Trong mô tả toán học của chuyển động quay, điều quan trọng là phải biết mômen quán tính của hệ đối với trục. Trong trường hợp chung, thủ tục tìm đại lượng này liên quan đến việc thực hiện quá trình tích hợp. Cái gọi là định lý Steiner giúp tính toán dễ dàng hơn. Hãy cùng xem xét chi tiết hơn trong bài viết.
Mômen quán tính là gì?
Trước khi đưa ra công thức của định lý Steiner, cần phải xử lý khái niệm mômen quán tính. Giả sử có một số vật thể có khối lượng nhất định và hình dạng tùy ý. Vật thể này có thể là một điểm vật chất hoặc bất kỳ vật thể hai chiều hoặc ba chiều nào (thanh, hình trụ, quả bóng, v.v.). Nếu vật được đề cập chuyển động tròn đều quanh một trục nào đó với gia tốc góc không đổi α, thì phương trình sau có thể được viết:
M=Iα
Ở đây, giá trị M đại diện cho tổng mômen của các lực tạo ra gia tốc α cho toàn bộ hệ. Hệ số tỉ lệ giữa chúng - I, được gọi làlực quán tính. Đại lượng vật lý này được tính theo công thức chung sau:
I=∫m(r2 dm)
Ở đây r là khoảng cách giữa phần tử có khối lượng dm và trục quay. Biểu thức này có nghĩa là cần phải tìm tổng tích các khoảng cách bình phương r2và khối lượng cơ bản dm. Có nghĩa là, mômen quán tính không phải là một đặc tính thuần túy của vật thể, giúp phân biệt nó với quán tính tuyến tính. Nó phụ thuộc vào sự phân bố khối lượng trên toàn bộ vật thể quay, cũng như vào khoảng cách đến trục và hướng của vật thể so với nó. Ví dụ, một thanh sẽ có chữ I khác nếu nó được quay xung quanh khối tâm và về phần cuối.
Mômen quán tính và định lý Steiner
Nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ, Jakob Steiner, đã chứng minh định lý về trục song song và mômen quán tính, bây giờ mang tên ông. Định lý này giả định rằng mômen quán tính đối với hoàn toàn bất kỳ vật cứng có dạng hình học tùy ý nào so với trục quay nào đó bằng tổng mômen quán tính đối với trục cắt khối tâm của vật và song song với trục thứ nhất., và tích của khối lượng cơ thể nhân với bình phương khoảng cách giữa các trục này. Về mặt toán học, công thức này được viết như sau:
IZ=IO+ ml2
IZvà IO- mômen quán tính đối với trục Z và trục O song song với nó, đi qua qua khối tâm của vật, l - khoảng cách giữa đường Z và O.
Định lý cho phép, khi biết giá trị của IO, để tínhbất kỳ thời điểm nào khác tôiZvề một trục song song với O.
Chứng minh định lý
Công thức định lý Steiner bạn có thể dễ dàng thu được. Để làm điều này, hãy xem xét một cơ thể tùy ý trên mặt phẳng xy. Cho gốc tọa độ đi qua khối tâm của vật này. Hãy tính momen quán tính IOđi qua gốc tọa độ vuông góc với mặt phẳng xy. Vì khoảng cách đến bất kỳ điểm nào của cơ thể được biểu thị bằng công thức r=√ (x2+ y2), nên ta nhận được tích phân:
IO=∫m(r2 dm)=∫ m((x2+ y2 )dm)
Bây giờ chúng ta hãy di chuyển trục song song với trục x một khoảng l, chẳng hạn theo chiều dương, thì phép tính cho trục mới của mômen quán tính sẽ như sau:
IZ=∫m(((x + l)2+ y2)dm)
Mở rộng hình vuông đầy đủ trong ngoặc và chia các tích phân, ta được:
IZ=∫m((x2+ l2+ 2xl + y2)dm)=∫m((x2+ y2)dm) + 2l∫m(xdm) + l2 ∫mdm
Số hạng đầu tiên là giá trị IO, số hạng thứ ba, sau khi tích phân, cho số hạng l2 m, và ở đây số hạng thứ hai là số không. Số 0 của tích phân xác định là do nó được lấy từ tích của x và các phần tử khối lượng dm, trong đógiá trị trung bình cho bằng 0, vì khối tâm nằm ở điểm gốc. Kết quả là, công thức của định lý Steiner thu được.
Trường hợp được xem xét trên mặt phẳng có thể được tổng quát thành vật thể ba chiều.
Kiểm tra công thức Steiner trên ví dụ về thanh
Hãy đưa ra một ví dụ đơn giản để chứng minh cách sử dụng định lý trên.
Biết rằng đối với một thanh có chiều dài L và khối lượng m thì momen quán tính IO(trục đi qua khối tâm) bằng mL2/ 12 và thời điểm tôiZ(trục đi qua đầu thanh) bằng mL 2/ 3. Hãy kiểm tra dữ liệu này bằng cách sử dụng định lý Steiner. Vì khoảng cách giữa hai trục là L / 2 nên ta có thời điểm IZ:
IZ=IO+ m(L / 2)2=mL2/ 12 + mL2/ 4=4mL2/ 12=mL2/ 3
Đó là, chúng tôi đã kiểm tra công thức Steiner và nhận được cùng một giá trị cho IZnhư trong nguồn.
Có thể thực hiện các phép tính tương tự đối với các vật thể khác (hình trụ, bóng, đĩa), đồng thời thu được các mômen quán tính cần thiết và không cần thực hiện tích hợp.
Mômen quán tính và trục vuông góc
Định lý được xem xét liên quan đến các trục song song. Để có thông tin đầy đủ, việc đưa ra một định lý cho các trục vuông góc cũng rất hữu ích. Nó được xây dựng như sau: đối với một vật phẳng có hình dạng tùy ý, momen quán tính đối với một trục vuông góc với nó sẽ bằng tổng của hai momen quán tính về hai phương vuông góc nhau và nằmtrong mặt phẳng của đối tượng trục, với cả ba trục đi qua cùng một điểm. Về mặt toán học, điều này được viết như sau:
Iz=Ix+ Iy
Ở đây z, x, y là ba trục quay vuông góc với nhau.
Sự khác biệt cơ bản giữa định lý này và định lý Steiner là nó chỉ áp dụng được cho các vật rắn phẳng (hai chiều). Tuy nhiên, trong thực tế, nó được sử dụng rộng rãi, tinh thần cắt cơ thể thành các lớp riêng biệt, và sau đó thêm các mômen quán tính thu được.
