Mặt phẳng là một đối tượng hình học có các tính chất được sử dụng khi xây dựng các hình chiếu của điểm và đường, cũng như khi tính khoảng cách và góc nhị diện giữa các phần tử của hình ba chiều. Trong bài viết này, hãy xem xét những phương trình nào có thể được sử dụng để nghiên cứu vị trí của các mặt phẳng trong không gian.
Định nghĩa mặt phẳng
Mọi người đều hình dung bằng trực giác đối tượng sẽ được thảo luận. Theo quan điểm hình học, mặt phẳng là tập hợp các điểm, bất kỳ vectơ nào giữa chúng phải vuông góc với một vectơ nào đó. Ví dụ, nếu có m điểm khác nhau trong không gian, thì m(m-1) / 2 vectơ khác nhau có thể được tạo ra từ chúng, nối các điểm thành từng cặp. Nếu tất cả các vectơ đều vuông góc với một phương nào đó thì đây là điều kiện đủ để tất cả các điểm m thuộc cùng một mặt phẳng.
Phương trình tổng quát
Trong hình học không gian, một mặt phẳng được mô tả bằng cách sử dụng các phương trình thường chứa ba tọa độ chưa biết tương ứng với các trục x, y và z. Đếnnhận được phương trình tổng quát trong hệ tọa độ phẳng trong không gian, giả sử rằng có một vectơ n¯ (A; B; C) và một điểm M (x0; y0; z0). Sử dụng hai đối tượng này, mặt phẳng có thể được xác định duy nhất.
Thật vậy, giả sử có một điểm thứ hai P (x; y; z) có tọa độ chưa biết. Theo định nghĩa đã cho ở trên, vectơ MP¯ phải vuông góc với n¯, tức là, tích vô hướng của chúng bằng không. Sau đó, chúng ta có thể viết biểu thức sau:
(n¯MP¯)=0 hoặc
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0)=0
Mở ngoặc và đưa vào hệ số D mới, chúng ta nhận được biểu thức:
Ax + By + Cz + D=0 trong đó D=-1(Ax0+ By0+ Cz0)
Biểu thức này được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Điều quan trọng cần nhớ là các hệ số đứng trước x, y và z tạo thành tọa độ của vectơ n¯ (A; B; C) vuông góc với mặt phẳng. Nó trùng với bình thường và là hướng dẫn cho máy bay. Để xác định phương trình tổng quát, không quan trọng vectơ này hướng đến đâu. Nghĩa là, các mặt phẳng được xây dựng trên các vectơ n¯ và -n¯ sẽ giống nhau.
Hình trên cho thấy một mặt phẳng, một vectơ pháp tuyến đối với nó và một đường vuông góc với mặt phẳng.
Các đoạn bị cắt bởi mặt phẳng trên các trục và phương trình tương ứng
Phương trình tổng quát cho phép sử dụng các phép toán đơn giản để xác định, trongtại những điểm nào thì mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ. Điều quan trọng là phải biết thông tin này để có ý tưởng về vị trí trong không gian của máy bay, cũng như khi mô tả nó trong bản vẽ.
Để xác định các giao điểm được đặt tên, một phương trình trong các đoạn được sử dụng. Nó được gọi như vậy vì nó chứa rõ ràng các giá trị độ dài của các đoạn bị cắt bởi mặt phẳng trên các trục tọa độ, khi đếm từ điểm (0; 0; 0). Hãy lấy phương trình này.
Viết biểu thức tổng quát cho mặt phẳng như sau:
Ax + By + Cz=-D
Phần bên trái và bên phải có thể được chia cho -D mà không vi phạm sự bình đẳng. Chúng tôi có:
A / (- D)x + B / (- D)y + C / (- D)z=1 hoặc
x / (- D / A) + y / (- D / B) + z / (- D / C)=1
Thiết kế mẫu số của mỗi số hạng bằng một ký hiệu mới, chúng ta nhận được:
p=-D / A; q=-D / B; r=-D / C rồi đến
x / p + y / q + z / r=1
Đây là phương trình được đề cập ở trên trong các phân đoạn. Từ đó giá trị của mẫu số của mỗi số hạng cho biết tọa độ của giao điểm với trục tương ứng của mặt phẳng. Ví dụ, nó cắt trục y tại điểm (0; q; 0). Điều này rất dễ hiểu nếu bạn thay các tọa độ x và z bằng 0 vào phương trình.
Lưu ý rằng nếu không có biến trong phương trình trong các đoạn, điều này có nghĩa là mặt phẳng không cắt trục tương ứng. Ví dụ, cho biểu thức:
x / p + y / q=1
Điều này có nghĩa là mặt phẳng sẽ cắt các đoạn p và q tương ứng trên các trục x và y, nhưng nó sẽ song song với trục z.
Kết luận về ứng xử của máy bay khisự vắng mặt của một số biến trong phương trình của cô ấy cũng đúng với một biểu thức kiểu tổng quát, như thể hiện trong hình bên dưới.
Phương trình tham số véc tơ
Có một loại phương trình thứ ba cho phép mô tả một mặt phẳng trong không gian. Nó được gọi là vectơ tham số vì nó được cho bởi hai vectơ nằm trong mặt phẳng và hai tham số có thể nhận các giá trị độc lập tùy ý. Hãy chỉ ra cách có thể thu được phương trình này.
Giả sử có một vài vectơ u ¯ đã biết (a1; b1; c1) và v¯ (a2; b2; c2). Nếu chúng không song song thì chúng có thể được sử dụng để thiết lập một mặt phẳng cụ thể bằng cách cố định điểm đầu của một trong các vectơ này tại một điểm M đã biết (x0; y0; z0). Nếu một vectơ tùy ý MP¯ có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp của vectơ pháp tuyến u¯ và v¯, thì điều này có nghĩa là điểm P (x; y; z) thuộc cùng một mặt phẳng với u¯, v¯. Do đó, chúng ta có thể viết đẳng thức:
MP¯=αu¯ + βv¯
Hoặc viết đẳng thức này dưới dạng tọa độ, chúng ta nhận được:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a1; b1; c1) + β(a2; b2; c2)
Đẳng thức đã trình bày là một phương trình véc tơ tham số cho mặt phẳng. TẠIkhông gian vectơ trên mặt phẳng u¯ và v¯ được gọi là bộ tạo.
Tiếp theo, khi giải quyết vấn đề, nó sẽ được chỉ ra làm thế nào để phương trình này có thể được rút gọn về dạng tổng quát cho một mặt phẳng.
Góc giữa các mặt phẳng trong không gian
Theo trực giác, các mặt phẳng trong không gian 3D có thể giao nhau hoặc không. Trong trường hợp đầu tiên, điều quan tâm là tìm góc giữa chúng. Việc tính toán góc này khó hơn so với góc giữa các đường, vì chúng ta đang nói về một vật thể hình học hai mặt. Tuy nhiên, vectơ hướng dẫn đã được đề cập cho máy bay đến giải cứu.
Về mặt hình học, góc nhị diện giữa hai mặt phẳng cắt nhau chính xác bằng góc giữa các vectơ hướng của chúng. Hãy ký hiệu các vectơ này là n1¯ (a1; b1; c1) và n2¯ (a2; b2; c2 ). Côsin của góc giữa chúng được xác định từ tích vô hướng. Tức là, bản thân góc trong không gian giữa các mặt phẳng có thể được tính theo công thức:
φ=arccos (| (n1¯n2¯) | / (| n1¯ || n2¯ |))
Ở đây môđun ở mẫu số được dùng để loại bỏ giá trị của góc tù (giữa các mặt phẳng cắt nhau, nó luôn nhỏ hơn hoặc bằng 90o).
Ở dạng tọa độ, biểu thức này có thể được viết lại như sau:
φ=arccos (| a1 a2+ b1 b2+c1 c2| / (√ (a12+ b12+ c12)√ (a22+ b22+ c22)))
Máy bay vuông góc và song song
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và góc nhị diện do chúng tạo thành là 90othì chúng sẽ vuông góc với nhau. Một ví dụ về các mặt phẳng như vậy là hình lăng trụ chữ nhật hoặc hình lập phương. Những hình này được tạo thành bởi sáu mặt phẳng. Tại mỗi đỉnh của các hình được đặt tên, có ba mặt phẳng vuông góc với nhau.
Để tìm xem các mặt phẳng đã xét có vuông góc hay không, chỉ cần tính tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng là đủ. Điều kiện đủ để tính vuông góc trong không gian của mặt phẳng là giá trị bằng không của tích này.
Song song được gọi là hai mặt phẳng không cắt nhau. Đôi khi người ta cũng nói rằng các mặt phẳng song song cắt nhau ở vô cùng. Điều kiện của sự song song trong không gian của các mặt phẳng trùng với điều kiện đó đối với các vectơ chỉ phương là n1¯ và n2¯. Bạn có thể kiểm tra bằng hai cách:
- Tính cosin của góc nhị diện (cos (φ)) bằng tích vô hướng. Nếu hai mặt phẳng song song thì giá trị sẽ là 1.
- Cố gắng biểu diễn một vectơ này qua một vectơ khác bằng cách nhân với một số nào đó, tức là n1¯=kn2¯. Nếu điều này có thể được thực hiện, thì các mặt phẳng tương ứng làsong song.
Hình bên cho thấy hai mặt phẳng song song.
Bây giờ chúng ta hãy đưa ra các ví dụ về việc giải hai bài toán thú vị bằng cách sử dụng kiến thức toán học thu được.
Làm thế nào để nhận dạng tổng quát từ phương trình vectơ?
Đây là một biểu thức vectơ tham số cho một mặt phẳng. Để dễ hiểu hơn về quy trình hoạt động và các thủ thuật toán học được sử dụng, hãy xem xét một ví dụ cụ thể:
(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)
Mở rộng biểu thức này và biểu thị các tham số chưa biết:
x=1 + 2α;
y=2 - α + β;
z=α + 3β
Sau đó:
α=(x - 1) / 2;
β=y - 2 + (x - 1) / 2;
z=(x - 1) / 2 + 3(y - 2 + (x - 1) / 2)
Mở ngoặc trong biểu thức cuối cùng, chúng ta nhận được:
z=2x-2 + 3y - 6 hoặc
2x + 3y - z - 8=0
Chúng ta đã thu được dạng tổng quát của phương trình đối với mặt phẳng xác định trong câu lệnh bài toán ở dạng vectơ
Làm thế nào để dựng một mặt phẳng qua ba điểm?
Có thể vẽ một mặt phẳng đi qua ba điểm nếu các điểm này không thuộc một đường thẳng duy nhất nào đó. Thuật toán để giải quyết vấn đề này bao gồm chuỗi hành động sau:
- tìm tọa độ của hai vectơ bằng cách nối các điểm đã biết theo từng cặp;
- tính tích chéo của chúng và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng;
- viết phương trình tổng quát bằng cách sử dụng vectơ tìm được vàbất kỳ trong ba điểm.
Hãy lấy một ví dụ cụ thể. Số điểm đã cho:
R (1; 2; 0), P (0; -3; 4), Q (1; -2; 2)
Tọa độ của hai vectơ là:
RP¯ (-1; -5; 4), PQ¯ (1; 1; -2)
Sản phẩm chéo của họ sẽ là:
n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)
Lấy tọa độ của điểm R, chúng ta nhận được phương trình cần thiết:
6x + 2y + 4z -10=0 hoặc
3x + y + 2z -5=0
Nên kiểm tra tính đúng đắn của kết quả bằng cách thay tọa độ của hai điểm còn lại vào biểu thức sau:
cho P: 30 + (-3) + 24 -5=0;
cho Q: 31 + (-2) + 22 -5=0
Lưu ý rằng không thể tìm tích véc tơ mà ngay lập tức viết phương trình của mặt phẳng dưới dạng véc tơ tham số.
