Các con số của cuộc cách mạng trong hình học được đặc biệt chú ý khi nghiên cứu các đặc điểm và tính chất của chúng. Một trong số đó là hình nón cụt. Bài viết này nhằm mục đích trả lời câu hỏi về công thức nào có thể được sử dụng để tính diện tích của một hình nón cụt.
Chúng ta đang nói về nhân vật nào?
Trước khi mô tả diện tích của hình nón cụt, cần đưa ra định nghĩa hình học chính xác của hình này. Truncated là một hình nón như vậy, có được là kết quả của việc cắt đỉnh của một hình nón thông thường bởi một mặt phẳng. Trong định nghĩa này, một số sắc thái cần được nhấn mạnh. Đầu tiên, mặt phẳng tiết diện phải song song với mặt phẳng đáy của hình nón. Thứ hai, hình ban đầu phải là một hình nón tròn. Tất nhiên, nó có thể là một hình elip, hypebol và các loại hình khác, nhưng trong bài viết này, chúng tôi sẽ hạn chế chỉ xem xét một hình nón tròn. Cái sau được hiển thị trong hình bên dưới.
Thật dễ đoán rằng nó có thể được lấy không chỉ với sự trợ giúp của một mặt phẳng, mà còn với sự trợ giúp của một thao tác xoay. VìĐể làm điều này, bạn cần lấy một hình thang có hai góc vuông và quay nó xung quanh cạnh tiếp giáp với các góc vuông này. Do đó, các đáy của hình thang sẽ trở thành bán kính của các đáy của hình nón cụt và mặt nghiêng bên của hình thang sẽ mô tả bề mặt hình nón.
Phát triển hình thể
Xét diện tích bề mặt của một hình nón cụt, sẽ rất hữu ích để đưa ra sự phát triển của nó, tức là ảnh của bề mặt của một hình ba chiều trên một mặt phẳng. Dưới đây là bản quét của hình được nghiên cứu với các thông số tùy ý.
Có thể thấy rằng diện tích của hình được tạo thành bởi ba thành phần: hai hình tròn và một đoạn tròn cắt cụt. Rõ ràng, để xác định diện tích cần thiết, cần phải cộng các diện tích của tất cả các hình đã đặt tên. Hãy giải quyết vấn đề này trong đoạn tiếp theo.
Diện tích hình nón cụt
Để dễ hiểu hơn lý luận sau, chúng tôi giới thiệu ký hiệu sau:
- r1, r2 - bán kính của các cơ sở lớn và nhỏ tương ứng;
- h - chiều cao con số;
- g - ma trận hình nón (độ dài cạnh xiên của hình thang).
Diện tích các đáy của một hình nón cụt rất dễ tính. Hãy viết các biểu thức tương ứng:
So1=pir12;
So2=pir22.
Diện tích của một phần hình tròn có phần khó xác định hơn. Nếu chúng ta tưởng tượng rằng tâm của cung tròn này không bị cắt ra, thì bán kính của nó sẽ bằng giá trị G. Không khó để tính toán nó nếu chúng ta coi tương ứngtam giác hình nón vuông góc đồng dạng. Nó bằng:
G=r1 g / (r1-r2).
Khi đó diện tích của toàn bộ hình tròn, được xây dựng dựa trên bán kính G và phụ thuộc vào cung có độ dài 2pir1, sẽ bằng tới:
S1=pir1 G=pir12 g / (r1-r2).
Bây giờ chúng ta hãy xác định diện tích của cung tròn nhỏ S2, sẽ cần được trừ đi từ S1. Nó bằng:
S2=pir2 (G - g)=pir2(r1 g / (r1-r2 ) - g)=pir22 g / (r1-r2 ).
Diện tích của mặt cắt hình nón Sbbằng hiệu giữa S1và S2. Chúng tôi nhận được:
Sb=S1- S2=pir12 g / (r1-r2) - pir22 g / (r1-r2)=pig(r1+ r2 ).
Mặc dù có một số phép tính phức tạp, chúng tôi đã có một biểu thức khá đơn giản cho diện tích bề mặt bên của hình.
Thêm diện tích của các đáy và Sb, chúng ta đi đến công thức cho diện tích của một hình nón cụt:
S=So1+ So2+ Sb=pir 12+ pir22+ pig(r1+ r2 ).
Vì vậy, để tính giá trị S của hình được nghiên cứu, bạn cần biết ba tham số tuyến tính của nó.
Bài toán ví dụ
Hình nón thẳng trònNgười ta cắt một mặt phẳng có bán kính 10 cm và chiều cao là 15 cm để được một hình nón cụt đều. Biết rằng khoảng cách giữa các đáy của hình cắt cụt là 10 cm, cần tìm diện tích bề mặt của nó.
Để sử dụng công thức tính diện tích hình nón cụt, bạn cần tìm ba tham số của nó. Một trong những chúng tôi biết:
r1=10 cm.
Hai hình còn lại rất dễ tính nếu chúng ta coi các tam giác vuông đồng dạng, thu được là kết quả của tiết diện trục của hình nón. Có tính đến điều kiện của vấn đề, chúng tôi nhận được:
r2=105/15=3,33 cm.
Cuối cùng, hướng dẫn của hình nón cụt g sẽ là:
g=√ (102+ (r1-r2)2)=12,02 cm.
Bây giờ bạn có thể thay thế các giá trị r1, r2và g vào công thức cho S:
S=pir12+ pir2 2+ pig(r1+ r2 )=851,93 cm2.
Diện tích bề mặt mong muốn của hình là khoảng 852 cm2.
