Hình học không gian là ngành nghiên cứu các lăng kính. Các đặc điểm quan trọng của chúng là thể tích chứa trong chúng, diện tích bề mặt và số lượng các nguyên tố cấu thành. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét tất cả các đặc tính này của lăng trụ lục giác.
Chúng ta đang nói đến lăng kính nào?
Hình lăng trụ lục giác là một hình được tạo thành bởi hai đa giác có sáu cạnh và sáu góc, và sáu hình bình hành nối các lục giác đã đánh dấu thành một hình học duy nhất.
Hình bên là một ví dụ về lăng kính này.
Hình lục giác được đánh dấu màu đỏ được gọi là cơ sở của hình. Rõ ràng, số lượng các cơ sở của nó bằng hai và cả hai đều giống hệt nhau. Các mặt màu vàng lục của lăng kính được gọi là các mặt bên của nó. Trong hình, chúng được biểu diễn bằng các hình vuông, nhưng nhìn chung chúng là các hình bình hành.
Hình lăng trụ lục giác có thể nghiêng và thẳng. Trong trường hợp đầu tiên, các góc giữa mặt đáy và các mặt bên không thẳng, trong trường hợp thứ hai, chúng bằng 90o. Ngoài ra, lăng kính này có thể đúng và không chính xác. Lục giác đềulăng trụ phải thẳng và có đáy là lục giác đều. Hình lăng trụ trên thỏa mãn các yêu cầu trên nên được gọi là đúng. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu các thuộc tính của nó, như một trường hợp chung.
Nguyên tố
Đối với bất kỳ hình lăng trụ nào, các yếu tố chính của nó là cạnh, mặt và đỉnh. Hình lăng trụ lục giác cũng không ngoại lệ. Hình trên cho phép bạn đếm số lượng các phần tử này. Vì vậy, chúng ta nhận được 8 mặt hoặc các cạnh (hai đáy và sáu hình bình hành bên), số đỉnh là 12 (6 đỉnh cho mỗi đáy), số cạnh của một lăng trụ lục giác là 18 (sáu cạnh và 12 cho đáy).
Vào những năm 1750, Leonhard Euler (một nhà toán học Thụy Sĩ) đã thành lập cho tất cả các khối đa diện, bao gồm một lăng trụ, một mối quan hệ toán học giữa các số của các phần tử được chỉ định. Mối quan hệ này trông giống như:
số cạnh=số mặt + số đỉnh - 2.
Các số liệu trên thỏa mãn công thức này.
Đường chéo của lăng kính
Tất cả các đường chéo của lăng trụ lục giác đều có thể được chia thành hai loại:
- những cái nằm trong mặt phẳng của các mặt của nó;
- những thứ thuộc về toàn bộ khối lượng của hình.
Hình bên dưới hiển thị tất cả các đường chéo này.
Có thể thấy rằng D1là đường chéo bên, D2và D3là các đường chéo của toàn bộ lăng trụ, D4và D5- các đường chéo của đáy.
Độ dài các đường chéo của các cạnh bằng nhau. Thật dễ dàng để tính toán chúng bằng cách sử dụng định lý Pitago nổi tiếng. Gọi a là độ dài cạnh của hình lục giác, b là độ dài cạnh bên. Khi đó đường chéo có độ dài:
D1=√ (a2+ b2).
Đường chéo D4cũng rất dễ xác định. Nếu chúng ta nhớ lại rằng một hình lục giác đều nằm trong một hình tròn có bán kính a, thì D4là đường kính của hình tròn này, tức là, chúng ta nhận được công thức sau:
Căn cứD4=2a.
Chéo D5có phần khó tìm hơn. Để làm điều này, hãy xem xét một tam giác đều ABC (xem Hình.). Với AB=BC=a, góc ABC là 120o. Nếu chúng ta hạ thấp chiều cao từ góc này (nó cũng sẽ là phân giác và trung tuyến), thì một nửa cơ sở AC sẽ bằng:
AC / 2=ABsin (60o)=a√3 / 2.
Cạnh AC là đường chéo của D5, do đó ta nhận được:
D5=AC=√3a.
Bây giờ, việc tìm các đường chéo D2và D3của một lăng trụ lục giác đều. Để làm được điều này, bạn cần thấy rằng chúng là cạnh huyền của các tam giác vuông tương ứng. Sử dụng định lý Pitago, chúng ta nhận được:
D2=√ (D42+ b2)=√ (4a2+ b2 );
D3=√ (D52+ b2)=√ (3a2+ b2 ).
Do đó, đường chéo lớn nhất cho bất kỳ giá trị nào của a và b làD2.
Diện tích bề mặt
Để hiểu điều gì đang bị đe dọa, cách dễ nhất là xem xét sự phát triển của lăng kính này. Nó được hiển thị trong hình.
Có thể thấy để xác định diện tích tất cả các cạnh của hình đang xét cần tính riêng diện tích tứ giác và diện tích lục giác rồi nhân chúng với nhau. bởi các số nguyên tương ứng bằng số của mỗi n-gon trong lăng kính, và cộng kết quả. Hình lục giác 2, hình chữ nhật 6.
Đối với diện tích hình chữ nhật, chúng ta nhận được:
S1=ab.
Khi đó diện tích bề mặt bên là:
S2=6ab.
Để xác định diện tích của một hình lục giác, cách dễ nhất là sử dụng công thức tương ứng, giống như sau:
S=n / 4a2 ctg (pi / n).
Thay số n bằng 6 vào biểu thức này, ta được diện tích của một lục giác:
S6=6/4a2 ctg (pi / 6)=3√3 / 2a 2.
Biểu thức này cần được nhân với hai để được diện tích của các đáy của lăng trụ:
Sos=3√3a2.
Vẫn thêm Sosvà S2để có tổng diện tích bề mặt của hình:
S=Sos+ S2=3√3a2+ 6ab=3a(√3a + 2b).
Khối lượng lăng kính
Sau công thức chodiện tích của một đáy lục giác, tính thể tích của khối lăng trụ được đề cập dễ dàng như gọt vỏ quả lê. Để thực hiện việc này, bạn chỉ cần nhân diện tích của / u200b / u200b đáy (lục giác) với chiều cao của hình, chiều dài của hình này bằng chiều dài của cạnh bên. Chúng tôi nhận được công thức:
V=S6 b=3√3 / 2a2 b.
Lưu ý rằng tích của đáy và chiều cao cho giá trị thể tích của hoàn toàn bất kỳ hình lăng trụ nào, kể cả lăng trụ xiên. Tuy nhiên, trong trường hợp thứ hai, việc tính toán chiều cao rất phức tạp, vì nó sẽ không còn bằng chiều dài của sườn bên nữa. Đối với một lăng trụ lục giác đều, thể tích của nó là một hàm của hai biến: cạnh a và b.
