Cách tìm điểm tối thiểu và tối đa của một hàm: tính năng, phương pháp và ví dụ

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Hàm và nghiên cứu các tính năng của nó là một trong những chương quan trọng của toán học hiện đại. Thành phần chính của bất kỳ hàm số nào là các đồ thị mô tả không chỉ các tính chất của nó mà còn cả các tham số của đạo hàm của hàm số này. Hãy cùng xem qua chủ đề khó này. Vậy cách tốt nhất để tìm điểm cực đại và cực tiểu của một hàm là gì?

Chức năng: Định nghĩa

Bất kỳ biến nào phụ thuộc vào các giá trị của một giá trị khác đều có thể được gọi là một hàm. Ví dụ, hàm f (x²) là bậc hai và xác định các giá trị cho toàn bộ tập x. Giả sử rằng x=9, thì giá trị của hàm của chúng ta sẽ bằng 9^2=81.

Hàm có nhiều loại khác nhau: lôgic, vectơ, lôgarit, lượng giác, số và các loại khác. Những bộ óc xuất chúng như Lacroix, Lagrange, Leibniz và Bernoulli đã tham gia vào nghiên cứu của họ. Các bài viết của họ đóng vai trò như một bức tường thành trong những cách hiện đại để nghiên cứu các chức năng. Trước khi tìm điểm cực tiểu, điều rất quan trọng là phải hiểu ý nghĩa của hàm số và đạo hàm của nó.

Đạo hàm và vai trò của nó

Tất cả các chức năng đều có trongtùy thuộc vào các giá trị biến của chúng, có nghĩa là chúng có thể thay đổi giá trị của mình bất kỳ lúc nào. Trên biểu đồ, đây sẽ được mô tả như một đường cong đi xuống hoặc đi lên dọc theo trục y (đây là toàn bộ tập hợp các số "y" dọc theo chiều dọc của biểu đồ). Và do đó, định nghĩa về một điểm cực đại và cực tiểu của một hàm được kết nối với những "dao động" này. Hãy để chúng tôi giải thích mối quan hệ này là gì.

Đạo hàm của bất kỳ hàm số nào được vẽ trên đồ thị để nghiên cứu các đặc điểm chính của nó và tính toán hàm số thay đổi nhanh như thế nào (tức là thay đổi giá trị của nó tùy thuộc vào biến số "x"). Tại thời điểm khi hàm số tăng, đồ thị của đạo hàm của nó cũng sẽ tăng lên, nhưng bất cứ lúc nào hàm số có thể bắt đầu giảm, và sau đó đồ thị của đạo hàm sẽ giảm. Những điểm mà tại đó đạo hàm đi từ trừ đến cộng được gọi là điểm cực tiểu. Để biết cách tìm điểm cực tiểu, bạn nên hiểu rõ hơn về khái niệm đạo hàm.

Cách tính đạo hàm?

Định nghĩa và tính đạo hàm của một hàm ngụ ý một số khái niệm từ phép tính vi phân. Nói chung, định nghĩa của đạo hàm có thể được biểu thị như sau: đây là giá trị thể hiện tốc độ thay đổi của hàm.

Cách xác định bằng toán học đối với nhiều học sinh có vẻ phức tạp nhưng thực tế mọi thứ lại đơn giản hơn rất nhiều. Bạn chỉ cần làm theokế hoạch tiêu chuẩn để tìm đạo hàm của bất kỳ hàm nào. Phần sau mô tả cách bạn có thể tìm điểm cực tiểu của một hàm số mà không cần áp dụng các quy tắc phân biệt và không cần ghi nhớ bảng đạo hàm.

1. Bạn có thể tính đạo hàm của một hàm số bằng cách sử dụng đồ thị. Để làm điều này, bạn cần phải mô tả chính hàm, sau đó lấy một điểm trên đó (điểm A trong Hình.) Vẽ một đường thẳng đứng xuống trục abscissa (điểm x_{0), và tại điểm A vẽ một tiếp tuyến với đồ thị hàm số. Trục abscissa và tiếp tuyến tạo với nhau một góc a. Để tính giá trị của hàm tăng nhanh như thế nào, bạn cần tính tiếp tuyến của góc này a.}
2. Hóa ra tiếp tuyến của góc giữa tiếp tuyến và phương của trục x là đạo hàm của hàm số trong một diện tích nhỏ với điểm A. Phương pháp này được coi là một cách hình học để xác định đạo hàm.

Phương pháp nghiên cứu một hàm

Trong chương trình toán học phổ thông, có thể tìm điểm cực tiểu của hàm số bằng hai cách. Chúng ta đã phân tích phương pháp đầu tiên bằng cách sử dụng đồ thị, nhưng làm thế nào để xác định giá trị số của đạo hàm? Để làm điều này, bạn sẽ cần học một số công thức mô tả các tính chất của đạo hàm và giúp chuyển đổi các biến như "x" thành số. Phương pháp sau là phổ biến, vì vậy nó có thể được áp dụng cho hầu hết các loại hàm (cả hình học và logarit).

1. Cần phải cân bằng hàm với hàm đạo hàm, và sau đó đơn giản hóa biểu thức bằng cách sử dụng các quy tắcsự khác biệt.
2. chia cho không).
3. Sau đó, bạn nên chuyển dạng ban đầu của hàm thành một phương trình đơn giản, quy toàn bộ biểu thức thành không. Ví dụ, nếu hàm có dạng như sau: f (x)=2x³+ 38x, thì theo quy tắc phân biệt, đạo hàm của nó bằng f '(x)=3x^{2 + 1. Sau đó, chúng ta biến đổi biểu thức này thành một phương trình có dạng sau: 3x}2^{+ 1=0.}
4. Sau khi giải phương trình và tìm các điểm "x", bạn nên vẽ chúng trên trục x và xác định xem đạo hàm trong các khu vực này giữa các điểm được đánh dấu là dương hay âm. Sau khi chỉ định, nó sẽ trở nên rõ ràng tại thời điểm nào hàm bắt đầu giảm, tức là nó thay đổi dấu từ trừ sang ngược lại. Bằng cách này, bạn có thể tìm thấy cả điểm tối thiểu và điểm tối đa.

Quy tắc phân biệt

Phần cơ bản nhất của việc học một hàm và đạo hàm của nó là biết các quy tắc phân biệt. Chỉ với sự trợ giúp của họ, người ta mới có thể biến đổi các biểu thức rườm rà và các hàm phức tạp lớn. Chúng ta hãy làm quen với chúng, có khá nhiều trong số chúng, nhưng chúng đều rất đơn giản do tính chất thông thường của cả hàm lũy thừa và hàm logarit.

1. Đạo hàm của bất kỳ hằng số nào bằng 0 (f (x)=0). Nghĩa là, đạo hàm f (x)=x⁵+ x - 160 sẽ có dạng sau: f '(x)=5x^{4+ 1.}
2. Đạo hàm của tổng hai số hạng: (f + w) '=f'w + fw'.
3. Đạo hàm của hàm số logarit: (log_{ad) '=d / ln ad. Công thức này áp dụng cho tất cả các loại logarit.}
4. Đạo hàm bậc: (x ) '=nx^n-1. Ví dụ: (9x^{2) '=92x=18x.}
5. Đạo hàm của hàm số sin: (sin a) '=cos a. Nếu sin của góc a là 0,5, thì đạo hàm của nó là √3 / 2.

Điểm cực kì

Chúng ta đã tìm ra cách tìm điểm cực tiểu, tuy nhiên, có khái niệm điểm cực đại của một hàm. Nếu điểm cực tiểu biểu thị những điểm mà tại đó hàm số đi từ điểm trừ đến điểm cộng, thì điểm cực đại là những điểm trên trục x mà tại đó đạo hàm của hàm số thay đổi từ cộng thành ngược lại - trừ.

Bạn có thể tìm điểm cực đại bằng cách sử dụng phương pháp mô tả ở trên, chỉ cần lưu ý rằng chúng biểu thị những khu vực mà hàm bắt đầu giảm, tức là đạo hàm sẽ nhỏ hơn 0.

Trong toán học, theo thông lệ, người ta thường khái quát cả hai khái niệm, thay thế chúng bằng cụm từ "điểm cực trị". Khi nhiệm vụ yêu cầu xác định các điểm này, điều này có nghĩa là cần phải tính đạo hàm của hàm này và tìm điểm cực tiểu và cực đại.