Mọi học sinh đều đã nghe nói về hình nón tròn và tưởng tượng hình ba chiều này trông như thế nào. Bài viết này xác định sự phát triển của một hình nón, cung cấp các công thức mô tả đặc điểm của nó và mô tả cách xây dựng nó bằng cách sử dụng compa, thước đo góc và thước thẳng.
Hình nón tròn trong hình học
Hãy đưa ra định nghĩa hình học của hình này. Hình nón tròn là bề mặt được tạo thành bởi các đoạn thẳng nối tất cả các điểm của một đường tròn với một điểm duy nhất trong không gian. Điểm duy nhất này không được thuộc mặt phẳng mà đường tròn nằm trong đó. Nếu chúng ta lấy một đường tròn thay vì một đường tròn, thì phương pháp này cũng dẫn đến một hình nón.
Hình tròn được gọi là cơ sở của hình, chu vi của nó là ma trận trực tiếp. Các đoạn nối điểm với ma trận được gọi là đường sinh hoặc đường sinh và điểm mà chúng giao nhau là đỉnh của hình nón.
Hình nón tròn có thể thẳng và xiên. Cả hai số liệu được thể hiện trong hình bên dưới.
Sự khác biệt giữa chúng là: nếu đường vuông góc từ đỉnh của hình nón rơi chính xác vào tâm của hình tròn, thì hình nón sẽ thẳng. Đối với anh ta, đường vuông góc, được gọi là chiều cao của hình, là một phần của trục của anh ta. Trong trường hợp hình nón xiên, chiều cao và trục tạo thành một góc nhọn.
Do tính đơn giản và tính đối xứng của hình, chúng ta sẽ xem xét thêm các tính chất của chỉ một hình nón bên phải có đáy là hình tròn.
Lấy hình dạng bằng cách xoay
Trước khi tiếp tục xem xét sự phát triển của bề mặt hình nón, điều hữu ích là biết cách thu được hình không gian này bằng cách sử dụng phép quay.
Giả sử chúng ta có một tam giác vuông với các cạnh a, b, c. Hai đầu tiên trong số chúng là chân, c là cạnh huyền. Hãy đặt một hình tam giác trên chân a và bắt đầu xoay nó quanh chân b. Cạnh huyền c sau đó sẽ mô tả một bề mặt hình nón. Kỹ thuật hình nón đơn giản này được thể hiện trong sơ đồ bên dưới.
Rõ ràng, chân a sẽ là bán kính của đáy của hình, chân b sẽ là chiều cao của nó và cạnh huyền c tương ứng với ma trận hình nón tròn bên phải.
Quan điểm về sự phát triển của nón
Như bạn có thể đoán, hình nón được hình thành bởi hai loại bề mặt. Một trong số đó là hình tròn cơ sở phẳng. Giả sử nó có bán kính r. Bề mặt thứ hai là mặt bên và được gọi là hình nón. Cho bộ tạo của nó bằng g.
Nếu chúng ta có một hình nón giấy, thì chúng ta có thể lấy kéo và cắt phần đế khỏi nó. Sau đó, bề mặt hình nón phải được cắtdọc theo bất kỳ ma trận chung nào và triển khai nó trên máy bay. Bằng cách này, chúng tôi thu được sự phát triển của bề mặt bên của hình nón. Hai bề mặt, cùng với hình nón ban đầu, được hiển thị trong sơ đồ bên dưới.
Hình tròn cơ sở được mô tả ở dưới cùng bên phải. Bề mặt hình nón mở ra được hiển thị ở trung tâm. Hóa ra nó tương ứng với một số cung tròn của đường tròn, bán kính của nó bằng độ dài của ma trận chung g.
Quét góc và khu vực
Bây giờ chúng ta nhận được công thức, sử dụng các tham số g và r đã biết, cho phép chúng ta tính diện tích và góc của hình nón.
Rõ ràng, cung tròn của hình bên trong hình bên có độ dài bằng chu vi của đáy, đó là:
l=2pir.
Nếu toàn bộ hình tròn có bán kính g được xây dựng, thì độ dài của nó sẽ là:
L=2pig.
Vì độ dài L tương ứng với 2pi radian, nên góc mà cung l nằm trên đó có thể được xác định theo tỷ lệ tương ứng:
L==>2pi;
l==> φ.
Khi đó góc φ chưa biết sẽ bằng:
φ=2pil / L.
Thay các biểu thức cho độ dài l và L, chúng ta đi đến công thức tính góc khai triển của mặt bên của hình nón:
φ=2pir / g.
Góc φ ở đây được biểu thị bằng radian.
Để xác định diện tích Sbcủa một cung tròn, chúng ta sẽ sử dụng giá trị tìm được của φ. Chúng tôi thực hiện một tỷ lệ khác, chỉ cho các khu vực. Chúng tôi có:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Từ đâu biểu diễn Sb, rồi thay giá trị của góc φ. Chúng tôi nhận được:
Sb=φg2 pi / (2pi)=2pir / gg 2/ 2=pirg.
Đối với diện tích của một bề mặt hình nón, chúng tôi đã thu được một công thức khá nhỏ gọn. Giá trị của Sbbằng tích của ba yếu tố: pi, bán kính của hình và ma trận chung của nó.
Khi đó diện tích của toàn bộ bề mặt của hình sẽ bằng tổng của Sbvà So(hình tròn vùng cơ sở). Chúng tôi nhận được công thức:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Dựng hình nón trên giấy
Để hoàn thành nhiệm vụ này, bạn sẽ cần một mảnh giấy, bút chì, thước đo góc, thước kẻ và compa.
Trước hết, chúng ta hãy vẽ một hình tam giác vuông với các cạnh 3 cm, 4 cm và 5 cm. Vòng quay của nó quanh chân 3 cm sẽ cho hình nón như ý muốn. Hình có r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Việc xây dựng đường quét sẽ bắt đầu bằng cách vẽ một vòng tròn có bán kính r bằng la bàn. Chiều dài của nó sẽ bằng 6pi cm. Bây giờ bên cạnh nó, chúng ta sẽ vẽ một hình tròn khác, nhưng với bán kính g. Chiều dài của nó sẽ tương ứng với 10pi cm. Bây giờ chúng ta cần cắt một cung tròn khỏi một hình tròn lớn. Góc φ của nó là:
φ=2pir / g=2pi3/5=216o.
Bây giờ chúng ta dành góc này bằng thước đo góc trên một hình tròn có bán kính g và vẽ hai bán kính sẽ giới hạn cung tròn.
Vì vậyDo đó, chúng tôi đã xây dựng một sự phát triển của hình nón với các thông số cụ thể là bán kính, chiều cao và ma trận.
Ví dụ về giải một bài toán hình học
Cho một hình nón tròn đều. Được biết, góc quét bên của nó là 120o. Cần tìm bán kính và ma trận của hình này, nếu biết chiều cao h của hình nón là 10 cm.
Nhiệm vụ không khó nếu chúng ta nhớ rằng một hình nón tròn là một hình quay của một tam giác vuông. Từ tam giác này tuân theo một mối quan hệ rõ ràng giữa chiều cao, bán kính và ma trận. Hãy viết công thức tương ứng:
g2=h2+ r2.
Biểu thức thứ hai được sử dụng khi giải là công thức tính góc φ:
φ=2pir / g.
Như vậy, chúng ta có hai phương trình liên hệ giữa hai đại lượng chưa biết (r và g).
Biểu thị g từ công thức thứ hai và thay kết quả vào công thức đầu tiên, ta được:
g=2pir / φ;
h2+ r2=4pi2 r 2/ φ2=>
r=h / √ (4pi2/ φ2- 1).
Angle φ=120otính bằng radian là 2pi / 3. Chúng tôi thay thế giá trị này, chúng tôi nhận được công thức cuối cùng cho r và g:
r=h / √8;
g=3h /√8.
Nó vẫn để thay thế giá trị chiều cao và nhận được câu trả lời cho câu hỏi vấn đề: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
