Một trong những tiên đề của hình học nói rằng qua hai điểm bất kỳ có thể vẽ một đường thẳng duy nhất. Tiên đề này chứng minh rằng có một biểu thức số duy nhất mô tả duy nhất đối tượng hình học một chiều được chỉ định. Trong bài này, hãy xem xét câu hỏi về cách viết phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm.
Một điểm và một đường là gì?
Trước khi xem xét câu hỏi về cấu tạo trong không gian và trên mặt phẳng một đường thẳng của một phương trình đi qua một cặp điểm khác nhau, người ta nên xác định các đối tượng hình học cụ thể.
Một điểm được xác định duy nhất bởi một tập hợp các tọa độ trong một hệ trục tọa độ cho trước. Ngoài chúng, không có thêm đặc điểm nào cho điểm. Cô ấy là một vật thể không chiều.
Khi nói về một đường thẳng, mỗi người sẽ tưởng tượng ra một đường thẳng được mô tả trên một tờ giấy trắng. Đồng thời có thể đưa ra định nghĩa hình học chính xácđối tượng này. Đường thẳng là một tập hợp các điểm mà tại đó kết nối của mỗi điểm trong số chúng với tất cả các điểm khác sẽ tạo ra một tập hợp các vectơ song song.
Định nghĩa này được sử dụng khi thiết lập phương trình vectơ của một đường thẳng, sẽ được thảo luận bên dưới.
Vì bất kỳ đường nào có thể được đánh dấu bằng một đoạn có độ dài tùy ý, nên nó được cho là đối tượng hình học một chiều.
Hàm vectơ số
Phương trình qua hai điểm của một đường thẳng đi qua có thể được viết dưới các dạng khác nhau. Trong không gian ba chiều và hai chiều, biểu thức số chính và dễ hiểu trực quan là một vectơ.
Giả sử rằng có một số đoạn thẳng u¯ (a; b; c). Trong không gian 3D, vectơ u¯ có thể bắt đầu tại bất kỳ điểm nào, vì vậy tọa độ của nó xác định một tập vô hạn các vectơ song song. Tuy nhiên, nếu chúng ta chọn một điểm cụ thể P (x0; y0; z0) và đặt nó là đầu của vectơ u¯, khi đó, nhân vectơ này với một số thực tùy ý λ, người ta có thể thu được tất cả các điểm thuộc một đường thẳng trong không gian. Tức là, phương trình vectơ sẽ được viết dưới dạng:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Rõ ràng, đối với trường hợp trên mặt phẳng, hàm số có dạng:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Ưu điểm của loại phương trình này so với các loại phương trình khác (trong phân đoạn, chính tắc,dạng tổng quát) nằm ở chỗ nó chứa tọa độ của vectơ chỉ phương một cách rõ ràng. Cái sau thường được sử dụng để xác định xem các đường thẳng song song hay vuông góc.
Tổng quát trong phân đoạn và hàm chính tắc cho một đường thẳng trong không gian hai chiều
Khi giải bài toán, đôi khi bạn cần viết phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm ở một dạng cụ thể, nhất định. Do đó, nên đưa ra các cách khác để xác định đối tượng hình học này trong không gian hai chiều (để đơn giản, chúng ta xem xét trường hợp trên mặt phẳng).
Hãy bắt đầu với một phương trình tổng quát. Nó có dạng:
Ax + By + C=0
Theo quy tắc, trên mặt phẳng, phương trình của một đường thẳng được viết dưới dạng này, chỉ có y được xác định rõ ràng thông qua x.
Bây giờ hãy biến đổi biểu thức trên như sau:
Ax + By=-C=>
x / (- C / A) + y / (- C / B)=1
Biểu thức này được gọi là phương trình trong các đoạn, vì mẫu số của mỗi biến thể hiện khoảng thời gian đoạn thẳng cắt trên trục tọa độ tương ứng so với điểm bắt đầu (0; 0).
Nó vẫn là để đưa ra một ví dụ về phương trình chính tắc. Để làm điều này, chúng tôi viết đẳng thức vectơ một cách rõ ràng:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Hãy biểu diễn tham số λ từ đây và cân bằng các giá trị bằng nhau:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x -x0) / a=(y - y0) / b
Đẳng thức cuối cùng được gọi là đẳng thức ở dạng chính tắc hoặc đối xứng.
Mỗi trong số chúng có thể được chuyển đổi thành vectơ và ngược lại.
Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm: một kỹ thuật biên dịch
Quay lại câu hỏi của bài viết. Giả sử có hai điểm trong không gian:
M (x1; y1; z1) và N (x 2; y2; z2 )
Đường thẳng duy nhất đi qua chúng, phương trình của nó rất dễ soạn dưới dạng vectơ. Để làm điều này, chúng tôi tính tọa độ của đoạn thẳng MN¯, chúng tôi có:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Không khó để đoán rằng vectơ này sẽ là hướng dẫn cho đường thẳng, phương trình của nó. Biết rằng nó cũng đi qua M và N, bạn có thể sử dụng tọa độ của bất kỳ điểm nào trong số chúng cho biểu thức vectơ. Khi đó, phương trình mong muốn có dạng:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Đối với trường hợp trong không gian hai chiều, chúng ta thu được một đẳng thức tương tự mà không có sự tham gia của biến z.
Ngay sau khi bình đẳng vectơ cho dòng được viết, nó có thể được dịch sang bất kỳ dạng nào khác mà câu hỏi của bài toán yêu cầu.
Nhiệm vụ:viết một phương trình tổng quát
Biết đường thẳng đi qua các điểm có tọa độ (-1; 4) và (3; 2). Cần phải lập phương trình của một đường thẳng đi qua chúng, ở dạng tổng quát, biểu thị y dưới dạng x.
Để giải bài toán, trước hết chúng ta viết phương trình dưới dạng vectơ. Tọa độ vectơ (hướng dẫn) là:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Khi đó dạng vectơ của phương trình của đường thẳng là như sau:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Vẫn viết nó ở dạng tổng quát dưới dạng y (x). Chúng tôi viết lại đẳng thức này một cách rõ ràng, biểu thị tham số λ và loại trừ nó khỏi phương trình:
x=-1 + 4λ=>λ=(x + 1) / 4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y) / 2;
(x + 1) / 4=(4-y) / 2
Từ phương trình chính tắc kết quả, chúng ta biểu diễn y và đi đến câu trả lời cho câu hỏi của bài toán:
y=-0,5x + 3,5
Tính hợp lệ của đẳng thức này có thể được kiểm tra bằng cách thay thế tọa độ của các điểm được chỉ định trong câu lệnh bài toán.
Bài toán: một đường thẳng đi qua tâm của đoạn thẳng
Bây giờ chúng ta hãy giải quyết một vấn đề thú vị. Giả sử cho trước hai điểm M (2; 1) và N (5; 0). Biết rằng một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối các điểm và vuông góc với nó. Viết phương trình của một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng dưới dạng vectơ.
Biểu thức số mong muốn có thể được hình thành bằng cách tính tọa độ của tâm này và xác định vectơ hướng,đoạn tạo thành một góc 90o.
Trung điểm của đoạn là:
S=(M + N) / 2=(3, 5; 0, 5)
Bây giờ hãy tính tọa độ của vectơ MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Vì vectơ chỉ phương của đường thẳng mong muốn vuông góc với MN¯ nên tích vô hướng của chúng bằng không. Điều này cho phép bạn tính toán tọa độ chưa biết (a; b) của vectơ lái:
a3 - b=0=>
b=3a
Bây giờ hãy viết phương trình vectơ:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Ở đây chúng tôi đã thay thế sản phẩm aλ bằng một tham số mới β.
Như vậy, chúng ta đã lập phương trình của một đường thẳng đi qua tâm của đoạn thẳng.
