Khối đa diện thu hút sự chú ý của các nhà toán học và khoa học ngay cả trong thời cổ đại. Người Ai Cập đã xây dựng các kim tự tháp. Và người Hy Lạp đã nghiên cứu về "khối đa diện đều". Đôi khi chúng được gọi là chất rắn Platonic. "Khối đa diện truyền thống" bao gồm các mặt phẳng, các cạnh thẳng và các đỉnh. Nhưng câu hỏi chính luôn là những quy tắc nào mà các phần riêng biệt này phải đáp ứng, cũng như những điều kiện tổng thể bổ sung nào phải được đáp ứng để một đối tượng đủ điều kiện là một khối đa diện. Câu trả lời cho câu hỏi này sẽ được trình bày trong bài viết.
Vấn đề trong định nghĩa
Con số này bao gồm những gì? Hình đa diện là một hình rắn khép kín có các mặt phẳng và các cạnh thẳng. Do đó, vấn đề đầu tiên về định nghĩa của nó có thể được gọi một cách chính xác là các cạnh của hình. Không phải tất cả các mặt nằm trong mặt phẳng luôn là dấu hiệu của một hình đa diện. Hãy lấy "hình trụ tam giác" làm ví dụ. Nó bao gồm những gì? Một phần của bề mặt ba thành từng cặpcác mặt phẳng đứng cắt nhau không thể coi là đa giác. Lý do là nó không có đỉnh. Bề mặt của một hình như vậy được hình thành trên cơ sở ba tia gặp nhau tại một điểm.
Một vấn đề nữa - máy bay. Trong trường hợp của "hình trụ tam giác", nó nằm trong các bộ phận không giới hạn của chúng. Một hình được coi là lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trong tập hợp cũng nằm trong đó. Hãy để chúng tôi trình bày một trong những thuộc tính quan trọng của chúng. Đối với tập hợp lồi, tập hợp các điểm chung của tập hợp là giống nhau. Có một loại số liệu khác. Đây là các khối đa diện 2D không lồi, có khía hoặc lỗ.
Hình không phải là khối đa diện
Tập hợp các điểm phẳng có thể khác (ví dụ, không lồi) và không thỏa mãn định nghĩa thông thường của một hình đa diện. Ngay cả thông qua nó, nó bị giới hạn bởi các phần của dòng. Các đường của một khối đa diện lồi bao gồm các hình lồi. Tuy nhiên, cách tiếp cận định nghĩa này loại trừ một con số đi đến vô cùng. Một ví dụ về điều này sẽ là ba tia không gặp nhau tại cùng một điểm. Nhưng đồng thời, chúng được kết nối với các đỉnh của một hình khác. Theo truyền thống, điều quan trọng đối với một khối đa diện là nó bao gồm các bề mặt phẳng. Nhưng theo thời gian, khái niệm này được mở rộng, dẫn đến sự cải thiện đáng kể trong việc hiểu loại khối đa diện "hẹp hơn" ban đầu, cũng như sự xuất hiện của một định nghĩa mới, rộng hơn.
Đúng
Hãy giới thiệu thêm một định nghĩa nữa. Một hình đa diện đều là một hình trong đó mỗi mặt là một hình đềuđa giác lồi, và tất cả các đỉnh đều "giống nhau". Điều này có nghĩa là mỗi đỉnh có cùng số lượng đa giác đều. Sử dụng định nghĩa này. Vì vậy, bạn có thể tìm thấy năm khối đa diện đều.
Các bước đầu tiên để đưa ra định lý Euler cho khối đa diện
Người Hy Lạp đã biết về hình đa giác, mà ngày nay được gọi là ngôi sao năm cánh. Đa giác này có thể được gọi là đều vì tất cả các cạnh của nó có độ dài bằng nhau. Ngoài ra còn có một lưu ý quan trọng khác. Góc giữa hai cạnh liên tiếp luôn bằng nhau. Tuy nhiên, khi được vẽ trong một mặt phẳng, nó không xác định tập lồi và các mặt của hình đa diện cắt nhau. Tuy nhiên, điều này không phải luôn luôn như vậy. Các nhà toán học từ lâu đã xem xét ý tưởng về các khối đa diện đều "không lồi". Ngôi sao năm cánh là một trong số đó. "Đa giác hình sao" cũng được cho phép. Một số ví dụ mới về "khối đa diện đều" đã được phát hiện. Bây giờ chúng được gọi là khối đa diện Kepler-Poinsot. Sau đó, G. S. M. Coxeter và Branko Grünbaum đã mở rộng các quy tắc và khám phá ra các "khối đa diện đều" khác.
Công thức đa diện
Việc nghiên cứu có hệ thống các số liệu này bắt đầu tương đối sớm trong lịch sử toán học. Leonhard Euler là người đầu tiên nhận thấy rằng một công thức liên quan đến số đỉnh, mặt và cạnh của chúng cho khối đa diện lồi 3D.
Cô ấy trông như thế này:
V + F - E=2, trong đó V là số đỉnh của hình đa diện, F là số cạnh của hình đa diện và E là số mặt.
Leonhard Euler là người Thụy Sĩnhà toán học người được coi là một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất và năng suất nhất mọi thời đại. Anh ấy đã bị mù trong phần lớn cuộc đời của mình, nhưng việc mất đi thị lực đã cho anh ấy lý do để trở nên làm việc hiệu quả hơn. Có một số công thức được đặt theo tên của ông ấy và công thức chúng ta vừa xem đôi khi được gọi là công thức khối đa diện Euler.
Có một sự làm rõ. Tuy nhiên, công thức của Euler chỉ áp dụng cho các khối đa diện tuân theo các quy tắc nhất định. Họ nói dối rằng hình thức không được có bất kỳ lỗ hổng nào. Và việc nó vượt qua chính mình là điều không thể chấp nhận được. Một hình đa diện cũng không thể được tạo thành từ hai phần ghép lại với nhau, chẳng hạn như hai hình lập phương có cùng đỉnh. Euler đã đề cập đến kết quả nghiên cứu của mình trong một bức thư gửi cho Christian Goldbach vào năm 1750. Sau đó, ông xuất bản hai bài báo, trong đó ông mô tả cách ông cố gắng tìm kiếm bằng chứng về khám phá mới của mình. Trong thực tế, có những dạng cho một câu trả lời khác với V + F - E. Câu trả lời cho tổng F + V - E=X được gọi là đặc tính Euler. Cô ấy có một khía cạnh khác. Một số hình dạng thậm chí có thể có đặc điểm Euler âm
Lý thuyết Đồ thị
Đôi khi người ta khẳng định rằng Descartes đã suy ra định lý Euler trước đó. Mặc dù nhà khoa học này đã khám phá ra sự thật về khối đa diện ba chiều cho phép anh ta suy ra công thức mong muốn, anh ta đã không thực hiện thêm bước này. Ngày nay, Euler được coi là "cha đẻ" của lý thuyết đồ thị. Ông đã giải quyết vấn đề của cây cầu Konigsberg bằng cách sử dụng ý tưởng của mình. Nhưng nhà khoa học đã không nhìn vào khối đa diện trong bối cảnhlý thuyết đồ thị. Euler đã cố gắng đưa ra một bằng chứng về công thức dựa trên sự phân hủy một khối đa diện thành các phần đơn giản hơn. Nỗ lực này không phù hợp với các tiêu chuẩn hiện đại để chứng minh. Mặc dù Euler không đưa ra lời biện minh chính xác đầu tiên cho công thức của mình, nhưng người ta không thể chứng minh những phỏng đoán đã không được thực hiện. Tuy nhiên, các kết quả đã được chứng minh sau này, cho phép sử dụng định lý Euler vào thời điểm hiện tại. Bằng chứng đầu tiên do nhà toán học Adrian Marie Legendre thu được.
Bằng chứng về công thức của Euler
Euler lần đầu tiên đưa ra công thức đa diện như một định lý về khối đa diện. Ngày nay, nó thường được xử lý trong bối cảnh chung hơn của các đồ thị được kết nối. Ví dụ, như cấu trúc bao gồm các điểm và đoạn thẳng nối chúng, nằm trong cùng một phần. Augustin Louis Cauchy là người đầu tiên tìm ra mối liên hệ quan trọng này. Nó được dùng như một bằng chứng cho định lý Euler. Về bản chất, ông nhận thấy rằng đồ thị của một khối đa diện lồi (hay cái mà ngày nay được gọi là như vậy) về mặt cấu trúc liên kết đồng dạng với một hình cầu, có một đồ thị phẳng liên thông. Nó là gì? Đồ thị phẳng là đồ thị được vẽ trong mặt phẳng sao cho các cạnh của nó chỉ gặp nhau hoặc cắt nhau tại một đỉnh. Đây là nơi tìm ra mối liên hệ giữa định lý Euler và đồ thị.
Một dấu hiệu cho thấy tầm quan trọng của kết quả là David Epstein đã có thể thu thập mười bảy mẩu bằng chứng khác nhau. Có nhiều cách để biện minh cho công thức đa diện của Euler. Theo một nghĩa nào đó, cách chứng minh rõ ràng nhất là các phương pháp sử dụng quy nạp toán học. Kết quả có thể được chứng minhvẽ nó dọc theo số cạnh, mặt hoặc đỉnh của biểu đồ.
Bằng chứng về Rademacher và Toeplitz
Đặc biệt hấp dẫn là bằng chứng sau đây của Rademacher và Toeplitz, dựa trên cách tiếp cận của Von Staudt. Để chứng minh cho định lý Euler, giả sử rằng G là một đồ thị liên thông được nhúng trong một mặt phẳng. Nếu nó có các lược đồ, có thể loại trừ một cạnh khỏi mỗi trong số chúng theo cách để bảo toàn thuộc tính mà nó vẫn được kết nối. Có sự tương ứng 1-1 giữa các phần bị loại bỏ để đi đến đồ thị được kết nối mà không bị đóng và những phần không phải là cạnh vô hạn. Nghiên cứu này dẫn đến việc phân loại "các bề mặt có thể định hướng" theo cái gọi là đặc tính Euler.
Đường congJordan. Định lý
Luận điểm chính, được sử dụng trực tiếp hoặc gián tiếp trong việc chứng minh công thức đa diện của định lý Euler cho đồ thị, phụ thuộc vào đường cong Jordan. Ý tưởng này có liên quan đến khái quát hóa. Nó nói rằng bất kỳ đường cong khép kín đơn giản nào cũng chia mặt phẳng thành ba bộ: các điểm trên nó, bên trong và bên ngoài nó. Khi quan tâm đến công thức đa diện của Euler được phát triển vào thế kỷ 19, nhiều nỗ lực đã được thực hiện để tổng quát hóa nó. Nghiên cứu này đã đặt nền tảng cho sự phát triển của tôpô đại số và kết nối nó với lý thuyết đại số và số.
Moebius nhóm
Người ta sớm phát hiện ra rằng một số bề mặt chỉ có thể được "định hướng" một cách nhất quán tại địa phương, không phải trên toàn cầu. Nhóm Mobius nổi tiếng đóng vai trò là một minh họa cho điều đócác bề mặt. Nó đã được phát hiện sớm hơn bởi Johann Listing. Khái niệm này bao gồm khái niệm về chi của một đồ thị: số lượng bộ mô tả ít nhất g. Nó phải được thêm vào bề mặt của hình cầu, và nó có thể được nhúng vào bề mặt mở rộng theo cách mà các cạnh chỉ gặp nhau ở các đỉnh. Hóa ra rằng bất kỳ bề mặt định hướng nào trong không gian Euclide đều có thể được coi là một hình cầu với một số chốt nhất định.
Sơ đồ Euler
Nhà khoa học đã thực hiện một khám phá khác, vẫn được sử dụng cho đến ngày nay. Cái gọi là biểu đồ Euler này là một biểu diễn đồ họa của các vòng tròn, thường được sử dụng để minh họa mối quan hệ giữa các tập hợp hoặc nhóm. Biểu đồ thường bao gồm các màu hòa trộn trong các khu vực mà các vòng tròn chồng lên nhau. Các tập hợp được thể hiện chính xác bằng các hình tròn hoặc hình bầu dục, mặc dù các số liệu khác cũng có thể được sử dụng cho chúng. Bao gồm được thể hiện bằng sự chồng chéo của các hình elip được gọi là vòng tròn Euler.
Chúng đại diện cho các tập hợp và tập hợp con. Ngoại lệ là các vòng kết nối không chồng chéo. Biểu đồ Euler có liên quan chặt chẽ với các biểu diễn đồ họa khác. Họ thường bị nhầm lẫn. Biểu diễn đồ họa này được gọi là biểu đồ Venn. Tùy thuộc vào các bộ được đề cập, cả hai phiên bản có thể trông giống nhau. Tuy nhiên, trong biểu đồ Venn, các vòng tròn chồng chéo không nhất thiết chỉ ra tính tương đồng giữa các tập hợp, mà chỉ là mối quan hệ logic có thể có nếu nhãn của chúng không nằm trongđường tròn giao nhau. Cả hai lựa chọn đều được chấp nhận để giảng dạy lý thuyết tập hợp như một phần của phong trào toán học mới của những năm 1960.
Định lý Fermat và Euler
Euler đã để lại một dấu ấn đáng chú ý trong khoa học toán học. Lý thuyết số đại số đã được làm giàu bởi một định lý mang tên ông. Nó cũng là hệ quả của một khám phá quan trọng khác. Đây được gọi là định lý Lagrange đại số tổng quát. Tên của Euler cũng gắn liền với định lý nhỏ Fermat. Nó nói rằng nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì:
ap-1- 1 chia hết cho p.
Đôi khi cùng một khám phá lại có một cái tên khác, thường thấy trong văn học nước ngoài. Nghe có vẻ giống như định lý Giáng sinh của Fermat. Vấn đề là khám phá được biết đến nhờ vào một bức thư từ một nhà khoa học được gửi vào đêm trước ngày 25 tháng 12 năm 1640. Nhưng bản thân câu nói này đã từng gặp phải trước đây. Nó đã được sử dụng bởi một nhà khoa học khác tên là Albert Girard. Fermat chỉ cố gắng chứng minh lý thuyết của mình. Tác giả gợi ý trong một bức thư khác rằng ông đã được truyền cảm hứng từ phương pháp nguồn gốc vô hạn. Nhưng anh ta không cung cấp bất kỳ bằng chứng nào. Sau đó, Eider cũng chuyển sang phương pháp tương tự. Và sau ông - nhiều nhà khoa học nổi tiếng khác, bao gồm Lagrange, Gauss và Minkosky.
Đặc điểm nhận dạng
Định lý nhỏ củaFermat còn được gọi là trường hợp đặc biệt của một định lý từ lý thuyết số do Euler. Theo lý thuyết này, hàm nhận dạng Euler đếm số nguyên dương lên đến số nguyên n cho trước. Họ là đồng chuẩn đối vớiN. Định lý Euler trong lý thuyết số được viết bằng chữ cái Hy Lạp φ và trông giống như φ (n). Nó có thể được định nghĩa chính thức hơn là số các số nguyên k trong phạm vi 1 ≦ k ≦ n mà ước số chung lớn nhất gcd (n, k) là 1. Kí hiệu φ (n) cũng có thể được gọi là hàm phi của Euler. Các số nguyên k có dạng này đôi khi được gọi là tổng. Trung tâm của lý thuyết số, hàm nhận dạng Euler là phép nhân, có nghĩa là nếu hai số m và n là nguyên tố thì φ (mn)=φ (m) φ (n). Nó cũng đóng một vai trò quan trọng trong việc xác định hệ thống mã hóa RSA.
Hàm Euler được giới thiệu vào năm 1763. Tuy nhiên, vào thời điểm đó nhà toán học đã không chọn bất kỳ ký hiệu cụ thể nào cho nó. Trong một ấn phẩm năm 1784, Euler đã nghiên cứu hàm này chi tiết hơn và chọn chữ cái Hy Lạp π để đại diện cho nó. James Sylvester đã đặt ra thuật ngữ "tổng số" cho tính năng này. Do đó, nó còn được gọi là tổng số của Euler. Tổng φ (n) của một số nguyên dương n lớn hơn 1 là số các số nguyên dương nhỏ hơn n tương đối nguyên tố đến n.φ (1) được định nghĩa là 1. Hàm Euler hay hàm phi (φ) là một định lý số rất quan trọng, một hàm liên quan sâu sắc đến các số nguyên tố và cái gọi là thứ tự của các số nguyên.
