Khối đa diện không chỉ chiếm vị trí nổi bật trong hình học mà còn xuất hiện trong cuộc sống hàng ngày của mỗi người. Chưa kể đến các đồ gia dụng được tạo ra nhân tạo dưới dạng đa giác khác nhau, bắt đầu bằng bao diêm và kết thúc bằng các yếu tố kiến trúc, tinh thể ở dạng khối lập phương (muối), lăng kính (pha lê), kim tự tháp (scheelite), bát diện (kim cương), vv e.
Khái niệm về khối đa diện, các loại khối đa diện trong hình học
Hình học là một môn khoa học bao gồm một phần của hình học lập thể nghiên cứu các đặc điểm và tính chất của các hình ba chiều. Các vật thể hình học, các mặt của nó trong không gian ba chiều được tạo thành bởi các mặt phẳng giới hạn (các mặt), được gọi là "khối đa diện". Các loại khối đa diện bao gồm hơn một chục đại diện, khác nhau về số lượng và hình dạng của các mặt.
Tuy nhiên, tất cả các khối đa diện đều có các tính chất chung:
- Tất cả đều có 3 thành phần thiết yếu: khuôn mặt(bề mặt của một đa giác), đỉnh (các góc được tạo thành ở giao nhau của các mặt), cạnh (cạnh của một hình hoặc một đoạn được tạo thành ở giao nhau của hai mặt).
- Mỗi cạnh đa giác nối hai và chỉ hai mặt tiếp giáp với nhau.
- Lồi có nghĩa là cơ thể chỉ nằm hoàn toàn về một phía của mặt phẳng mà một trong các mặt nằm trên đó. Quy tắc áp dụng cho tất cả các mặt của hình đa diện. Các hình hình học như vậy trong phép lập thể được gọi là khối đa diện lồi. Ngoại lệ là khối đa diện hình sao, là các dẫn xuất của chất rắn hình học đa diện đều.
Khối đa diện có thể được chia theo điều kiện thành:
- Các loại khối đa diện lồi, bao gồm các lớp sau: thông thường hoặc cổ điển (lăng trụ, hình chóp, hình bình hành), thường (còn gọi là chất rắn Platon), bán đều (tên thứ hai - chất rắn Archimedean).
- Khối đa diện không lồi (hình ngôi sao).
Lăng kính và các thuộc tính của nó
Hình học lập thể là một nhánh của hình học nghiên cứu các tính chất của các hình ba chiều, các loại khối đa diện (lăng trụ là một trong số đó). Hình lăng trụ là một vật thể hình học nhất thiết phải có hai mặt hoàn toàn giống nhau (chúng còn được gọi là mặt đáy) nằm trong hai mặt phẳng song song và số mặt bên thứ n ở dạng hình bình hành. Đổi lại, lăng trụ cũng có một số loại, bao gồm các loại khối đa diện như:
- Hình bình hành - được tạo thành nếu đáy là hình bình hành -đa giác có 2 cặp góc đối bằng nhau và 2 cặp cạnh đối đồng dạng.
- Một hình lăng trụ thẳng có các cạnh vuông góc với mặt đáy.
- Lăng kính nghiêng được đặc trưng bởi sự hiện diện của các góc không vuông (khác 90) giữa các mặt và mặt đáy.
- Hình lăng trụ đều có các đáy là một đa giác đều với các mặt bên bằng nhau.
Tính chất cơ bản của lăng kính:
- Căn cứ hợp lý.
- Tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng nhau và song song với nhau.
- Tất cả các mặt bên đều là hình bình hành.
Kim tự tháp
Kim tự tháp là một khối hình học, bao gồm một đáy và số mặt tam giác thứ n, được nối tại một điểm - đỉnh. Cần lưu ý rằng nếu các mặt bên của kim tự tháp nhất thiết phải được biểu diễn bằng hình tam giác, thì đáy có thể là một đa giác tam giác, một tứ giác hoặc một ngũ giác, v.v. ad infinitum. Trong trường hợp này, tên của kim tự tháp sẽ tương ứng với đa giác ở đáy. Ví dụ: nếu một tam giác nằm ở đáy của một hình chóp, nó là một hình chóp tam giác, một tứ giác là một tứ giác, v.v.
Hình chóp là các khối đa diện đều có dạng hình nón. Các loại khối đa diện của nhóm này, ngoài những loại được liệt kê ở trên, còn bao gồm các đại diện sau:
- Một hình chóp đều có đáy là một đa giác đều và chiều cao của nó là tâmmột đường tròn nội tiếp trong đáy hoặc các đường tròn nội tiếp xung quanh nó.
- Hình chóp hình chữ nhật được tạo thành khi một trong các cạnh bên cắt với đáy một góc vuông. Trong trường hợp này, cũng công bằng khi gọi cạnh này là chiều cao của kim tự tháp.
Thuộc tính kim tự tháp:
- Nếu tất cả các cạnh bên của hình chóp đều đồng dư (có cùng chiều cao) thì chúng đều cắt với mặt đáy một góc như nhau và xung quanh mặt đáy bạn có thể vẽ một đường tròn có tâm trùng với hình chiếu của đỉnh của kim tự tháp.
- Nếu đáy của hình chóp là một đa giác đều thì tất cả các cạnh bên đều đồng dư và các mặt là tam giác cân.
Khối đa diện đều: các loại và tính chất của khối đa diện
Trong hình học lập thể, một vị trí đặc biệt được chiếm bởi các thể hình học có các mặt hoàn toàn bằng nhau, tại các đỉnh có cùng số cạnh được nối với nhau. Những chất rắn này được gọi là chất rắn Platonic, hay khối đa diện đều. Các loại khối đa diện có các đặc tính như vậy chỉ có năm hình dạng:
- Tứ diện.
- Lục diện.
- Bát diện.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Các khối đa diện đều mang tên nhà triết học Hy Lạp cổ đại Plato, người đã mô tả các khối hình học này trong các tác phẩm của mình và kết nối chúng với các yếu tố tự nhiên: đất, nước, lửa, không khí. Hình thứ năm được trao giải có sự tương đồng với cấu trúc của vũ trụ. Theo ý kiến của ông, các nguyên tử của các nguyên tố tự nhiên có hình dạng giống với các loại khối đa diện đều. Do đặc tính thú vị nhất của nó -đối xứng, các khối hình học này không chỉ được các nhà toán học và triết học cổ đại quan tâm, mà còn cả các kiến trúc sư, nghệ sĩ và nhà điêu khắc của mọi thời đại. Sự hiện diện của chỉ 5 loại khối đa diện có tính đối xứng tuyệt đối được coi là một khám phá cơ bản, chúng thậm chí còn được trao cho mối liên hệ với nguyên lý thần thánh.
Lục diện và các thuộc tính của nó
Ở dạng một hình lục giác, những người kế tục Plato đã giả định một sự tương đồng với cấu trúc của các nguyên tử trên trái đất. Tất nhiên, hiện tại, giả thuyết này đã bị bác bỏ hoàn toàn, tuy nhiên, điều này không ngăn cản được các nhân vật thu hút tâm trí của các nhân vật nổi tiếng với óc thẩm mỹ của họ trong thời hiện đại.
Trong hình học, một khối lục diện, còn được gọi là một khối lập phương, được coi là một trường hợp đặc biệt của một hình bình hành, đến lượt nó, là một loại lăng trụ. Theo đó, các tính chất của hình lập phương có liên quan đến tính chất của hình lăng trụ, với điểm khác biệt duy nhất là tất cả các mặt và các góc của hình lập phương đều bằng nhau. Các thuộc tính sau đây theo sau:
- Tất cả các cạnh của hình lập phương đều đồng dư và nằm trong các mặt phẳng song song với nhau.
- Tất cả các mặt đều là hình vuông đồng dư (có tổng cộng 6 mặt trong một hình lập phương), bất kỳ mặt nào trong số đó đều có thể được lấy làm cơ sở.
- Tất cả các góc giao diện đều là 90.
- Số cạnh bằng nhau sinh ra từ mỗi đỉnh, cụ thể là 3.
- Hình lập phương có 9 trục đối xứng, tất cả các trục này cắt nhau tại giao điểm của các đường chéo của hình lục giác, được gọi là tâm đối xứng.
Tứ diện
Tứ diện là tứ diện có các mặt bằng nhau ở dạng tam giác, mỗi đỉnh cólà điểm giao nhau của ba mặt.
Tính chất của tứ diện đều:
- Tất cả các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, có nghĩa là tất cả các mặt của tứ diện đều đồng dạng.
- Vì mặt đáy được biểu diễn bằng một hình học thông thường, tức là nó có các cạnh bằng nhau, các mặt của tứ diện đồng quy ở một góc bằng nhau, tức là tất cả các góc đều bằng nhau.
- Tổng các góc phẳng tại mỗi đỉnh là 180, vì tất cả các góc đều bằng nhau nên mọi góc của tứ diện đều bằng 60.
- Mỗi đỉnh được chiếu lên giao điểm của các chiều cao của mặt đối diện (trực tâm).
Khối bát diện và các tính chất của nó
Mô tả các loại hình đa diện đều, không thể không lưu ý một vật thể như hình bát diện, có thể được biểu diễn trực quan dưới dạng hai hình chóp tứ giác đều được dán với nhau bằng các đáy.
Tính chất của khối bát diện:
- Chính cái tên của một khối hình học gợi ý số lượng các khuôn mặt của nó. Hình bát diện bao gồm 8 tam giác đều đồng dạng, ở mỗi đỉnh có một số mặt bằng nhau hội tụ, cụ thể là 4.
- Vì tất cả các mặt của một khối bát diện đều bằng nhau nên các góc thiết diện của nó cũng bằng nhau, mỗi góc trong số đó bằng 60 và tổng các góc mặt phẳng của bất kỳ đỉnh nào trong số các đỉnh là 240.
Dodecahedron
Nếu chúng ta tưởng tượng rằng tất cả các mặt của một khối hình học đều là một ngũ giác đều, thì chúng ta sẽ có một khối mười hai mặt -một hình gồm 12 đa giác.
Thuộc tính của khối tứ diện:
- Ba mặt cắt nhau tại mỗi đỉnh.
- Tất cả các mặt đều bằng nhau và có cùng độ dài cạnh và diện tích bằng nhau.
- Hình khối đa diện có 15 trục và mặt phẳng đối xứng, và bất kỳ mặt nào trong số chúng đều đi qua đỉnh của mặt và giữa của cạnh đối diện.
Icosahedron
Không kém phần thú vị so với khối mười hai mặt, hình của khối icosahed là một khối hình học ba chiều với 20 mặt bằng nhau. Trong số các thuộc tính của một hai mươi hedron thông thường, có thể lưu ý điều sau:
- Tất cả các mặt của khối lập phương đều là tam giác cân.
- Năm mặt hội tụ tại mỗi đỉnh của hình đa diện và tổng các góc kề của đỉnh là 300.
- Khối icosahedron, giống như khối mười hai mặt, có 15 trục và mặt phẳng đối xứng đi qua trung điểm của các mặt đối diện.
Đa giác nửa đều
Bên cạnh chất rắn Platon, nhóm khối đa diện lồi còn bao gồm chất rắn Archimede, là những khối đa diện đều bị cắt ngắn. Các loại khối đa diện của nhóm này có các tính chất sau:
- Các vật thể hình học có các mặt bằng nhau theo từng cặp thuộc một số loại, ví dụ, một hình tứ diện cắt ngắn có 8 mặt, giống như một hình tứ diện đều, nhưng trong trường hợp của một vật rắn Archimede, 4 mặt sẽ là hình tam giác và 4 mặt sẽ là hình lục giác.
- Tất cả các góc của một đỉnh đều đồng dư.
Hình đa diện sao
Đại diện của các dạng hình học không thể tích là các khối đa diện đều có các mặt cắt nhau. Chúng có thể được hình thành bằng cách hợp nhất hai chất rắn 3D thông thường hoặc bằng cách kéo dài khuôn mặt của chúng.
Do đó, các khối đa diện được đánh dấu như vậy được gọi là: các dạng sao của khối bát diện, khối dodecahedron, khối icosahedron, khối lập phương, khối icosododecahedron.
