Nghịch lý
Bertrand là một vấn đề trong cách giải thích cổ điển của lý thuyết xác suất. Joseph đã giới thiệu nó trong tác phẩm của mình Calcul des probabilités (1889) như một ví dụ rằng xác suất không thể được xác định rõ nếu một cơ chế hoặc phương pháp tạo ra một biến ngẫu nhiên.
Tuyên bố vấn đề
Nghịch lý của Bertrand như sau.
Đầu tiên, xét một tam giác đều nội tiếp đường tròn. Trong trường hợp này, đường kính được chọn ngẫu nhiên. Xác suất để nó dài hơn cạnh của tam giác là bao nhiêu?
Bertrand đã đưa ra ba lập luận, tất cả đều đúng, nhưng cho kết quả khác nhau.
Phương pháp điểm cuối ngẫu nhiên
Bạn cần chọn hai vị trí trên vòng tròn và vẽ một vòng cung nối chúng. Đối với tính toán, nghịch lý xác suất của Bertrand được xem xét. Cần phải tưởng tượng rằng tam giác được quay sao cho đỉnh của nó trùng với một trong những điểm cuối của hợp âm. Đáng trả tiềnlưu ý rằng nếu phần kia nằm trên một cung giữa hai nơi thì hình tròn đó dài hơn cạnh của hình tam giác. Độ dài của cung bằng một phần ba của vòng tròn, vì vậy xác suất để một hợp âm ngẫu nhiên dài hơn là 1/3.
Phương pháp lựa chọn
Cần phải chọn bán kính của hình tròn và một điểm trên đó. Sau đó, bạn cần xây dựng một hợp âm qua nơi này, vuông góc với đường kính. Để tính toán nghịch lý được coi là Bertrand của lý thuyết xác suất, người ta phải tưởng tượng rằng tam giác được quay sao cho cạnh vuông góc với bán kính. Hợp âm dài hơn chân nếu điểm được chọn gần tâm của vòng tròn hơn. Và trong trường hợp này, cạnh của tam giác chia đôi bán kính. Do đó, xác suất để hợp âm dài hơn cạnh của hình bên trong là 1/2.
Hợp âm ngẫu nhiên
Phương pháp trung điểm. Cần phải chọn một vị trí trên vòng tròn và tạo một hợp âm với một trung âm nhất định. Trục dài hơn cạnh của tam giác nội tiếp, nếu vị trí được chọn nằm trong vòng tròn đồng tâm bán kính 1/2. Diện tích của hình tròn nhỏ hơn bằng một phần tư của hình lớn hơn. Do đó, xác suất của một hợp âm ngẫu nhiên dài hơn cạnh của tam giác nội tiếp và bằng 1/4.
Như đã trình bày ở trên, các phương pháp lựa chọn khác nhau về trọng lượng mà chúng cung cấp cho các hợp âm nhất định, đó là đường kính. Trong phương pháp 1, mỗi hợp âm có thể được chọn theo một cách chính xác, cho dù đó có phải là đường kính hay không.
Trong phương pháp 2, mỗi đường thẳng có thể được chọn theo hai cách. Trong khi bất kỳ hợp âm nào khác sẽ được chọnchỉ một trong những khả năng.
Trong phương pháp 3, mỗi lựa chọn điểm giữa có một tham số duy nhất. Trừ tâm của đường tròn, là trung điểm của tất cả các đường kính. Những vấn đề này có thể tránh được bằng cách "đặt hàng" tất cả các câu hỏi để loại trừ các tham số mà không ảnh hưởng đến xác suất kết quả.
Phương pháp chọn cũng có thể được hình dung như sau. Một hợp âm không phải là đường kính được xác định duy nhất bằng điểm giữa của nó. Mỗi phương pháp trong số ba phương pháp lựa chọn được trình bày ở trên tạo ra một phân bố khác nhau của giữa. Và tùy chọn 1 và 2 cung cấp hai phân vùng không đồng nhất khác nhau, trong khi phương pháp 3 cung cấp phân phối đồng nhất.
Nghịch lý cổ điển của việc giải bài toán của Bertrand phụ thuộc vào phương pháp mà hợp âm được chọn "một cách ngẫu nhiên". Nó chỉ ra rằng nếu một phương pháp lựa chọn ngẫu nhiên được chỉ định trước, bài toán có một lời giải được xác định rõ ràng. Điều này là do mỗi phương pháp riêng lẻ có cách phân bổ hợp âm riêng. Ba phán quyết được Bertrand đưa ra tương ứng với các phương thức lựa chọn khác nhau và trong trường hợp không có thêm thông tin, không có lý do gì để ủng hộ cái này hơn cái kia. Theo đó, vấn đề đã nêu không có một giải pháp duy nhất.
Một ví dụ về cách làm cho một câu trả lời chung là duy nhất là chỉ định rằng các điểm cuối của hợp âm cách đều nhau giữa 0 và c, trong đó c là chu vi của hình tròn. Phân phối này giống như trong đối số đầu tiên của Bertrand và xác suất duy nhất kết quả sẽ là 1/3.
Nghịch lý Bertrand Russell này và những nét độc đáo khác của cổ điểncác diễn giải về khả năng biện minh cho các công thức chặt chẽ hơn. Bao gồm tần suất xác suất và lý thuyết Bayes theo chủ nghĩa chủ thể.
Điều gì làm cơ sở cho nghịch lý của Bertrand
Trong bài báo năm 1973 "Vấn đề được đặt ra", Edwin Jaynes đã đưa ra giải pháp độc đáo của mình. Ông lưu ý rằng nghịch lý Bertrand dựa trên một tiền đề dựa trên nguyên tắc "sự thiếu hiểu biết tối đa". Điều này có nghĩa là bạn không nên sử dụng bất kỳ thông tin nào không được cung cấp trong báo cáo vấn đề. Jaynes chỉ ra rằng vấn đề của Bertrand không xác định vị trí hoặc kích thước của vòng tròn. Và lập luận rằng do đó bất kỳ quyết định chắc chắn và khách quan nào đều phải "thờ ơ" với kích thước và vị trí.
Cho mục đích minh họa
Giả sử rằng tất cả các hợp âm được đặt ngẫu nhiên trên một vòng tròn 2 cm, bây giờ bạn cần ném ống hút vào nó từ xa.
Sau đó, bạn cần lấy một hình tròn khác có đường kính nhỏ hơn (ví dụ: 1 cm), vừa với một hình lớn hơn. Khi đó, sự phân bố các hợp âm trên vòng tròn nhỏ hơn này phải giống như trên vòng tròn lớn nhất. Nếu hình thứ hai cũng di chuyển bên trong hình thứ nhất, về nguyên tắc, xác suất sẽ không thay đổi. Rất dễ dàng nhận thấy rằng đối với phương pháp 3, sự thay đổi sau sẽ xảy ra: sự phân bố của các hợp âm trên vòng tròn nhỏ màu đỏ sẽ khác về chất so với sự phân bố trên vòng tròn lớn.
Điều tương tự cũng xảy ra đối với phương pháp 1. Mặc dù khó thấy hơn trong chế độ xem đồ họa.
Phương pháp 2 là phương pháp duy nhấthóa ra vừa là thang đo vừa là bản dịch bất biến.
Phương pháp số 3 dường như chỉ có thể mở rộng.
Phương pháp 1 cũng không.
Tuy nhiên, Janes không sử dụng bất biến để dễ dàng chấp nhận hoặc từ chối các phương pháp này. Điều này sẽ để lại khả năng có một phương pháp khác chưa được mô tả phù hợp với các khía cạnh có ý nghĩa hợp lý của nó. Jaynes đã áp dụng các phương trình tích phân mô tả các bất biến. Để xác định trực tiếp phân phối xác suất. Trong bài toán của ông, các phương trình tích phân thực sự có một nghiệm duy nhất, và đây chính xác là phương pháp được gọi là phương pháp bán kính ngẫu nhiên thứ hai ở trên.
Trong một bài báo năm 2015, Alon Drory lập luận rằng nguyên lý của Jaynes cũng có thể mang lại hai giải pháp Bertrand khác. Tác giả đảm bảo rằng việc thực hiện toán học của các tính chất trên của bất biến không phải là duy nhất, mà phụ thuộc vào quy trình lựa chọn ngẫu nhiên cơ bản mà một người quyết định sử dụng. Ông chỉ ra rằng mỗi giải pháp trong số ba giải pháp Bertrand có thể thu được bằng cách sử dụng phép quay, chia tỷ lệ và phép tịnh tiến. Đồng thời, kết luận rằng nguyên tắc Jaynes cũng có thể được giải thích như chính phương thức thờ ơ.
Thí nghiệm vật lý
Phương pháp 2 là giải pháp duy nhất thỏa mãn các bất biến biến đổi có trong các khái niệm sinh lý cụ thể như cơ học thống kê và cấu trúc khí. Cũng trong đề xuấtThí nghiệm ném ống hút từ một vòng tròn nhỏ của Janes.
Tuy nhiên, các thí nghiệm thực tế khác có thể được thiết kế để cung cấp câu trả lời theo các phương pháp khác. Ví dụ, để đạt được giải pháp cho phương pháp điểm cuối ngẫu nhiên đầu tiên, bạn có thể gắn một bộ đếm vào trung tâm của khu vực. Và để kết quả của hai lần quay độc lập làm nổi bật những vị trí cuối cùng của hợp âm. Ví dụ, để đi đến giải pháp cho phương pháp thứ ba, người ta có thể phủ mật đường lên vòng tròn và đánh dấu điểm đầu tiên mà con ruồi đáp xuống làm hợp âm giữa. Một số nhà nghiên cứu đã tạo ra các nghiên cứu để đưa ra các kết luận khác nhau và đã xác nhận kết quả theo kinh nghiệm.
Sự kiện mới nhất
Trong bài báo năm 2007 "Nghịch lý Bertrand và Nguyên tắc thờ ơ", Nicholas Shackel lập luận rằng hơn một thế kỷ sau, vấn đề vẫn chưa được giải quyết. Cô ấy tiếp tục bác bỏ nguyên tắc thờ ơ. Hơn nữa, trong bài báo năm 2013 của mình, "Nghịch lý Bertrand Russell được xem xét lại: Tại sao mọi giải pháp đều không thực tế", Darrell R. Robottom cho thấy rằng tất cả các phán quyết được đề xuất không liên quan gì đến câu hỏi của chính ông. Vì vậy, hóa ra nghịch lý sẽ khó giải quyết hơn nhiều so với suy nghĩ trước đây.
Shackel nhấn mạnh rằng cho đến nay nhiều nhà khoa học và những người khác xa với khoa học đã cố gắng giải quyết nghịch lý Bertrand. Nó vẫn được khắc phục với sự trợ giúp của hai cách tiếp cận khác nhau.
Những bài toán trong đó sự khác biệt giữa các bài toán không tương đương được xem xét và những bài toán trong đó bài toán luôn được coi là đúng. Shackel trích dẫn Louis trong sách của mìnhMarinoff (như một số mũ điển hình của chiến lược khác biệt hóa) và Edwin Jaynes (với tư cách là tác giả của một lý thuyết được suy nghĩ kỹ lưỡng).
Tuy nhiên, trong tác phẩm gần đây Giải quyết một vấn đề phức tạp, Diederik Aerts và Massimiliano Sassoli de Bianchi tin rằng để giải quyết nghịch lý Bertrand, tiền đề phải được tìm kiếm trong một chiến lược hỗn hợp. Theo các tác giả này, bước đầu tiên là khắc phục vấn đề bằng cách nêu rõ bản chất của thực thể là ngẫu nhiên. Và chỉ sau khi điều này được thực hiện, mọi vấn đề có thể được coi là đúng. Đó là những gì Janes nghĩ.
Vì vậy, nguyên tắc của sự thiếu hiểu biết tối đa có thể được sử dụng để giải quyết nó. Vì mục đích này, và vì vấn đề không chỉ rõ cách chọn hợp âm nên nguyên tắc này không được áp dụng ở mức độ của các khả năng khác nhau, mà ở mức độ sâu hơn nhiều.
Lựa chọn các bộ phận
Phần này của bài toán yêu cầu tính toán trung bình cộng theo tất cả các cách có thể, mà các tác giả gọi là trung bình chung. Để đối phó với điều này, họ sử dụng phương pháp tùy ý hóa. Lấy cảm hứng từ những gì đang được thực hiện trong việc xác định luật xác suất trong các quy trình Wiener. Kết quả của họ phù hợp với hệ quả số của Jaynes, mặc dù bài toán được đặt ra của chúng khác với bài toán của tác giả gốc.
Trong kinh tế và thương mại, Nghịch lý Bertrand, được đặt theo tên người tạo ra nó là Joseph Bertrand, mô tả một tình huống trong đó hai người chơi (công ty) đạt đến điểm cân bằng Nash. Khi cả hai công ty đặt giá bằng chi phí cận biên(MS).
Nghịch lý
Bertrand dựa trên một tiền đề. Thực tế là trong các mô hình như cạnh tranh Cournot, sự gia tăng số lượng các công ty có liên quan đến sự hội tụ của giá cả với chi phí cận biên. Trong các mô hình thay thế này, nghịch lý của Bertrand là sự độc quyền của một số ít các công ty kiếm được lợi nhuận dương bằng cách tính giá cao hơn chi phí.
Đầu tiên, cần giả sử rằng hai công ty A và B bán một sản phẩm đồng nhất, mỗi công ty có cùng chi phí sản xuất và phân phối. Điều này dẫn đến việc người mua chọn một sản phẩm chỉ dựa trên giá cả. Điều này có nghĩa là cầu co giãn theo giá vô hạn. Cả A và B sẽ không đặt giá cao hơn những cái khác, bởi vì điều đó sẽ khiến toàn bộ nghịch lý Bertrand sụp đổ. Một trong những người tham gia thị trường sẽ nhường cho đối thủ cạnh tranh của mình. Nếu họ đặt cùng một mức giá, các công ty sẽ chia sẻ lợi nhuận.
Mặt khác, nếu bất kỳ công ty nào giảm giá dù chỉ một chút, họ sẽ nhận được toàn bộ thị trường và lợi nhuận cao hơn đáng kể. Vì A và B biết điều này, nên mỗi người sẽ cố gắng hạ gục đối thủ cạnh tranh cho đến khi sản phẩm bán được với lợi nhuận kinh tế bằng không.
Nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng có thể có thêm một điểm cân bằng trong nghịch lý chiến lược hỗn hợp của Bertrand, với lợi nhuận kinh tế dương, với điều kiện tổng độc quyền là vô hạn. Đối với trường hợp lợi nhuận cuối cùng, chỉ ra rằng sự gia tăng tích cực trong điều kiện cạnh tranh về giá là không thể xảy ra trong các trạng thái cân bằng hỗn hợp và thậm chí trong trường hợp tổng quát hơnhệ thống tương quan.
Trên thực tế, nghịch lý Bertrand trong kinh tế học hiếm khi được nhìn thấy trong thực tế, bởi vì các sản phẩm thực hầu như luôn khác biệt ở một khía cạnh nào đó ngoài giá cả (ví dụ, trả quá nhiều tiền cho một nhãn hàng). Các công ty có giới hạn về khả năng sản xuất và phân phối. Đây là lý do tại sao hai doanh nghiệp hiếm khi có cùng chi phí.
Kết quả của Bertrand là một nghịch lý vì nếu số lượng công ty tăng từ một lên hai, giá sẽ giảm từ độc quyền xuống cạnh tranh và vẫn ở mức tương đương với số công ty tăng sau đó. Điều này không thực tế lắm, bởi vì trên thực tế, các thị trường có ít công ty có sức mạnh thị trường có xu hướng tính giá cao hơn chi phí cận biên. Phân tích thực nghiệm cho thấy rằng hầu hết các ngành có hai đối thủ cạnh tranh đều tạo ra lợi nhuận dương.
Trong thế giới hiện đại, các nhà khoa học đang cố gắng tìm ra giải pháp cho nghịch lý phù hợp hơn với mô hình cạnh tranh Cournot. Nơi mà hai công ty trong một thị trường đang tạo ra lợi nhuận dương, nằm giữa mức độ cạnh tranh hoàn hảo và mức độ độc quyền.
Một số lý do tại sao nghịch lý Bertrand không liên quan trực tiếp đến kinh tế học:
- Giới hạn dung lượng. Đôi khi các công ty không có đủ năng lực để đáp ứng tất cả các nhu cầu. Điểm này được Francis Edgeworth nêu ra lần đầu tiên và tạo ra mô hình Bertrand-Edgeworth.
- Giánguyên. Giá trên MC được loại trừ vì một công ty có thể cắt giảm một công ty khác một cách ngẫu nhiên.một số lượng nhỏ. Nếu giá rời rạc (ví dụ, chúng phải nhận các giá trị nguyên), thì một công ty phải giảm giá của công ty kia ít nhất một rúp. Điều này ngụ ý rằng giá trị của đơn vị tiền tệ nhỏ nằm trên MC. Nếu một công ty khác đặt giá cho nó cao hơn, một công ty khác có thể hạ nó xuống và chiếm được toàn bộ thị trường, thì nghịch lý của Bertrand chính là ở chỗ này. Nó sẽ không mang lại lợi nhuận cho cô ấy. Doanh nghiệp này sẽ thích chia sẻ doanh số 50/50 với một công ty khác và nhận được doanh thu thuần dương.
- Sự khác biệt hóa sản phẩm. Nếu sản phẩm của các hãng khác nhau, người tiêu dùng có thể không hoàn toàn chuyển sang sản phẩm có giá thấp hơn.
- Cạnh tranh năng động. Tương tác lặp đi lặp lại hoặc cạnh tranh về giá lặp lại có thể dẫn đến trạng thái cân bằng về giá trị.
- Hàng nhiều hơn với số lượng cao hơn. Điều này xảy ra sau sự tương tác lặp đi lặp lại. Nếu một công ty đặt giá cao hơn một chút, thì công ty đó vẫn sẽ nhận được số lượng mua gần như nhau, nhưng lợi nhuận trên mỗi mặt hàng nhiều hơn. Do đó, công ty khác sẽ tăng mức đánh dấu của mình, v.v. (Chỉ trong các lần phát lại, nếu không thì động lực sẽ đi theo hướng khác).
Độc quyền
Nếu hai công ty có thể đồng ý về một mức giá, thì lợi ích lâu dài của họ là giữ thỏa thuận: doanh thu giảm giá trị nhỏ hơn hai lần doanh thu từ việc tuân thủ thỏa thuận và chỉ kéo dài cho đến khi công ty kia cắt giảm giá riêng.
Lý thuyếtxác suất (giống như phần còn lại của toán học) thực sự là một phát minh gần đây. Và sự phát triển đã không được suôn sẻ. Những nỗ lực đầu tiên nhằm chính thức hóa phép tính xác suất được thực hiện bởi Marquis de Laplace, người đã đề xuất định nghĩa khái niệm này là tỷ lệ của số sự kiện dẫn đến kết quả.
Điều này, tất nhiên, chỉ có ý nghĩa nếu số lượng tất cả các sự kiện có thể xảy ra là hữu hạn. Và bên cạnh đó, tất cả các sự kiện đều có khả năng xảy ra như nhau.
Vì vậy, vào thời điểm đó, những khái niệm này dường như không có nền tảng vững chắc. Nỗ lực mở rộng định nghĩa cho trường hợp có vô số sự kiện đã dẫn đến những khó khăn thậm chí còn lớn hơn. Nghịch lý Bertrand là một trong những khám phá như vậy đã khiến các nhà toán học cảnh giác với toàn bộ khái niệm xác suất.
