Trong bài báo mà bạn chú ý, chúng tôi đưa ra các ví dụ về các mô hình toán học. Ngoài ra, chúng tôi sẽ chú ý đến các giai đoạn tạo mô hình và phân tích một số nhiệm vụ liên quan đến mô hình toán học.
Một câu hỏi nữa của chúng tôi là về các mô hình toán học trong nền kinh tế, các ví dụ, định nghĩa mà chúng tôi sẽ xem xét sau này. Chúng tôi đề xuất bắt đầu cuộc trò chuyện của mình với khái niệm “mô hình”, xem xét ngắn gọn phân loại của chúng và chuyển sang các câu hỏi chính của chúng tôi.
Khái niệm "mô hình"
Chúng ta thường nghe từ "mô hình". Nó là gì? Thuật ngữ này có nhiều định nghĩa, đây chỉ là ba trong số chúng:
- một đối tượng cụ thể được tạo ra để nhận và lưu trữ thông tin, phản ánh một số thuộc tính hoặc đặc điểm, v.v. về bản gốc của đối tượng này (đối tượng cụ thể này có thể được thể hiện dưới các hình thức khác nhau: tinh thần, mô tả bằng cách sử dụng các dấu hiệu, vân vân);
- mô hình cũng có nghĩa là hiển thị bất kỳ tình huống cụ thể, cuộc sống hoặcquản lý;
- mô hình có thể đóng vai trò như một bản sao thu gọn của bất kỳ đối tượng nào (chúng được tạo ra để nghiên cứu và phân tích chi tiết hơn, vì mô hình phản ánh cấu trúc và các mối quan hệ).
Dựa trên tất cả những gì đã nói trước đó, chúng ta có thể rút ra một kết luận nhỏ: mô hình cho phép bạn nghiên cứu chi tiết một hệ thống hoặc đối tượng phức tạp.
Tất cả các mẫu có thể được phân loại theo một số tiêu chí:
- theo lĩnh vực sử dụng (giáo dục, thử nghiệm, khoa học và kỹ thuật, chơi game, mô phỏng);
- theo động (tĩnh và động);
- theo nhánh kiến thức (vật lý, hóa học, địa lý, lịch sử, xã hội học, kinh tế, toán học);
- theo cách trình bày (tư liệu và thông tin).
Mô hình thông tin lần lượt được chia thành dấu hiệu và lời nói. Và mang tính biểu tượng - trên máy tính và không máy tính. Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang xem xét chi tiết các ví dụ về mô hình toán học.
Mô hình toán học
Như bạn có thể đoán, một mô hình toán học phản ánh một số đặc điểm của một đối tượng hoặc hiện tượng bằng cách sử dụng các ký hiệu toán học đặc biệt. Toán học là cần thiết để mô hình hóa các mô hình của thế giới xung quanh bằng ngôn ngữ cụ thể của riêng nó.
Phương pháp mô hình toán học bắt nguồn từ cách đây khá lâu, hàng nghìn năm trước, cùng với sự ra đời của ngành khoa học này. Tuy nhiên, động lực cho sự phát triển của phương pháp mô hình hóa này là do sự xuất hiện của máy tính (máy tính điện tử).
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phân loại. Nó cũng có thể được thực hiện theo một số dấu hiệu. họ đangđược trình bày trong bảng dưới đây.
| Phân loại theo ngành khoa học | Ứng dụng của các mô hình toán học trong vật lý, xã hội học, hóa học, v.v. |
| Theo bộ máy toán học được sử dụng trong quá trình mô hình hóa | Các mô hình dựa trên phương trình vi phân, các phép biến đổi đại số rời rạc và các mô hình tương tự |
| Bằng các mục tiêu lập mô hình | Theo nguyên tắc này, có các mô hình mô tả, tối ưu hóa, đa tiêu chí, trò chơi và mô phỏng |
Chúng tôi đề xuất dừng lại và xem xét kỹ hơn phân loại cuối cùng, vì nó phản ánh các mô hình chung của mô hình và mục tiêu của các mô hình đang được tạo ra.
Mô tả
Trong chương này, chúng tôi đề xuất trình bày chi tiết hơn về các mô hình toán học mô tả. Để làm cho mọi thứ thật rõ ràng, một ví dụ sẽ được đưa ra.
Để bắt đầu, chế độ xem này có thể được gọi là mô tả. Điều này là do chúng tôi chỉ thực hiện các tính toán và dự báo, nhưng chúng tôi không thể ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện theo bất kỳ cách nào.
Một ví dụ nổi bật của mô hình toán học mô tả là tính toán đường bay, tốc độ, khoảng cách từ Trái đất của một sao chổi xâm chiếm phạm vi rộng lớn của hệ mặt trời của chúng ta. Mô hình này là mô tả, vì tất cả các kết quả thu được chỉ có thể cảnh báo chúng ta về một số loại nguy hiểm. Ảnh hưởng đến kết quả của sự kiện, than ôi, chúng tôi khôngCó thể. Tuy nhiên, dựa trên các tính toán thu được, có thể thực hiện bất kỳ biện pháp nào để cứu sự sống trên Trái đất.
Mô hình tối ưu hóa
Bây giờ chúng ta sẽ nói một chút về các mô hình kinh tế và toán học, các ví dụ có thể là các tình huống khác nhau. Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình giúp tìm ra câu trả lời đúng trong những điều kiện nhất định. Chúng phải có một số tham số. Để làm cho nó rõ ràng hơn, hãy xem xét một ví dụ từ phần nông nghiệp.
Chúng tôi có một vựa lúa, nhưng ngũ cốc hư hỏng rất nhanh. Trong trường hợp này, chúng ta cần chọn chế độ nhiệt độ phù hợp và tối ưu hóa quá trình bảo quản.
Như vậy, chúng ta có thể định nghĩa khái niệm "mô hình tối ưu hóa". Theo nghĩa toán học, đây là một hệ phương trình (cả tuyến tính và không tuyến tính), nghiệm của nó giúp tìm ra giải pháp tối ưu trong một tình huống kinh tế cụ thể. Chúng tôi đã xem xét một ví dụ về mô hình toán học (tối ưu hóa), nhưng tôi muốn nói thêm: loại này thuộc loại các bài toán cực trị, chúng giúp mô tả hoạt động của hệ thống kinh tế.
Lưu ý thêm một sắc thái: các mô hình có thể có tính chất khác nhau (xem bảng bên dưới).
| xác định | Trong trường hợp này, kết quả phụ thuộc vào dữ liệu đầu vào |
| ngẫu nhiên | Mô tả các quy trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này, kết quả vẫn là không xác định |
Mẫu mã đa dạng
Bây giờ chúng tôi mời bạn nói một chút vềmô hình toán học của tối ưu hóa đa mục tiêu. Trước đó, chúng tôi đã đưa ra một ví dụ về mô hình toán học để tối ưu hóa quy trình theo một tiêu chí bất kỳ, nhưng nếu có nhiều tiêu chí thì sao?
Một ví dụ nổi bật về nhiệm vụ đa tiêu chí là tổ chức dinh dưỡng hợp lý, lành mạnh và đồng thời tiết kiệm cho các nhóm lớn người. Những nhiệm vụ như vậy thường được tìm thấy trong quân đội, căng tin trường học, trại hè, bệnh viện, v.v.
Chúng tôi đưa ra tiêu chí nào trong bài toán này?
- Thực phẩm phải tốt cho sức khỏe.
- Chi tiêu cho thực phẩm nên được giữ ở mức tối thiểu.
Như bạn thấy, những mục tiêu này hoàn toàn không trùng khớp. Điều này có nghĩa là khi giải một bài toán, cần phải tìm giải pháp tối ưu, cân bằng giữa hai tiêu chí.
Mô hình trò chơi
Nói đến mô hình trò chơi, cần phải hiểu khái niệm "lý thuyết trò chơi". Nói một cách đơn giản, các mô hình này phản ánh các mô hình toán học về các xung đột thực tế. Chỉ cần lưu ý rằng, không giống như một cuộc xung đột thực sự, mô hình toán học trò chơi có các quy tắc cụ thể của riêng nó.
Bây giờ sẽ có một số thông tin tối thiểu từ lý thuyết trò chơi sẽ giúp bạn hiểu mô hình trò chơi là gì. Và do đó, trong mô hình nhất thiết phải có các bên (hai hoặc nhiều hơn), thường được gọi là người chơi.
Tất cả các mẫu đều có một số đặc điểm.
| Đối tượng | Số lượng người chơi |
| Chiến lược | Tùy chọn cho các hành động có thể thực hiện |
| Thanh toán | Kết quả của cuộc xung đột (thắng hoặc thua). |
Mô hình trò chơi có thể được ghép nối hoặc nhiều mô hình. Nếu chúng ta có hai chủ thể, thì xung đột được ghép nối, nếu nhiều hơn - nhiều hơn. Trò chơi đối kháng cũng có thể phân biệt, nó còn được gọi là trò chơi có tổng bằng không. Đây là một mô hình trong đó lợi ích của một trong những người tham gia bằng với mất mát của người kia.
Mô phỏng
Trong phần này, chúng ta sẽ chú ý đến các mô hình toán học mô phỏng. Ví dụ về các nhiệm vụ là:
- mô hình về động lực học của số lượng vi sinh vật;
- mô hình chuyển động của các phân tử, v.v.
Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về các mô hình càng gần với quy trình thực càng tốt. Nhìn chung, chúng bắt chước bất kỳ biểu hiện nào trong tự nhiên. Ví dụ, trong trường hợp đầu tiên, chúng ta có thể lập mô hình động lực học của số lượng kiến trong một đàn. Trong trường hợp này, bạn có thể quan sát số phận của từng cá nhân. Trong trường hợp này, mô tả toán học hiếm khi được sử dụng, thường có các điều kiện viết:
- sau năm ngày con cái đẻ trứng;
- 20 ngày sau, kiến chết, v.v.
Vì vậy, các mô hình mô phỏng được sử dụng để mô tả một hệ thống lớn. Kết luận toán học là quá trình xử lý dữ liệu thống kê nhận được.
Yêu cầu
Rất quan trọnglưu ý rằng có một số yêu cầu đối với loại mô hình này, trong số đó là những yêu cầu được đưa ra trong bảng bên dưới.
| Đa năng | Thuộc tính này cho phép bạn sử dụng cùng một mô hình khi mô tả các nhóm đối tượng cùng loại. Điều quan trọng cần lưu ý là các mô hình toán học phổ quát hoàn toàn độc lập với bản chất vật lý của đối tượng được nghiên cứu |
| Đủ | Điều quan trọng cần hiểu ở đây là thuộc tính này cho phép bạn tái tạo các quy trình thực một cách chính xác nhất có thể. Trong các bài toán hoạt động, tính chất này của mô hình toán học là rất quan trọng. Một ví dụ về mô hình là quá trình tối ưu hóa việc sử dụng hệ thống khí đốt. Trong trường hợp này, các chỉ số được tính toán và thực tế được so sánh, do đó, tính đúng đắn của mô hình đã biên dịch được kiểm tra |
| Chính xác | Yêu cầu này ngụ ý sự trùng hợp giữa các giá trị mà chúng ta nhận được khi tính toán mô hình toán học và các tham số đầu vào của đối tượng thực của chúng ta |
| Kinh tế | Yêu cầu về hiệu quả chi phí đối với bất kỳ mô hình toán học nào được đặc trưng bởi chi phí thực hiện. Nếu công việc với mô hình được thực hiện theo cách thủ công, thì cần phải tính xem cần bao nhiêu thời gian để giải một bài toán bằng cách sử dụng mô hình toán học này. Nếu chúng ta đang nói về thiết kế có sự hỗ trợ của máy tính, thì các chỉ số về chi phí thời gian và bộ nhớ máy tính được tính |
Giai đoạnmô hình hóa
Tổng cộng, theo thói quen, người ta thường phân biệt bốn giai đoạn trong mô hình toán học.
- Xây dựng luật liên kết các bộ phận của mô hình.
- Nghiên cứu các vấn đề toán học.
- Làm rõ sự trùng hợp giữa kết quả thực tế và lý thuyết.
- Phân tích và hiện đại hóa mô hình.
Mô hình kinh tế và toán học
Trong phần này, chúng tôi sẽ nêu ngắn gọn vấn đề của các mô hình kinh tế và toán học. Ví dụ về các nhiệm vụ là:
- hình thành chương trình sản xuất sản xuất các sản phẩm từ thịt, đảm bảo lợi nhuận sản xuất tối đa;
- tối đa hóa lợi nhuận của tổ chức bằng cách tính toán số lượng bàn ghế tối ưu được sản xuất trong một nhà máy sản xuất đồ nội thất, v.v.
Mô hình toán học-kinh tế hiển thị một sự trừu tượng hóa kinh tế, được thể hiện bằng các thuật ngữ và dấu hiệu toán học.
Mô hình toán học máy tính
Các ví dụ về mô hình toán học máy tính là:
- vấn đề về thủy lực sử dụng lưu đồ, sơ đồ, bảng, v.v.;
- vấn đề về cơ học rắn, v.v.
Mô hình máy tính là hình ảnh của một đối tượng hoặc hệ thống được trình bày dưới dạng:
- bảng;
- sơ đồ;
- sơ đồ;
- đồ họa, v.v.
Đồng thời, mô hình này phản ánh cấu trúc và các mối liên kết của hệ thống.
Xây dựng mô hình kinh tế-toán học
Chúng ta đã nói về vấn đề kinh tếmô hình toán học. Một ví dụ về việc giải quyết vấn đề sẽ được xem xét ngay bây giờ. Chúng tôi cần phân tích chương trình sản xuất để xác định mức dự trữ nhằm tăng lợi nhuận khi có sự thay đổi trong phân loại.
Chúng ta sẽ không xem xét đầy đủ vấn đề mà chỉ xây dựng một mô hình kinh tế và toán học. Tiêu chí của nhiệm vụ của chúng tôi là tối đa hóa lợi nhuận. Khi đó hàm có dạng: Л=р1х1 + р2х2… có xu hướng đạt cực đại. Trong mô hình này, p là lợi nhuận trên một đơn vị, x là số lượng đơn vị được sản xuất. Hơn nữa, dựa trên mô hình đã xây dựng, cần phải tính toán và tóm tắt.
Ví dụ về việc xây dựng một mô hình toán học đơn giản
Nhiệm vụ. Người đánh cá trở về với sản phẩm sau:
- 8 cá - cư dân của vùng biển phía bắc;
- 20% sản lượng đánh bắt - cư dân của các vùng biển phía nam;
- không một con cá nào được tìm thấy từ sông địa phương.
Anh ấy đã mua bao nhiêu con cá ở cửa hàng?
Vì vậy, một ví dụ về xây dựng một mô hình toán học của bài toán này như sau. Chúng tôi ký hiệu tổng số cá là x. Theo điều kiện, 0,2x là số lượng cá sống ở vĩ độ nam. Bây giờ chúng ta kết hợp tất cả các thông tin có sẵn và nhận được mô hình toán học của bài toán: x=0, 2x + 8. Chúng tôi giải phương trình và nhận được câu trả lời cho câu hỏi chính: anh ấy đã mua 10 con cá trong cửa hàng.
