Khi xem xét các hình trong không gian, các vấn đề thường nảy sinh trong việc xác định diện tích bề mặt của chúng. Một trong những hình như vậy là hình nón. Hãy xem xét mặt bên của hình nón có đáy tròn cũng như hình nón cụt là gì trong bài viết.
Nón có đế tròn
Trước khi tiếp tục xem xét bề mặt bên của hình nón, chúng ta sẽ chỉ ra nó là dạng hình gì và cách lấy nó bằng phương pháp hình học.
Lấy tam giác vuông ABC, trong đó AB và AC là chân. Hãy đặt tam giác này trên chân AC và xoay nó quanh chân AB. Kết quả là các cạnh AC và BC mô tả hai bề mặt của hình bên dưới.
Hình thu được khi quay được gọi là hình nón thẳng tròn. Nó tròn vì đáy của nó là một đường tròn, và thẳng vì một đường vuông góc vẽ từ đỉnh của hình (điểm B) cắt đường tròn tại tâm của nó. Chiều dài của đoạn vuông góc này được gọi là chiều cao. Rõ ràng là nó bằng chân AB. Chiều cao thường được ký hiệu bằng chữ h.
Bên cạnh chiều cao, hình nón được xem xét còn được mô tả bởi hai đặc điểm tuyến tính nữa:
- tạo hoặc ma trận gen (cạnh huyền BC);
- bán kính cơ sở (chân AC).
Bán kính sẽ được ký hiệu bằng chữ r, và ma trận bằng g. Sau đó, tính đến định lý Pitago, chúng ta có thể viết ra đẳng thức quan trọng cho hình đang xét:
g2=h2+ r2
Mặt nón
Tổng của tất cả các mầm tạo thành một mặt nón hoặc mặt bên của một hình nón. Nhìn bề ngoài, rất khó để biết nó tương ứng với hình phẳng nào. Điều quan trọng cần biết khi xác định diện tích bề mặt hình nón. Để giải quyết vấn đề này, phương pháp quét được sử dụng. Nó bao gồm những điều sau: một bề mặt được cắt tinh thần dọc theo một ma trận chung tùy ý, và sau đó nó được mở ra trên một mặt phẳng. Với phương pháp lấy nét quét này, hình phẳng sau đây sẽ được tạo thành.
Như bạn có thể đoán, hình tròn tương ứng với cơ sở, nhưng phần tròn là một bề mặt hình nón, diện tích mà chúng tôi quan tâm. Lĩnh vực này được giới hạn bởi hai bậc gốc và một cung. Chiều dài của phần sau chính xác bằng chu vi (chiều dài) của chu vi của cơ sở. Những đặc điểm này xác định duy nhất tất cả các thuộc tính của cung tròn. Chúng tôi sẽ không đưa ra các phép tính toán học trung gian, nhưng ngay lập tức viết ra công thức cuối cùng, sử dụng công thức này bạn có thể tính diện tích bề mặt bên của hình nón. Công thức là:
Sb=pigr
Diện tích mặt nón Sbbằng tích của hai tham số và Pi.
Hình nón cắt ngắn và bề mặt của nó
Nếu chúng ta lấy một hình nón thông thường và cắt đỉnh của nó bằng một mặt phẳng song song, hình còn lại sẽ là một hình nón cụt. Mặt bên của nó được giới hạn bởi hai đáy tròn. Hãy ký hiệu bán kính của chúng là R và r. Chúng tôi biểu thị chiều cao của hình bằng h và ma trận bằng g. Dưới đây là bản cắt giấy cho hình này.
Có thể thấy rằng bề mặt bên không còn là một khu vực hình tròn nữa, nó có diện tích nhỏ hơn, vì phần trung tâm đã bị cắt ra khỏi nó. Sự phát triển được giới hạn trong bốn đường, hai trong số đó là các đoạn thẳng-máy tạo, hai đường còn lại là các cung có độ dài của các đường tròn tương ứng của các đáy của hình nón cụt.
Mặt bên Sbđược tính như sau:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, bán kính và chiều cao có liên quan với nhau theo đẳng thức sau:
g2=h2+ (R - r)2
Vấn đề với sự bằng nhau của các vùng của các hình
Cho hình nón có chiều cao 20 cm và bán kính đáy là 8 cm, cần tìm chiều cao của hình nón cụt mà mặt bên của hình nón này có diện tích bằng. Hình cắt ngắn được xây dựng trên cùng một đế và bán kính của đế trên là 3 cm.
Trước hết, chúng ta hãy viết điều kiện bằng nhau của diện tích hình nón và hình cắt cụt. Chúng tôi có:
Sb1=Sb2=>
pig1 R=pig2 (r + R)
Bây giờ chúng ta hãy viết các biểu thức cho các dạng chung của mỗi hình dạng:
g1=√ (R2+ h12);
g2=√ ((R-r)2+ h22)
Thay g1và g2vào công thức tính các diện tích bằng nhau và bình phương các cạnh trái và phải, ta được:
R2 (R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Nơi chúng ta nhận được biểu thức cho h2:
h2=√ (R2 (R2+ h 12 ) / (r + R)2- (R - r)2 )
Chúng tôi sẽ không đơn giản hóa sự bình đẳng này, mà chỉ thay thế dữ liệu đã biết từ điều kiện:
h2=√ (82 (82+ 20 2 ) / (3 + 8)2- (8 - 3)2 ) ≈ 14,85 cm
Như vậy để diện tích các mặt bên của các hình bằng nhau thì hình nón cụt phải có các thông số: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
