Nghiên cứu về hàm số và đồ thị của chúng là một chủ đề được quan tâm đặc biệt trong khuôn khổ chương trình phổ thông. Một số kiến thức cơ bản về toán phân tích - phân hóa - được đưa vào cấp độ hồ sơ của đề thi môn toán. Một số học sinh gặp vấn đề với chủ đề này, vì chúng nhầm lẫn giữa đồ thị của hàm số và đạo hàm, đồng thời quên các thuật toán. Bài viết này sẽ đề cập đến các loại nhiệm vụ chính và cách giải quyết chúng.
Giá trị của hàm là gì?
Một hàm toán học là một phương trình đặc biệt. Nó thiết lập mối quan hệ giữa các con số. Hàm phụ thuộc vào giá trị của đối số.
Giá trị của hàm được tính theo công thức đã cho. Để thực hiện việc này, hãy thay thế bất kỳ đối số nào tương ứng với phạm vi giá trị hợp lệ trong công thức này thay cho x và thực hiện các phép toán cần thiết. Cái gì?
Làm thế nào bạn có thể tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm,sử dụng một hàm đồ thị?
Biểu diễn đồ thị sự phụ thuộc của một hàm số vào một đối số được gọi là đồ thị hàm số. Nó được xây dựng trên một mặt phẳng với một phân đoạn đơn vị nhất định, trong đó giá trị của một biến hoặc đối số được vẽ dọc theo trục abscissa nằm ngang và giá trị hàm tương ứng dọc theo trục tung hoành.
Giá trị của đối số càng lớn thì đối số càng nằm về bên phải trên biểu đồ. Và giá trị của chính hàm càng lớn thì điểm càng cao.
Điều này nói lên điều gì? Giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ là điểm nằm thấp nhất trên đồ thị. Để tìm thấy nó trên một đoạn biểu đồ, bạn cần:
1) Tìm và đánh dấu các điểm cuối của đoạn này.
2) Xác định trực quan điểm nào trên đoạn này nằm thấp nhất.
3) Để trả lời, hãy viết ra giá trị số của nó, giá trị này có thể được xác định bằng cách chiếu một điểm lên trục y.
Điểm cực trị trên biểu đồ đạo hàm. Tìm ở đâu?
Tuy nhiên, khi giải quyết vấn đề, đôi khi một đồ thị được cho không phải của một hàm số mà là đạo hàm của nó. Để tránh vô tình mắc phải một sai lầm ngớ ngẩn, tốt hơn hết là bạn nên đọc kỹ các điều kiện, vì nó phụ thuộc vào vị trí bạn cần tìm điểm cực trị.
Vì vậy, đạo hàm là tốc độ tăng tức thời của hàm. Theo định nghĩa hình học, đạo hàm tương ứng với hệ số góc của tiếp tuyến, được vẽ trực tiếp đến điểm đã cho.
Biết rằng tại các điểm cực trị kẻ tiếp tuyến song song với trục Ox. Điều này có nghĩa là độ dốc của nó là 0.
Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng tại các điểm cực trị, đạo hàm nằm trên trục x hoặc biến mất. Nhưng ngoài ra, tại những điểm này, chức năng thay đổi hướng của nó. Có nghĩa là, sau một thời gian tăng, nó bắt đầu giảm, và đạo hàm, theo đó, chuyển từ dương sang âm. Hoặc ngược lại.
Nếu đạo hàm trở thành âm từ dương thì đây là điểm cực đại. Nếu từ tiêu cực nó trở thành tích cực - điểm tối thiểu.
Quan trọng: nếu bạn cần chỉ định điểm tối thiểu hoặc tối đa trong nhiệm vụ, thì trong phản hồi, bạn nên viết giá trị tương ứng dọc theo trục abscissa. Nhưng nếu bạn cần tìm giá trị của hàm, thì trước tiên bạn cần thay giá trị tương ứng của đối số vào hàm và tính nó.
Cách tìm điểm cực trị bằng đạo hàm?
Các ví dụ được xem xét chủ yếu đề cập đến nhiệm vụ số 7 của kỳ thi, liên quan đến việc làm việc với đồ thị của một đạo hàm hoặc một đạo hàm. Nhưng nhiệm vụ 12 của USE - để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm trên một đoạn (đôi khi là lớn nhất) - được thực hiện mà không cần bất kỳ hình vẽ nào và yêu cầu các kỹ năng cơ bản về phân tích toán học.
Để thực hiện nó, bạn cần có khả năng tìm điểm cực trị bằng cách sử dụng đạo hàm. Thuật toán tìm chúng như sau:
- Tìm đạo hàm của một hàm.
- Đặt nó bằng 0.
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
- Kiểm tra xem điểm thu được là điểm cực trị hay điểm uốn.
Để làm điều này, hãy vẽ một sơ đồ và tiếp tụcCác khoảng kết quả xác định các dấu của đạo hàm bằng cách thay các số thuộc các đoạn vào đạo hàm. Nếu khi giải phương trình, bạn có nghiệm nguyên của bội kép, thì đây là các điểm uốn.
Áp dụng các định lý, xác định điểm nào là cực tiểu và điểm nào là cực đại
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm bằng cách sử dụng đạo hàm
Tuy nhiên, sau khi thực hiện tất cả các thao tác này, chúng ta sẽ tìm thấy giá trị của các điểm cực tiểu và cực đại dọc theo trục x. Nhưng làm thế nào để tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm trên một đoạn?
Cần phải làm gì để tìm số tương ứng với hàm tại một điểm cụ thể? Bạn cần thay thế giá trị của đối số vào công thức này.
Điểm cực tiểu và cực đại tương ứng với giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trên đoạn. Vì vậy, để tìm giá trị của hàm, bạn cần tính hàm bằng cách sử dụng các giá trị x thu được.
Quan trọng! Nếu nhiệm vụ yêu cầu bạn chỉ định điểm tối thiểu hoặc tối đa, thì bạn nên viết giá trị tương ứng dọc theo trục x. Nhưng nếu bạn cần tìm giá trị của hàm, thì trước tiên bạn phải thay giá trị tương ứng của đối số vào hàm và thực hiện các phép toán cần thiết.
Tôi nên làm gì nếu không có mức thấp nhất trên phân khúc này?
Nhưng làm thế nào để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn không có điểm cực trị?
Điều này có nghĩa là hàm đơn điệu giảm hoặc tăng trên nó. Sau đó, bạn cần thay thế giá trị của các điểm cực trị của đoạn này vào hàm. Có hai cách.
1) Có tính toánđạo hàm và các khoảng mà nó dương hoặc âm, để kết luận xem hàm số đang giảm hay đang tăng trên một đoạn nhất định.
Phù hợp với chúng, thay thế một giá trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn của đối số vào hàm.
2) Chỉ cần thay thế cả hai điểm vào hàm và so sánh các giá trị hàm kết quả.
Trong đó nhiệm vụ tìm đạo hàm là tùy chọn
Theo quy tắc, trong các bài tập SỬ DỤNG, bạn vẫn cần phải tìm đạo hàm. Chỉ có một vài trường hợp ngoại lệ.
1) Hình parabol.
Đỉnh của parabol được tìm thấy bằng công thức.
Nếu < 0, thì các nhánh của parabol hướng xuống dưới. Và đỉnh của nó là điểm cực đại.
Nếu > 0, thì các nhánh của parabol hướng lên trên, đỉnh là điểm cực tiểu.
Sau khi tính toán điểm đỉnh của parabol, bạn nên thay giá trị của nó vào hàm và tính giá trị tương ứng của hàm.
2) Hàm số y=tg x. Hoặc y=ctg x.
Các chức năng này đang tăng một cách đơn điệu. Do đó, giá trị của đối số càng lớn thì giá trị của chính hàm càng lớn. Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm trên một đoạn với các ví dụ.
Loại nhiệm vụ chính
Task: giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm. Ví dụ trên biểu đồ.
Trong hình bạn thấy đồ thị của đạo hàm của hàm số f (x) trên khoảng [-6; 6]. Tại điểm nào của đoạn [-3; 3] f (x) nhận giá trị nhỏ nhất?
Vì vậy, đối với người mới bắt đầu, bạn nên chọn phân đoạn được chỉ định. Trên đó, hàm một khi nhận giá trị 0 và thay đổi dấu của nó - đây là điểm cực trị. Vì đạo hàm từ âm trở thành dương nên có nghĩa đây là điểm cực tiểu của hàm số. Điểm này tương ứng với giá trị của đối số 2.
Trả lời: 2.
Tiếp tục xem xét các ví dụ. Nhiệm vụ: tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên đoạn.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=(x - 8) ex-7trên khoảng [6; 8].
1. Lấy đạo hàm của một hàm phức.
y '(x)=(x - 8) ex-7=(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7) '=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7 )=(1 + x - 8) (ex-7 )=(x - 7) (ex-7 )
2. Lập phương trình đạo hàm thu được bằng 0 và giải phương trình.
y '(x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0 hoặc ex-7=0
x=7; ex-7≠ 0, không có gốc
3. Thay giá trị của các điểm cực trị vào hàm, cũng như các nghiệm nguyên thu được của phương trình.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Đáp án: -1.
Vì vậy, trong bài viết này, lý thuyết chính được xem xét về cách tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, điều này cần thiết để giải thành công các bài tập SỬ DỤNG trong toán học chuyên ngành. Ngoài ra các yếu tố của toán họcphân tích được sử dụng khi giải quyết các nhiệm vụ từ phần C của kỳ thi, nhưng rõ ràng là chúng thể hiện một mức độ phức tạp khác và các thuật toán cho giải pháp của chúng khó phù hợp với khuôn khổ của một tài liệu.
