sách của nhà toán học Trung Quốc Yang Hui, xuất bản năm 1303. Nhà thơ và nhà triết học người Ba Tư đáng chú ý Omar Khayyam cũng nhận thức được tính chất của nó vào đầu thế kỷ 12. Hơn nữa, người ta tin rằng ông đã gặp anh ta từ các luận thuyết của các nhà khoa học Ả Rập và Ấn Độ được viết trước đó.
Mô tả
Trước khi khám phá các tính chất thú vị nhất của tam giác Pascal, đẹp ở sự hoàn hảo và đơn giản của nó, bạn nên biết nó là gì.
Nói một cách khoa học, lược đồ số này là một bảng tam giác vô tận được hình thành từ các hệ số nhị thức được sắp xếp theo một thứ tự nhất định. Trên cùng và ở hai bên là các số 1. Các vị trí còn lại được chiếm bởi các số bằng tổng của hai số nằm trên chúng cạnh nhau. Hơn nữa, tất cả các đường của tam giác Pascal đều đối xứng qua trục tung của nó.
Tính năng cơ bản
Tam giác củaPascal nổi bật với sự hoàn hảo của nó. Đối với bất kỳ dòng nào được đánh số n (n=0, 1, 2…) true:
- số đầu tiên và số cuối cùng là 1;
- nhì và áp chót - n;
- số thứ ba bằng số hình tam giác (số hình tròn có thể sắp xếp thành một tam giác đều, tức là 1, 3, 6, 10): T -1=n (n - 1) / 2.
- Số thứ tư là tứ diện, tức là một hình chóp có đáy là tam giác.
Ngoài ra, tương đối gần đây, vào năm 1972, một tính chất khác của tam giác Pascal đã được thiết lập. Để cho anh taĐể tìm hiểu, bạn cần viết các phần tử của lược đồ này dưới dạng một bảng với sự dịch chuyển hàng theo 2 vị trí. Sau đó lưu ý các số chia hết cho số dòng. Nó chỉ ra rằng số của cột trong đó tất cả các số được đánh dấu là một số nguyên tố.
Thủ thuật tương tự có thể được thực hiện theo cách khác. Để làm điều này, trong tam giác Pascal, các số được thay thế bằng phần còn lại của phép chia bằng số hàng trong bảng. Sau đó, các dòng được sắp xếp trong tam giác kết quả để dòng tiếp theo bắt đầu 2 cột bên phải từ phần tử đầu tiên của phần trước đó. Khi đó, các cột có số là số nguyên tố sẽ chỉ bao gồm các số không và các cột có số tổng hợp sẽ chứa ít nhất một số 0.
Kết nối với nhị thức Newton
Như bạn đã biết, đây là tên của công thức khai triển thành các điều khoản của lũy thừa số nguyên không âm của tổng của hai biến, trông giống như:
Các hệ số có trong chúng bằng C m=n! / (m! (n - m)!), trong đó m là số thứ tự ở hàng n của tam giác Pascal. Nói cách khác, có bảng này, bạn có thể dễ dàng nâng bất kỳ số nào lên thành lũy thừa, trước đó đã phân tách chúng thành hai số hạng.
Như vậy, tam giác Pascal và nhị thức Newton có quan hệ mật thiết với nhau.
Kỳ quan Toán học
Xem xét kỹ tam giác Pascal cho thấy:
- tổng của tất cả các số trong dòng vớisố thứ tự n (đếm từ 0) là 2;
- nếu các dòng được căn trái, thì tổng các số nằm dọc theo các đường chéo của tam giác Pascal, đi từ dưới lên trên và từ trái sang phải, bằng các số Fibonacci;
- "đường chéo" đầu tiên bao gồm các số tự nhiên theo thứ tự;
- bất kỳ phần tử nào trong tam giác Pascal, giảm một phần tử, bằng tổng của tất cả các số nằm bên trong hình bình hành, được giới hạn bởi hai đường chéo trái và phải giao nhau trên số này;
- trong mỗi dòng của sơ đồ, tổng các số ở vị trí chẵn bằng tổng các phần tử ở vị trí lẻ.
Tam giác Sierpinski
Một sơ đồ toán học thú vị như vậy, khá hứa hẹn về khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp, có được bằng cách tô màu các số chẵn của hình ảnh Pascal bằng một màu và các số lẻ bằng một màu khác.
Tam giác Sierpinski có thể được xây dựng theo cách khác:
- trong lược đồ Pascal bóng mờ, hình tam giác ở giữa được sơn lại bằng một màu khác, được tạo thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình ban đầu;
- làm hoàn toàn tương tự với ba cái không sơn nằm ở các góc;
- nếu quy trình được tiếp tục vô thời hạn, thì kết quả sẽ là một hình hai màu.
Tính chất thú vị nhất của tam giác Sierpinski là phép vị tự của nó, vì nó bao gồm 3 trong số các bản sao của nó, được giảm đi 2 lần. Nó cho phép chúng tôi gán lược đồ này cho các đường cong Fractal và chúng, như được hiển thị trongnghiên cứu phù hợp nhất để lập mô hình toán học về mây, thực vật, đồng bằng sông và chính vũ trụ.
Một số nhiệm vụ thú vị
Tam giác Pascal được sử dụng ở đâu? Ví dụ về các nhiệm vụ có thể được giải quyết với sự trợ giúp của nó khá đa dạng và thuộc nhiều lĩnh vực khoa học. Hãy cùng xem qua một số cái thú vị hơn.
Vấn đề 1. Một thành phố lớn nào đó được bao quanh bởi một bức tường pháo đài chỉ có một cổng vào. Tại ngã tư đầu tiên, con đường chính tách ra làm hai. Điều tương tự cũng xảy ra trên bất kỳ cái nào khác. 210 người vào TP. Tại mỗi ngã tư mà chúng gặp nhau, chúng được chia đôi. Có bao nhiêu người sẽ được tìm thấy ở mỗi ngã tư khi không thể chia sẻ được nữa. Câu trả lời của cô ấy là dòng 10 của tam giác Pascal (công thức hệ số được trình bày ở trên), trong đó các số 210 nằm ở cả hai phía của trục tung.
Nhiệm vụ 2. Có 7 tên màu. Bạn cần làm một bó hoa gồm 3 bông. Cần phải tìm hiểu xem có bao nhiêu cách khác nhau để thực hiện điều này. Bài toán này thuộc lĩnh vực tổ hợp. Để giải quyết nó, chúng ta lại sử dụng tam giác Pascal và lấy dòng thứ 7 ở vị trí thứ 3 (đánh số trong cả hai trường hợp từ 0) là số 35.
Bây giờ bạn đã biết nhà triết học và nhà khoa học vĩ đại người Pháp Blaise Pascal đã phát minh ra điều gì. Hình tam giác nổi tiếng của nó, khi được sử dụng đúng cách, có thể trở thành một cứu cánh thực sự để giải quyết nhiều vấn đề, đặc biệt là từ trườngtổ hợp. Ngoài ra, nó có thể được sử dụng để giải quyết nhiều bí ẩn liên quan đến Fractal.
