Ma trận: Phương pháp Gauss. Tính toán ma trận Gauss: Ví dụ

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-17 05:46

Đại số tuyến tính, được giảng dạy trong các trường đại học trong các chuyên ngành khác nhau, kết hợp nhiều chủ đề phức tạp. Một số trong số chúng liên quan đến ma trận, cũng như giải pháp của hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss và Gauss-Jordan. Không phải tất cả học sinh đều hiểu được các chủ đề này, các thuật toán để giải các bài toán khác nhau. Hãy cùng nhau hiểu các ma trận và phương pháp của Gauss và Gauss-Jordan.

Khái niệm cơ bản

Ma trận trong đại số tuyến tính là một mảng hình chữ nhật gồm các phần tử (bảng). Dưới đây là tập hợp các phần tử được đặt trong dấu ngoặc đơn. Đây là những ma trận. Từ ví dụ trên, có thể thấy rằng các phần tử trong mảng chữ nhật không chỉ là số. Ma trận có thể bao gồm các hàm toán học, các ký hiệu đại số.

Để hiểu một số khái niệm, chúng ta hãy tạo ma trận A từ các phần tử a_ij. Chỉ mục không chỉ là các chữ cái: i là số hàng trong bảng và j là số cột, trong khu vực giao nhau của phần tử đó.a_ij. Vì vậy, chúng ta thấy rằng chúng ta có một ma trận các phần tử như₁₁, a₂₁, a₁₂, a₂₂, v.v. Chữ n biểu thị số cột và chữ m biểu thị số hàng. Kí hiệu m × n biểu thị số chiều của ma trận. Đây là khái niệm xác định số hàng và số cột trong một mảng phần tử hình chữ nhật.

Theo tùy chọn, ma trận phải có một số cột và hàng. Với kích thước 1 × n, mảng các phần tử là một hàng và với kích thước m × 1, nó là một mảng một cột. Khi số hàng và số cột bằng nhau, ma trận được gọi là hình vuông. Mọi ma trận vuông đều có định thức (det A). Thuật ngữ này đề cập đến số được gán cho ma trận A.

Một vài khái niệm quan trọng cần nhớ để giải thành công ma trận là đường chéo chính và phụ. Đường chéo chính của ma trận là đường chéo đi xuống góc phải của bảng từ góc trên bên trái. Đường chéo bên đi từ góc bên trái lên từ góc bên trái từ dưới lên.

Chế độ xem ma trận từng bước

Nhìn vào hình bên dưới. Trên đó, bạn sẽ thấy một ma trận và một sơ đồ. Hãy đối phó với ma trận trước. Trong đại số tuyến tính, một ma trận loại này được gọi là ma trận bước. Nó có một thuộc tính: nếu_ijlà phần tử khác 0 đầu tiên trong hàng thứ i, thì tất cả các phần tử khác từ ma trận bên dưới và bên trái của một_ij, là rỗng (tức là tất cả các phần tử có thể được ký hiệu bằng chữ cái là_kl, trong đó k>i vàl<j).

Bây giờ hãy xem xét sơ đồ. Nó phản ánh dạng bậc của ma trận. Lược đồ hiển thị 3 loại ô. Mỗi loại biểu thị các phần tử nhất định:

ô trống - phần tử không của ma trận;
ô tô bóng là các phần tử tùy ý có thể là 0 và khác 0;
hình vuông màu đen là các phần tử khác 0, được gọi là phần tử góc, "bước" (trong ma trận hiển thị bên cạnh chúng, các phần tử đó là các số –1, 5, 3, 8).

Khi giải các ma trận, đôi khi kết quả là "độ dài" của bước lớn hơn 1. Điều này được cho phép. Chỉ "chiều cao" của các bước mới quan trọng. Trong ma trận bước, tham số này phải luôn bằng một.

Giảm ma trận xuống dạng bước

Mọi ma trận chữ nhật đều có thể được chuyển đổi thành dạng bậc. Điều này được thực hiện thông qua các phép biến đổi cơ bản. Chúng bao gồm:

sắp xếp lại chuỗi;
Thêm một dòng khác vào một dòng, nếu cần nhân với một số (bạn cũng có thể thực hiện một phép tính trừ).

Hãy xem xét các phép biến đổi cơ bản trong việc giải một bài toán cụ thể. Hình bên dưới cho thấy ma trận A, ma trận này cần được rút gọn thành dạng bậc.

Để giải quyết vấn đề, chúng ta sẽ thực hiện theo thuật toán:

Thật tiện lợi khi thực hiện các phép biến đổi trên ma trận vớiphần tử đầu tiên ở góc trên cùng bên trái (tức là phần tử "hàng đầu") là 1 hoặc -1. Trong trường hợp của chúng tôi, phần tử đầu tiên ở hàng trên cùng là 2, vì vậy hãy hoán đổi hàng đầu tiên và hàng thứ hai.
Hãy thực hiện các phép tính trừ, ảnh hưởng đến các hàng 2, 3 và 4. Chúng ta nên lấy số không trong cột đầu tiên dưới phần tử "hàng đầu". Để đạt được kết quả này: từ các phần tử của dòng số 2, ta tuần tự trừ các phần tử của dòng số 1, nhân với 2; từ các phần tử của dòng số 3 ta lần lượt trừ các phần tử của dòng số 1, nhân với 4; từ các phần tử của dòng số 4, chúng ta tuần tự trừ các phần tử của dòng số 1.
Tiếp theo, chúng ta sẽ làm việc với ma trận cắt ngắn (không có cột1 và không có hàng1). Phần tử "hàng đầu" mới, đứng ở giao điểm của cột thứ hai và hàng thứ hai, bằng -1. Không cần phải sắp xếp lại các dòng, vì vậy chúng tôi viết lại cột đầu tiên và các hàng đầu tiên và thứ hai mà không có thay đổi. Hãy thực hiện các phép tính trừ để lấy các số không ở cột thứ hai dưới phần tử "đứng đầu": từ các phần tử của dòng thứ ba, ta lần lượt trừ các phần tử của dòng thứ hai, nhân với 3; trừ các phần tử của dòng thứ hai nhân với 2 từ các phần tử của dòng thứ 4.
Nó vẫn còn để thay đổi dòng cuối cùng. Từ các phần tử của nó, chúng tôi trừ liên tiếp các phần tử của hàng thứ ba. Do đó, chúng tôi có một ma trận bước.

Rút gọn ma trận về dạng bậc được sử dụng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính (SLE) bằng phương pháp Gauss. Trước khi xem xét phương pháp này, hãy hiểu một số thuật ngữ liên quan đến SLN.

Ma trận và hệ phương trình tuyến tính

Ma trận được sử dụng trong nhiều ngành khoa học. Ví dụ, bằng cách sử dụng các bảng số, bạn có thể giải các phương trình tuyến tính kết hợp thành một hệ thống bằng phương pháp Gauss. Trước tiên, hãy làm quen với một số thuật ngữ và định nghĩa của chúng, đồng thời xem cách ma trận được hình thành từ một hệ thống kết hợp một số phương trình tuyến tính.

SLU-một số phương trình đại số kết hợp với ẩn số bậc nhất và không có số hạng tích.

Giải pháp SLE - tìm thấy các giá trị của ẩn số, thay thế các phương trình trong hệ thống trở thành đồng nhất.

Một SLE chung là một hệ phương trình có ít nhất một nghiệm.

SLE không nhất quán là một hệ phương trình không có nghiệm.

Ma trận được hình thành dựa trên hệ phương trình tuyến tính như thế nào? Có những khái niệm như vậy là ma trận chính và mở rộng của hệ thống. Để có được ma trận chính của hệ, cần đưa vào bảng tất cả các hệ số của ẩn số. Ma trận khai triển thu được bằng cách thêm một cột các số hạng tự do vào ma trận chính (nó bao gồm các phần tử đã biết mà mỗi phương trình trong hệ được tương đương với nhau). Bạn có thể hiểu toàn bộ quá trình này bằng cách nghiên cứu hình bên dưới.

Điều đầu tiên chúng ta nhìn thấy trong hình là một hệ thống bao gồm các phương trình tuyến tính. Các phần tử của nó: a_ij- hệ số số, x_j- giá trị chưa biết, b_i- số hạng không đổi (trong đó i=1, 2,…, m và j=1, 2,…, n). Phần tử thứ hai trong hình là ma trận chính của các hệ số. Từ mỗi phương trình, các hệ số được viết thành một hàng. Kết quả là, có bao nhiêu hàng trong ma trận cũng như có bao nhiêu phương trình trong hệ. Số cột bằng số hệ số lớn nhất trong bất kỳ phương trình nào. Phần tử thứ ba trong hình là một ma trận tăng cường với một cột các thuật ngữ tự do.

Thông tin chung về phương pháp Gauss

Trong đại số tuyến tính, phương pháp Gauss là phương pháp cổ điển để giải SLE. Nó mang tên của Carl Friedrich Gauss, người sống ở thế kỷ 18-19. Đây là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại. Bản chất của phương pháp Gauss là thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên một hệ phương trình đại số tuyến tính. Với sự trợ giúp của các phép biến đổi, SLE được rút gọn thành một hệ thống tương đương có dạng tam giác (bậc), từ đó có thể tìm thấy tất cả các biến.

Cần lưu ý rằng Carl Friedrich Gauss không phải là người phát hiện ra phương pháp cổ điển để giải hệ phương trình tuyến tính. Phương pháp này đã được phát minh sớm hơn nhiều. Mô tả đầu tiên của nó được tìm thấy trong bách khoa toàn thư về kiến thức của các nhà toán học Trung Quốc cổ đại, được gọi là "Toán học trong 9 cuốn sách".

Một ví dụ về giải SLE bằng phương pháp Gauss

Hãy xem xét nghiệm của các hệ thống theo phương pháp Gauss trên một ví dụ cụ thể. Chúng tôi sẽ làm việc với SLU được hiển thị trong hình.

Giải thuật toán:

Chúng tôi sẽ giảm hệ thống thành dạng bước bằng cách di chuyển trực tiếp phương pháp Gauss, nhưng trước tiênchúng tôi sẽ tạo một ma trận mở rộng gồm các hệ số số và các thành viên miễn phí.
Để giải ma trận bằng phương pháp Gaussian (tức là đưa nó về dạng bậc), từ các phần tử của hàng thứ hai và thứ ba, chúng ta tuần tự trừ các phần tử của hàng đầu tiên. Chúng tôi nhận được số không trong cột đầu tiên dưới phần tử "hàng đầu". Tiếp theo, chúng ta sẽ thay đổi dòng thứ hai và thứ ba ở các vị trí để tiện theo dõi. Đối với các phần tử của hàng cuối cùng, hãy cộng tuần tự các phần tử của hàng thứ hai, nhân với 3.
Theo kết quả của phép tính ma trận bằng phương pháp Gauss, chúng tôi nhận được một mảng các phần tử theo bậc. Dựa vào đó, chúng ta sẽ soạn một hệ phương trình tuyến tính mới. Bằng cách đảo ngược của phương pháp Gauss, chúng ta tìm thấy giá trị của các số hạng chưa biết. Có thể thấy từ phương trình tuyến tính cuối cùng rằng x₃bằng 1. Chúng ta thay giá trị này vào dòng thứ hai của hệ thống. Bạn nhận được phương trình x₂- 4=–4. Theo đó x₂bằng 0. Thay x₂và x₃vào phương trình đầu tiên của hệ: x 1_{+ 0 +3=2. Số hạng chưa biết là -1.}

Trả lời: sử dụng ma trận, phương pháp Gaussian, chúng tôi tìm thấy giá trị của các ẩn số; x₁=–1, x₂=0, x₃=1.

Phương pháp Gauss-Jordan

Trong đại số tuyến tính cũng có một thứ như phương pháp Gauss-Jordan. Nó được coi là một sửa đổi của phương pháp Gaussian và được sử dụng để tìm ma trận nghịch đảo, tính toán các số hạng chưa biết của hệ phương trình tuyến tính đại số bình phương. Phương pháp Gauss-Jordan thuận tiện ở chỗ nó cho phép giải SLE trong một bước (mà không sử dụng trực tiếp và nghịch đảodi chuyển).

Hãy bắt đầu với thuật ngữ "ma trận nghịch đảo". Giả sử chúng ta có một ma trận A. Nghịch đảo của nó sẽ là ma trận A^-1, trong khi điều kiện nhất thiết phải thỏa mãn: A × A^-1=A -1^{× A=E, tức là tích của các ma trận này bằng ma trận nhận dạng (các phần tử của đường chéo chính của ma trận nhận dạng là một và các phần tử còn lại bằng 0).}

Một sắc thái quan trọng: trong đại số tuyến tính có một định lý về sự tồn tại của ma trận nghịch đảo. Điều kiện đủ và cần thiết để tồn tại ma trận A^-1là ma trận A là nonsingular.

Các bước cơ bản dựa trên phương pháp Gauss-Jordan:

Nhìn vào hàng đầu tiên của một ma trận cụ thể. Phương pháp Gauss-Jordan có thể được bắt đầu nếu giá trị đầu tiên không bằng 0. Nếu vị trí đầu tiên là 0, thì hãy hoán đổi các hàng để phần tử đầu tiên có giá trị khác 0 (mong muốn rằng số gần hơn với một).
Chia tất cả các phần tử của hàng đầu tiên cho số đầu tiên. Bạn sẽ kết thúc bằng một chuỗi bắt đầu bằng một.
Từ dòng thứ hai, trừ dòng đầu tiên nhân với phần tử đầu tiên của dòng thứ hai, tức là cuối cùng bạn sẽ nhận được một dòng bắt đầu từ số không. Làm tương tự cho các dòng còn lại. Chia mỗi dòng cho phần tử khác 0 đầu tiên của nó để nhận được 1 theo đường chéo.
Kết quả là bạn sẽ nhận được ma trận tam giác trên bằng phương pháp Gauss - Jordan. Trong đó, đường chéo chính được biểu diễn bằng các đơn vị. Góc dưới cùng được tô bằng các số không vàgóc trên - các giá trị khác nhau.
Từ dòng áp chót, trừ dòng cuối cùng nhân với hệ số cần thiết. Bạn sẽ nhận được một chuỗi với các số không và một. Đối với các dòng còn lại, lặp lại hành động tương tự. Sau tất cả các phép biến đổi, ma trận nhận dạng sẽ thu được.

Ví dụ về tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan

Để tính ma trận nghịch đảo, bạn cần viết ma trận tăng A | E và thực hiện các phép biến đổi cần thiết. Hãy xem xét một ví dụ đơn giản. Hình dưới đây cho thấy ma trận A.

Nhiệm vụ của phép tính ma trận nghịch đảo

Giải pháp:

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm định thức ma trận bằng phương pháp Gaussian (det A). Nếu tham số này không bằng 0, thì ma trận sẽ được coi là không cần chú ý. Điều này sẽ cho phép chúng ta kết luận rằng A chắc chắn có A^-1. Để tính định thức, chúng ta biến đổi ma trận về dạng từng bước bằng các phép biến đổi cơ bản. Hãy đếm số K bằng số hoán vị hàng. Chúng tôi chỉ thay đổi dòng 1 lần. Hãy tính định thức. Giá trị của nó sẽ bằng tích của các phần tử của đường chéo chính, nhân với (–1)^K. Kết quả tính toán: det A=2.
Soạn ma trận tăng cường bằng cách thêm ma trận nhận dạng vào ma trận ban đầu. Mảng các phần tử kết quả sẽ được sử dụng để tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp Gauss-Jordan.
Phần tử đầu tiên trong hàng đầu tiên bằng một. Điều này phù hợp với chúng tôi, bởi vì không cần phải sắp xếp lại các dòng và chia dòng đã cho cho một số nào đó. Bắt đầu làm việc thôivới dòng thứ hai và thứ ba. Để biến phần tử đầu tiên trong hàng thứ hai thành 0, hãy trừ hàng đầu tiên nhân 3 với hàng thứ hai. Trừ hàng đầu tiên cho hàng thứ ba (không cần phép nhân).
Trong ma trận kết quả, phần tử thứ hai của hàng thứ hai là -4 và phần tử thứ hai của hàng thứ ba là -1. Hãy hoán đổi các dòng để thuận tiện. Từ hàng thứ ba trừ hàng thứ hai nhân với 4. Chia hàng thứ hai cho -1 và hàng thứ ba cho 2. Ta được ma trận tam giác trên.
Hãy trừ dòng cuối cùng nhân 4 với dòng thứ hai và dòng cuối cùng nhân với 5 từ dòng đầu tiên. Tiếp theo, lấy dòng đầu tiên trừ dòng thứ hai nhân với 2. Ở bên trái chúng ta được ma trận nhận dạng. Ở bên phải là ma trận nghịch đảo.

Một ví dụ về giải SLE bằng phương pháp Gauss-Jordan

Hình bên cho thấy một hệ phương trình tuyến tính. Bắt buộc phải tìm giá trị của các biến chưa biết bằng cách sử dụng ma trận, phương pháp Gauss-Jordan.

Giải pháp:

Hãy tạo một ma trận tăng cường. Để làm điều này, chúng tôi sẽ đưa các hệ số và số hạng tự do vào bảng.
Giải ma trận bằng phương pháp Gauss-Jordan. Từ dòng số 2, chúng tôi trừ dòng số 1. Từ dòng số 3, chúng tôi trừ dòng số 1, trước đó nhân với 2.
Hoán đổi hàng 2 và hàng 3.
Từ dòng số 3 trừ dòng số 2 nhân với 2. Chia dòng thứ ba được kết quả cho –1.
Trừ dòng 3 khỏi dòng 2.
Trừ dòng1 khỏi dòng12 lần -1. Ở bên cạnh, chúng ta có một cột bao gồm các số 0, 1 và -1. Từ đó chúng ta kết luận rằng x₁=0, x₂=1 và x₃=–1.

Nếu muốn, bạn có thể kiểm tra tính đúng đắn của nghiệm bằng cách thay các giá trị đã tính vào phương trình:

0 - 1=–1, danh tính đầu tiên từ hệ thống là đúng;
0 + 1 + (–1)=0, danh tính thứ hai từ hệ thống là đúng;
0 - 1 + (–1)=–2, danh tính thứ ba từ hệ thống là đúng.

Kết luận: sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, chúng tôi đã tìm ra lời giải chính xác cho một hệ bậc hai kết hợp các phương trình đại số tuyến tính.

Máy tính trực tuyến

Cuộc sống của thanh niên ngày nay học đại học và học đại số tuyến tính đã được đơn giản hóa rất nhiều. Một vài năm trước, chúng tôi phải tự mình tìm ra giải pháp cho các hệ thống sử dụng phương pháp Gauss và Gauss-Jordan. Một số học sinh đối phó thành công với các nhiệm vụ, trong khi những học sinh khác bối rối trong cách giải quyết, mắc lỗi, nhờ bạn cùng lớp giúp đỡ. Ngày nay, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến khi làm bài. Để giải các hệ phương trình tuyến tính, tìm kiếm ma trận nghịch đảo, các chương trình đã được viết ra để chứng minh không chỉ các câu trả lời đúng mà còn cho thấy tiến trình giải một bài toán cụ thể.

Có nhiều tài nguyên trên Internet với các máy tính trực tuyến được tích hợp sẵn. Các ma trận Gaussian, hệ phương trình được các chương trình này giải quyết trong vài giây. Học sinh chỉ cần xác định các tham số cần thiết (ví dụ: số phương trình,số biến).