Học lý thuyết xác suất bắt đầu bằng việc giải các bài toán cộng và nhân các xác suất. Điều đáng nói ngay là khi nắm vững lĩnh vực kiến thức này, học sinh có thể gặp phải một vấn đề: nếu các quá trình vật lý hoặc hóa học có thể được biểu diễn trực quan và hiểu theo kinh nghiệm thì mức độ trừu tượng của toán học rất cao, và sự hiểu biết ở đây chỉ đến với kinh nghiệm.
Tuy nhiên, trò chơi rất đáng giá, bởi vì các công thức - cả được xem xét trong bài viết này và những công thức phức tạp hơn - được sử dụng ở khắp mọi nơi ngày nay và cũng có thể hữu ích trong công việc.
Xuất xứ
Thật kỳ lạ, động lực cho sự phát triển của phần toán học này là … cờ bạc. Thật vậy, xúc xắc, tung đồng xu, poker, roulette là những ví dụ điển hình sử dụng phép cộng và nhân các xác suất. Trên ví dụ về các nhiệm vụ trong bất kỳ sách giáo khoa nào, có thể thấy rõ điều này. Mọi người quan tâm đến việc học cách tăng cơ hội chiến thắng và tôi phải nói rằng, một số đã thành công trong việc này.
Ví dụ, đã ở thế kỷ 21, một người, tên mà chúng tôi sẽ không tiết lộ,đã sử dụng kiến thức này được tích lũy qua nhiều thế kỷ để “làm sạch” sòng bạc theo đúng nghĩa đen, giành được vài chục triệu đô la tại cò quay.
Tuy nhiên, bất chấp sự quan tâm ngày càng tăng đối với môn học này, phải đến thế kỷ 20, một khung lý thuyết mới được phát triển để biến “chiếc máy chủ” trở thành một thành phần chính thức của toán học. Ngày nay, trong hầu hết mọi ngành khoa học, bạn có thể tìm thấy các phép tính bằng phương pháp xác suất.
Khả năng áp dụng
Một điểm quan trọng khi sử dụng các công thức cộng và nhân xác suất, xác suất có điều kiện là tính thỏa mãn của định lý giới hạn trọng tâm. Nếu không, mặc dù học sinh có thể không nhận ra điều đó, nhưng tất cả các phép tính, bất kể chúng có vẻ hợp lý đến mức nào, đều sẽ không chính xác.
Đúng, người học có động lực cao bị cám dỗ để sử dụng kiến thức mới bất cứ khi nào có cơ hội. Nhưng trong trường hợp này, người ta nên chậm lại một chút và phác thảo rõ ràng phạm vi áp dụng.
Lý thuyết xác suất đề cập đến các sự kiện ngẫu nhiên, theo thực nghiệm là kết quả của các thí nghiệm: chúng ta có thể tung một con xúc xắc sáu mặt, rút một lá bài từ một bộ bài, dự đoán số bộ phận bị lỗi trong một lô. Tuy nhiên, trong một số câu hỏi, không thể sử dụng các công thức từ phần này của toán học. Chúng ta sẽ thảo luận về các tính năng xem xét xác suất của một sự kiện, các định lý của phép cộng và phép nhân các sự kiện ở cuối bài viết, nhưng bây giờ hãy chuyển sang các ví dụ.
Khái niệm cơ bản
Một sự kiện ngẫu nhiên có nghĩa là một số quá trình hoặc kết quả có thể xuất hiện hoặc khônglà kết quả của cuộc thử nghiệm. Ví dụ, chúng ta tung một chiếc bánh mì sandwich - nó có thể rơi bơ lên hoặc bơ rơi xuống. Một trong hai kết quả sẽ là ngẫu nhiên và chúng tôi không biết trước kết quả nào sẽ diễn ra.
Khi nghiên cứu phép cộng và phép nhân các xác suất, chúng ta cần thêm hai khái niệm.
Sự kiện chung là những sự kiện, sự xuất hiện của một trong số đó không loại trừ sự xuất hiện của sự kiện kia. Giả sử hai người bắn vào một mục tiêu cùng một lúc. Nếu một trong hai người bắn thành công, nó sẽ không ảnh hưởng đến khả năng bắn trúng hoặc bắn trượt của người kia.
Không nhất quán sẽ là những sự kiện như vậy, việc xảy ra đồng thời là không thể. Ví dụ: bằng cách chỉ kéo một quả bóng ra khỏi hộp, bạn không thể lấy cả hai màu xanh và đỏ cùng một lúc.
Chỉ định
Khái niệm xác suất được biểu thị bằng chữ cái viết hoa La tinh P. Tiếp theo trong ngoặc là các đối số biểu thị một số sự kiện.
Trong các công thức của định lý cộng, xác suất có điều kiện, định lý nhân, bạn sẽ thấy các biểu thức trong ngoặc, ví dụ: A + B, AB hoặc A | B. Chúng sẽ được tính toán theo nhiều cách khác nhau, bây giờ chúng ta sẽ chuyển sang chúng.
Bổ sung
Hãy xem xét các trường hợp sử dụng công thức cộng và nhân.
Đối với các sự kiện không tương thích, công thức cộng đơn giản nhất có liên quan: xác suất của bất kỳ kết quả ngẫu nhiên nào sẽ bằng tổng xác suất của mỗi kết quả này.
Giả sử có một hộp có 2 quả bóng bay màu xanh, 3 đỏ và 5 vàng. Có tổng cộng 10 mục trong hộp. Phần trăm sự thật của tuyên bố rằng chúng ta sẽ vẽ một quả bóng màu xanh hoặc màu đỏ là bao nhiêu? Nó sẽ bằng 2/10 + 3/10, tức là năm mươi phần trăm.
Trong trường hợp các sự kiện không tương thích, công thức trở nên phức tạp hơn, vì một thuật ngữ bổ sung được thêm vào. Chúng ta sẽ trở lại nó trong một đoạn, sau khi xem xét thêm một công thức nữa.
Nhân
Phép cộng và nhân xác suất của các sự kiện độc lập được sử dụng trong các trường hợp khác nhau. Nếu, theo điều kiện của thử nghiệm, chúng tôi hài lòng với một trong hai kết quả có thể xảy ra, chúng tôi sẽ tính tổng; nếu chúng ta muốn lần lượt nhận được hai kết quả nhất định, chúng ta sẽ sử dụng một công thức khác.
Quay lại ví dụ ở phần trước, chúng ta muốn vẽ quả bóng màu xanh lam trước rồi đến quả bóng màu đỏ. Con số đầu tiên chúng ta biết là 2/10. Chuyện gì xảy ra tiếp theo? Còn lại 9 viên bi, còn lại mấy viên màu đỏ - ba viên. Theo tính toán, bạn nhận được 3/9 hoặc 1/3. Nhưng làm gì với hai con số bây giờ? Câu trả lời đúng là nhân để có 2 / 30.
Sự kiện chung
Bây giờ chúng ta có thể xem lại công thức tính tổng cho các sự kiện chung. Tại sao chúng ta lạc đề khỏi chủ đề? Để tìm hiểu cách nhân lên các xác suất. Giờ đây, kiến thức này sẽ trở nên hữu ích.
Chúng ta đã biết hai số hạng đầu tiên sẽ là gì (giống như trong công thức cộng đã xét trước đó), bây giờ chúng ta cần phải trừtích các xác suất mà chúng ta vừa học để tính. Để rõ ràng, chúng tôi viết công thức: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Hóa ra là cả phép cộng và phép nhân các xác suất đều được sử dụng trong một biểu thức.
Giả sử chúng ta phải giải quyết một trong hai vấn đề để nhận được tín dụng. Chúng ta có thể giải câu đầu tiên với xác suất là 0,3 và giải thứ hai - 0,6. Giải: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Lưu ý rằng chỉ cộng các số ở đây sẽ không đủ.
Xác suất có điều kiện
Cuối cùng, có khái niệm xác suất có điều kiện, các đối số của chúng được chỉ ra trong dấu ngoặc và được phân tách bằng một thanh dọc. Mục nhập P (A | B) đọc như sau: “xác suất của sự kiện A cho trước sự kiện B”.
Hãy xem một ví dụ: một người bạn đưa cho bạn một thiết bị nào đó, hãy coi đó là một chiếc điện thoại. Nó có thể bị hỏng (20%) hoặc tốt (80%). Bạn có thể sửa chữa bất kỳ thiết bị nào rơi vào tay mình với xác suất là 0,4 hoặc bạn không làm được (0,6). Cuối cùng, nếu thiết bị hoạt động tốt, bạn có thể tiếp cận đúng người với xác suất là 0,7.
Thật dễ dàng để thấy xác suất có điều kiện hoạt động như thế nào trong trường hợp này: bạn không thể liên lạc với một người nếu điện thoại bị hỏng, và nếu nó còn tốt, bạn không cần sửa nó. Do đó, để nhận được bất kỳ kết quả nào ở "cấp độ thứ hai", bạn cần biết sự kiện nào đã được thực thi ở cấp độ đầu tiên.
Tính
Hãy xem xét các ví dụ về giải các bài toán về phép cộng và nhân các xác suất, sử dụng dữ liệu từ đoạn trước.
Đầu tiên, hãy tìm xác suất để bạnsửa chữa thiết bị được cung cấp cho bạn. Để làm được điều này, đầu tiên, nó phải bị lỗi, và thứ hai, bạn phải sửa chữa. Đây là một bài toán nhân điển hình: chúng ta nhận được 0,20,4=0,08.
Xác suất bạn sẽ ngay lập tức được gặp đúng người là bao nhiêu? Dễ hơn đơn giản: 0,80,7=0,56. Trong trường hợp này, bạn thấy rằng điện thoại đang hoạt động và thực hiện cuộc gọi thành công.
Cuối cùng, hãy xem xét tình huống này: bạn nhận được một chiếc điện thoại bị hỏng, sửa nó, sau đó bấm số, và người ở đầu dây đối diện trả lời điện thoại. Ở đây, phép nhân ba thành phần đã được yêu cầu: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Và điều gì sẽ xảy ra nếu bạn có hai điện thoại không hoạt động cùng một lúc? Bạn có khả năng sửa được ít nhất một trong số chúng như thế nào? Đây là một bài toán cộng và nhân các xác suất, vì các sự kiện chung được sử dụng. Lời giải: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Sử dụng cẩn thận
Như đã đề cập ở phần đầu của bài viết, việc sử dụng lý thuyết xác suất nên có chủ ý và có ý thức.
Chuỗi thí nghiệm càng lớn thì giá trị dự đoán về mặt lý thuyết càng gần với giá trị thực tế. Ví dụ, chúng ta đang tung một đồng xu. Về mặt lý thuyết, biết về sự tồn tại của các công thức cộng và nhân các xác suất, chúng ta có thể dự đoán số lần đầu và đuôi sẽ rơi ra nếu chúng ta tiến hành thí nghiệm 10 lần. Chúng tôi đã thực hiện một thử nghiệm vàThật trùng hợp, tỷ lệ của các bên bị loại bỏ là 3 đến 7. Nhưng nếu bạn tiến hành một loạt 100, 1000 hoặc nhiều lần thử, thì hóa ra biểu đồ phân phối ngày càng gần với biểu đồ lý thuyết: 44 đến 56, 482 để 518, v.v.
Bây giờ hãy tưởng tượng rằng thí nghiệm này được thực hiện không phải với một đồng xu, mà với việc sản xuất một số chất hóa học mới, xác suất mà chúng ta không biết. Chúng tôi sẽ chạy 10 thí nghiệm và nếu chúng tôi không thu được kết quả thành công, chúng tôi có thể nói chung chung: "không thể thu được chất". Nhưng ai biết được, nếu chúng ta thực hiện nỗ lực thứ mười một, liệu chúng ta có đạt được mục tiêu hay không?
Vì vậy, nếu bạn đang đi vào lĩnh vực chưa được khám phá, chưa được khám phá, lý thuyết xác suất có thể không áp dụng. Mỗi lần thử tiếp theo trong trường hợp này có thể thành công và những nội dung tổng quát như "X không tồn tại" hoặc "X là không thể" sẽ là quá sớm.
Đóng từ
Vì vậy, chúng ta đã xem xét hai loại xác suất cộng, nhân và xác suất có điều kiện. Khi nghiên cứu sâu hơn về lĩnh vực này, cần phải học cách phân biệt các tình huống khi mỗi công thức cụ thể được sử dụng. Ngoài ra, bạn cần hiểu liệu các phương pháp xác suất có thể áp dụng chung để giải quyết vấn đề của bạn hay không.
Nếu bạn thực hành, sau một thời gian, bạn sẽ bắt đầu thực hiện tất cả các thao tác cần thiết chỉ trong tâm trí của bạn. Đối với những ai đam mê game bài thì có thể coi kỹ năng nàycực kỳ giá trị - bạn sẽ tăng đáng kể cơ hội chiến thắng của mình, chỉ bằng cách tính toán xác suất của một lá bài hoặc bộ đồ cụ thể rơi ra. Tuy nhiên, kiến thức thu được có thể dễ dàng áp dụng trong các lĩnh vực hoạt động khác.
