Tam giác là một đa giác có ba cạnh (ba góc). Thông thường, các cạnh được biểu thị bằng các chữ cái nhỏ, tương ứng với các chữ cái viết hoa biểu thị các đỉnh đối diện. Trong bài này, chúng ta sẽ làm quen với các dạng hình học này, định lý xác định tổng các góc của tam giác là gì.
Xem theo các góc độ
Các loại đa giác có ba đỉnh sau được phân biệt:
- góc nhọn, trong đó tất cả các góc đều sắc nét;
- hình chữ nhật, có một góc vuông, trong khi các cạnh tạo thành nó được gọi là chân và cạnh đặt đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền;
- tù khi một góc bị tù;
- cân, trong đó hai cạnh bằng nhau, và chúng được gọi là cạnh và cạnh thứ ba là đáy của tam giác;
- đều, có cả ba cạnh bằng nhau.
Thuộc tính
Chúng nêu bật các tính chất chính đặc trưng của từng loại tam giác:
- đối diện với cạnh lớn hơn luôn có một góc lớn hơn và ngược lại;
- các cạnh đối diện có kích thước bằng nhau là các góc bằng nhau và ngược lại;
- tam giác bất kỳ có hai góc nhọn;
- một góc bên ngoài lớn hơn bất kỳ góc bên trong nào không liền kề với nó;
- tổng của hai góc bất kỳ luôn nhỏ hơn 180 độ;
- góc ngoài cùng bằng tổng hai góc còn lại không giao với nó.
Định lý tổng các góc của tam giác
Định lý nói rằng nếu bạn cộng tất cả các góc của một hình hình học đã cho, nằm trên mặt phẳng Euclide, thì tổng của chúng sẽ là 180 độ. Hãy thử chứng minh định lý này.
Hãy có một tam giác tùy ý với các đỉnh là KMN.
Qua đỉnh M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng KN (đường thẳng này còn được gọi là đường thẳng Ơclit). Ta đánh dấu điểm A trên đó sao cho điểm K và điểm A nằm về hai phía khác nhau của đoạn thẳng MN. Ta nhận được các góc AMN và KNM bằng nhau, giống như góc trong, nằm chéo nhau và tạo bởi MN tiếp tuyến với các đường thẳng KN và MA, chúng song song với nhau. Từ đó suy ra rằng tổng các góc của tam giác nằm tại các đỉnh M và H bằng độ lớn của góc KMA. Cả ba góc tạo thành tổng bằng tổng các góc KMA và MKN. Vì những góc này là một mặt bên trong đối vớicác đường thẳng song song KN và MA với một đoạn thẳng KM thì tổng của chúng bằng 180 độ. Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả
Hệ quả sau từ định lý đã chứng minh ở trên: tam giác nào cũng có hai góc nhọn. Để chứng minh điều này, chúng ta hãy giả sử rằng một hình hình học đã cho chỉ có một góc nhọn. Cũng có thể giả định rằng không có góc nào là góc nhọn. Trong trường hợp này, phải có ít nhất hai góc bằng hoặc lớn hơn 90 độ. Nhưng khi đó tổng các góc sẽ lớn hơn 180 độ. Nhưng điều này không thể xảy ra, bởi vì theo định lý, tổng các góc của một tam giác là 180 ° - không hơn không kém. Đây là điều phải được chứng minh.
Sở hữu căn góc ngoại khu
Tổng các góc của một tam giác ngoại tiếp là bao nhiêu? Câu hỏi này có thể được trả lời theo một trong hai cách. Đầu tiên là cần phải tìm tổng của các góc, được lấy một ở mỗi đỉnh, tức là ba góc. Điều thứ hai ngụ ý rằng bạn cần phải tìm tổng của tất cả sáu góc ở các đỉnh. Đầu tiên, hãy đối phó với tùy chọn đầu tiên. Vì vậy, tam giác có sáu góc bên ngoài - mỗi đỉnh có hai góc.
Mỗi cặp có các góc bằng nhau vì chúng thẳng đứng:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Ngoài ra, biết rằng góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không cắt với nó. Do đó, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Từ đó nó chỉ ra rằng tổng của bên ngoàicác góc, được lấy một ở mỗi đỉnh, sẽ bằng:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Cho rằng tổng các góc là 180 độ, có thể lập luận rằng ∟A + ∟B + ∟C=180 °. Và điều này có nghĩa là ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180 °=360 °. Nếu tùy chọn thứ hai được sử dụng, thì tổng của sáu góc tương ứng sẽ lớn gấp đôi. Tức là tổng các góc ngoài của tam giác sẽ là:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720 °.
Tam giác vuông
Tổng các góc nhọn của tam giác vuông là gì? Câu trả lời cho câu hỏi này, một lần nữa, dựa trên định lý, trong đó nói rằng các góc trong một tam giác cộng lại bằng 180 độ. Và tuyên bố (thuộc tính) của chúng tôi nghe có vẻ như thế này: trong một tam giác vuông, các góc nhọn cộng với 90 độ. Hãy chứng minh tính xác thực của nó.
Cho ta một tam giác KMN, trong đó ∟Н=90 °. Cần phải chứng minh rằng ∟K + ∟M=90 °.
Vậy theo định lý tổng góc ∟К + ∟М + ∟Н=180 °. Điều kiện của chúng tôi nói rằng ∟Н=90 °. Vì vậy, hóa ra, ∟K + ∟M + 90 °=180 °. Tức là, ∟K + ∟M=180 ° - 90 °=90 °. Đó là những gì chúng tôi phải chứng minh.
Ngoài các tính chất trên của tam giác vuông, bạn có thể thêm các tính chất sau:
- góc dựa vào chân thì sắc nét;
- cạnh huyền có hình tam giác hơn bất kỳ chân nào;
- tổng các chân lớn hơn cạnh huyền;
- chânmột tam giác nằm đối diện với một góc 30 độ là một nửa cạnh huyền, nghĩa là bằng một nửa của nó.
Là một tính chất khác của hình hình học này, định lý Pitago có thể được phân biệt. Cô ấy nói rằng trong một tam giác có góc 90 độ (hình chữ nhật), tổng bình phương của các chân bằng bình phương của cạnh huyền.
Tổng các góc của tam giác cân
Trước đó chúng ta đã nói rằng hình cân là một đa giác có ba đỉnh, chứa hai cạnh bằng nhau. Tính chất này của một hình hình học nhất định đã được biết đến: các góc ở đáy của nó bằng nhau. Hãy chứng minh điều đó.
Lấy tam giác KMN là cân, KN là cơ sở của nó.
Chúng tôi buộc phải chứng minh rằng ∟К=∟Н. Vì vậy, giả sử MA là tia phân giác của tam giác KMN. Tam giác MCA, tính đến dấu hiệu đầu tiên của đẳng thức, bằng tam giác MCA. Cụ thể, theo điều kiện, cho rằng KM=NM, MA là cạnh chung, ∟1=∟2, vì MA là phân giác. Sử dụng thực tế rằng hai tam giác này bằng nhau, chúng ta có thể phát biểu rằng ∟K=∟Н. Vì vậy, định lý được chứng minh.
Nhưng chúng tôi quan tâm đến tổng các góc của một tam giác (cân) là gì. Vì về khía cạnh này, nó không có đặc thù riêng, chúng ta sẽ bắt đầu từ định lý đã xét trước đó. Tức là, chúng ta có thể nói rằng ∟K + ∟M + ∟H=180 °, hoặc 2 x ∟K + ∟M=180 ° (vì ∟K=∟H). Chúng tôi sẽ không chứng minh tính chất này, vì bản thân định lý tổng tam giác đã được chứng minh trước đó.
Ngoại trừ như đã thảo luậncác tính chất về các góc của một tam giác, cũng có những phát biểu quan trọng như vậy:
- trong một tam giác cân, chiều cao hạ xuống đáy vừa là trung tuyến, là tia phân giác của góc giữa các cạnh bằng nhau, vừa là trục đối xứng của đáy;
- trung tuyến (đường phân giác, chiều cao) được vẽ về các cạnh của một hình hình học như vậy bằng nhau.
Tam giác đều
Nó còn được gọi là đúng, là tam giác có tất cả các cạnh bằng nhau. Do đó, các góc cũng bằng nhau. Mỗi cái là 60 độ. Hãy chứng minh tính chất này.
Giả sử rằng chúng ta có một tam giác KMN. Ta biết rằng KM=NM=KN. Và điều này có nghĩa là theo tính chất của các góc nằm ở đáy trong một tam giác cân, ∟К=∟М=∟Н. Vì theo định lý, tổng các góc của một tam giác là ∟К + ∟М + ∟Н=180 °, thì 3 x ∟К=180 ° hoặc ∟К=60 °, ∟М=60 °, ∟ Н=60 °. Do đó, tuyên bố được chứng minh.
Như bạn có thể thấy từ chứng minh trên dựa trên định lý, tổng các góc của một tam giác đều, giống như tổng các góc của bất kỳ tam giác nào khác, là 180 độ. Không cần phải chứng minh lại định lý này.
Cũng có những tính chất như vậy đặc trưng của tam giác đều:
- đường trung bình, đường phân giác, chiều cao trong một hình hình học như vậy là giống nhau và độ dài của chúng được tính là (a x √3): 2;
- nếu bạn mô tả một hình tròn xung quanh một đa giác nhất định, thì bán kính của nó sẽ làbằng (a x √3): 3;
- nếu bạn nội tiếp một đường tròn thành một tam giác đều, thì bán kính của nó sẽ là (a x √3): 6;
- diện tích của hình hình học này được tính theo công thức: (a2 x √3): 4.
Tam giác có góc nghiêng
Theo định nghĩa của một tam giác tù, một trong các góc của nó nằm trong khoảng từ 90 đến 180 độ. Nhưng do hai góc còn lại của hình hình học này là góc nhọn, chúng ta có thể kết luận rằng chúng không vượt quá 90 độ. Do đó, định lý tổng các góc của tam giác có tác dụng khi tính tổng các góc trong một tam giác tù. Hóa ra là chúng ta có thể nói một cách an toàn, dựa trên định lý đã nói ở trên, rằng tổng các góc của một tam giác tù là 180 độ. Một lần nữa, định lý này không cần phải chứng minh lại.
