Phép biến đổi Fourier là phép biến đổi so sánh các hàm của một số biến thực. Thao tác này được thực hiện mỗi khi chúng ta cảm nhận các âm thanh khác nhau. Tai thực hiện một "phép tính" tự động mà ý thức của chúng ta chỉ có thể thực hiện sau khi nghiên cứu phần thích hợp của toán học cao hơn. Cơ quan thính giác của con người tạo ra một sự biến đổi, do đó âm thanh (chuyển động dao động của các hạt có điều kiện trong môi trường đàn hồi lan truyền dưới dạng sóng trong môi trường rắn, lỏng hoặc khí) được tạo ra dưới dạng một phổ có giá trị liên tiếp Mức âm lượng của các âm có độ cao khác nhau. Sau đó, não bộ biến thông tin này thành âm thanh quen thuộc với mọi người.
Biến đổi Fourier Toán học
Sự biến đổi của sóng âm hoặc các quá trình dao động khác (từ bức xạ ánh sáng và thủy triều sang chu kỳ hoạt động của sao hoặc mặt trời) cũng có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp toán học. Vì vậy, bằng cách sử dụng các kỹ thuật này, có thể phân rã các hàm bằng cách biểu diễn các quá trình dao động dưới dạng một tập hợp các thành phần hình sin, nghĩa là, các đường cong lượn sóngđi từ thấp đến cao, sau đó trở lại thấp, như một làn sóng biển. Biến đổi Fourier - một phép biến đổi có chức năng mô tả pha hoặc biên độ của mỗi hình sin tương ứng với một tần số nhất định. Pha là điểm bắt đầu của đường cong và biên độ là chiều cao của nó.
Phép biến đổi Fourier (ví dụ được hiển thị trong ảnh) là một công cụ rất mạnh được sử dụng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau. Trong một số trường hợp, nó được sử dụng như một phương tiện để giải các phương trình khá phức tạp mô tả các quá trình động lực học xảy ra dưới ảnh hưởng của năng lượng ánh sáng, nhiệt hoặc điện. Trong các trường hợp khác, nó cho phép bạn xác định các thành phần đều đặn trong các tín hiệu dao động phức tạp, nhờ đó bạn có thể diễn giải chính xác các quan sát thực nghiệm khác nhau trong hóa học, y học và thiên văn học.
Bối cảnh lịch sử
Người đầu tiên áp dụng phương pháp này là nhà toán học người Pháp Jean Baptiste Fourier. Sự biến đổi, sau này được đặt theo tên của ông, ban đầu được sử dụng để mô tả cơ chế dẫn nhiệt. Fourier đã dành toàn bộ cuộc đời trưởng thành của mình để nghiên cứu các đặc tính của nhiệt. Ông đã đóng góp rất lớn vào lý thuyết toán học xác định nghiệm nguyên của phương trình đại số. Fourier là giáo sư phân tích tại Trường Bách khoa, thư ký của Viện Ai Cập học, phục vụ cho hoàng gia, nơi ông đã nổi bật trong quá trình xây dựng con đường dẫn đến Turin (dưới sự lãnh đạo của ông, hơn 80 nghìn km vuông bệnh sốt rét.đầm lầy). Tuy nhiên, tất cả các hoạt động sôi nổi này không ngăn cản nhà khoa học thực hiện phân tích toán học. Năm 1802, ông đã suy ra một phương trình mô tả sự truyền nhiệt trong chất rắn. Vào năm 1807, nhà khoa học đã phát hiện ra một phương pháp giải phương trình này, được gọi là "phép biến đổi Fourier".
Phân tích độ dẫn nhiệt
Nhà khoa học đã áp dụng một phương pháp toán học để mô tả cơ chế dẫn nhiệt. Một ví dụ thuận tiện, trong đó không có khó khăn trong tính toán, là sự truyền nhiệt năng qua một vòng sắt được nhúng vào một bộ phận trong ngọn lửa. Để thực hiện các thí nghiệm, Fourier đã nung nóng đỏ một phần của chiếc vòng này và chôn nó trong cát mịn. Sau đó, anh ta đo nhiệt độ ở phía đối diện của nó. Ban đầu, sự phân bố nhiệt không đều: một phần của vòng lạnh và phần kia nóng; có thể quan sát thấy một gradient nhiệt độ rõ nét giữa các vùng này. Tuy nhiên, trong quá trình truyền nhiệt trên toàn bộ bề mặt của kim loại, nó trở nên đồng đều hơn. Vì vậy, chẳng bao lâu nữa quá trình này có dạng một hình sin. Lúc đầu, đồ thị tăng dần và cũng giảm một cách trơn tru, chính xác theo quy luật biến thiên của hàm số cosin hay hàm số sin. Sóng giảm dần và kết quả là nhiệt độ trở nên giống nhau trên toàn bộ bề mặt của chiếc nhẫn.
Tác giả của phương pháp này gợi ý rằng phân bố không đều ban đầu có thể được phân tích thành một số hình sin cơ bản. Mỗi người trong số họ sẽ có pha riêng (vị trí ban đầu) và nhiệt độ riêng của nótối đa. Hơn nữa, mỗi thành phần như vậy thay đổi từ tối thiểu đến tối đa và quay trở lại trên một vòng quay hoàn chỉnh xung quanh vòng một số nguyên lần. Một thành phần có một chu kỳ được gọi là sóng hài cơ bản và một giá trị có hai hoặc nhiều chu kỳ được gọi là thứ hai, v.v. Vì vậy, hàm toán học mô tả nhiệt độ cực đại, pha hoặc vị trí được gọi là biến đổi Fourier của hàm phân phối. Nhà khoa học đã giảm một thành phần đơn lẻ, rất khó mô tả về mặt toán học, thành một công cụ dễ sử dụng - chuỗi cosine và sin, tổng hợp lại để đưa ra phân phối ban đầu.
Bản chất của phân tích
Áp dụng phép phân tích này vào sự biến đổi của sự truyền nhiệt qua một vật rắn có dạng hình khuyên, nhà toán học lý luận rằng việc tăng chu kỳ của thành phần hình sin sẽ dẫn đến sự phân rã nhanh chóng của nó. Điều này được nhìn thấy rõ ràng trong các sóng hài cơ bản và thứ hai. Ở chế độ thứ hai, nhiệt độ đạt giá trị cực đại và cực tiểu hai lần trong một lần và ở lần trước, chỉ một lần. Nó chỉ ra rằng khoảng cách được bao phủ bởi nhiệt trong điều hòa thứ hai sẽ bằng một nửa khoảng cách trong điều hòa cơ bản. Ngoài ra, gradient trong cái thứ hai cũng sẽ dốc gấp đôi so với cái đầu tiên. Do đó, vì dòng nhiệt cường độ cao hơn truyền đi một quãng đường ngắn gấp đôi, sóng hài này sẽ phân rã nhanh hơn bốn lần so với cơ bản dưới dạng một hàm của thời gian. Trong tương lai, quá trình này sẽ còn nhanh hơn. Nhà toán học tin rằng phương pháp này cho phép bạn tính toán quá trình phân bố nhiệt độ ban đầu theo thời gian.
Thách thức đối với những người cùng thời
Thuật toán biến đổi Fourier đã thách thức các cơ sở lý thuyết của toán học vào thời điểm đó. Vào đầu thế kỷ 19, hầu hết các nhà khoa học lỗi lạc, bao gồm Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre và Biot, đã không chấp nhận tuyên bố của ông rằng sự phân bố nhiệt độ ban đầu bị phân hủy thành các thành phần ở dạng sóng hài cơ bản và tần số cao hơn. Tuy nhiên, Viện Hàn lâm Khoa học không thể bỏ qua kết quả thu được của nhà toán học và trao giải thưởng cho lý thuyết về các định luật dẫn nhiệt, cũng như so sánh nó với các thí nghiệm vật lý. Trong cách tiếp cận của Fourier, sự phản đối chính là thực tế rằng hàm không liên tục được biểu diễn bằng tổng của một số hàm hình sin liên tục. Rốt cuộc, họ mô tả các đường thẳng và cong bị rách. Những người cùng thời với nhà khoa học chưa bao giờ gặp phải trường hợp tương tự, khi các hàm không liên tục được mô tả bằng sự kết hợp của các hàm liên tục, chẳng hạn như bậc hai, tuyến tính, hình sin hoặc hàm mũ. Trong trường hợp nhà toán học đã đúng trong các phát biểu của mình, thì tổng của một chuỗi vô hạn của một hàm lượng giác sẽ được giảm xuống một chính xác từng bước. Vào thời điểm đó, một tuyên bố như vậy có vẻ vô lý. Tuy nhiên, bất chấp những nghi ngờ, một số nhà nghiên cứu (ví dụ như Claude Navier, Sophie Germain) đã mở rộng phạm vi nghiên cứu và đưa chúng ra ngoài phân tích sự phân bố của năng lượng nhiệt. Trong khi đó, các nhà toán học tiếp tục đấu tranh với câu hỏi liệu tổng của một số hàm hình sin có thể được rút gọn thành một biểu diễn chính xác của một hàm không liên tục hay không.
200 tuổilịch sử
Lý thuyết này đã phát triển hơn hai thế kỷ, ngày nay nó cuối cùng đã hình thành. Với sự trợ giúp của nó, các chức năng không gian hoặc thời gian được chia thành các thành phần hình sin, có tần số, pha và biên độ riêng. Phép biến đổi này thu được bằng hai phương pháp toán học khác nhau. Hàm đầu tiên trong số chúng được sử dụng khi hàm gốc là liên tục và hàm thứ hai - khi nó được biểu diễn bằng một tập hợp các thay đổi riêng lẻ rời rạc. Nếu biểu thức nhận được từ các giá trị được xác định bởi các khoảng rời rạc, thì nó có thể được chia thành nhiều biểu thức hình sin với các tần số rời rạc - từ thấp nhất rồi cao hơn gấp đôi, ba lần, v.v. Một tổng như vậy được gọi là chuỗi Fourier. Nếu biểu thức ban đầu được cho một giá trị cho mỗi số thực, thì nó có thể được phân tách thành một số hình sin với tất cả các tần số có thể. Nó thường được gọi là tích phân Fourier, và lời giải ngụ ý các phép biến đổi tích phân của hàm. Bất kể cách chuyển đổi thu được như thế nào, hai số phải được chỉ định cho mỗi tần số: biên độ và tần số. Các giá trị này được biểu thị dưới dạng một số phức duy nhất. Lý thuyết về biểu thức của các biến số phức tạp, cùng với phép biến đổi Fourier, giúp thực hiện các phép tính trong thiết kế các mạch điện khác nhau, phân tích các dao động cơ học, nghiên cứu cơ chế truyền sóng, v.v.
Fourier Transform Today
Ngày nay, nghiên cứu về quá trình này chủ yếu được rút gọn để tìm ra hiệu quảcác phương thức chuyển từ một hàm sang dạng đã biến đổi của nó và ngược lại. Giải pháp này được gọi là phép biến đổi Fourier trực tiếp và nghịch đảo. Nó có nghĩa là gì? Để xác định tích phân và tạo ra một phép biến đổi Fourier trực tiếp, người ta có thể sử dụng các phương pháp toán học hoặc phương pháp giải tích. Mặc dù thực tế có những khó khăn nhất định khi sử dụng chúng trong thực tế, nhưng hầu hết các tích phân đều đã được tìm thấy và đưa vào sách tham khảo toán học. Phương pháp số có thể được sử dụng để tính toán các biểu thức có dạng dựa trên dữ liệu thực nghiệm hoặc các hàm có tích phân không có sẵn trong bảng và khó trình bày ở dạng phân tích.
Trước khi máy tính ra đời, việc tính toán các phép biến đổi như vậy rất tẻ nhạt, chúng yêu cầu thực hiện thủ công một số lượng lớn các phép toán số học, phụ thuộc vào số điểm mô tả hàm sóng. Để tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính toán, ngày nay có những chương trình đặc biệt đã cho phép thực hiện các phương pháp phân tích mới. Vì vậy, vào năm 1965, James Cooley và John Tukey đã tạo ra phần mềm được gọi là "Fast Fourier Transform". Nó cho phép bạn tiết kiệm thời gian tính toán bằng cách giảm số lượng phép nhân trong phân tích đường cong. Phương pháp biến đổi Fourier nhanh dựa trên việc chia đường cong thành một số lượng lớn các giá trị mẫu đồng nhất. Theo đó, số phép nhân giảm đi một nửa với cùng một mức giảm số điểm.
Áp dụng phép biến đổi Fourier
Cái nàyquá trình này được sử dụng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau: trong lý thuyết số, vật lý, xử lý tín hiệu, tổ hợp, lý thuyết xác suất, mật mã, thống kê, đại dương học, quang học, âm học, hình học và các lĩnh vực khác. Khả năng ứng dụng phong phú của nó dựa trên một số tính năng hữu ích, được gọi là "thuộc tính biến đổi Fourier". Hãy xem xét chúng.
1. Phép biến đổi hàm là một toán tử tuyến tính và, với sự chuẩn hóa thích hợp, là đơn nhất. Tính chất này được gọi là định lý Parseval, hay nói chung là định lý Plancherel, hoặc thuyết nhị nguyên của Pontryagin.
2. Sự biến đổi là thuận nghịch. Hơn nữa, kết quả ngược lại có dạng gần giống như trong giải pháp trực tiếp.
3. Biểu thức cơ sở hình sin là các hàm phân biệt riêng. Điều này có nghĩa là cách biểu diễn như vậy sẽ thay đổi các phương trình tuyến tính với hệ số không đổi thành các phương trình đại số thông thường.
4. Theo định lý "tích chập", quá trình này biến một phép toán phức tạp thành một phép nhân sơ cấp.
5. Biến đổi Fourier rời rạc có thể được tính toán nhanh chóng trên máy tính bằng phương pháp "nhanh".
Các loại biến đổi Fourier
1. Thông thường, thuật ngữ này được sử dụng để biểu thị một phép biến đổi liên tục cung cấp bất kỳ biểu thức tích phân bình phương nào dưới dạng tổng của các biểu thức hàm mũ phức tạp với các tần số và biên độ góc cụ thể. Loài này có một số dạng khác nhau, có thểkhác nhau bởi các hệ số không đổi. Phương pháp liên tục bao gồm một bảng chuyển đổi, có thể được tìm thấy trong các sách tham khảo toán học. Một trường hợp tổng quát là một phép biến đổi phân số, bằng cách đó quy trình đã cho có thể được nâng lên thành công suất thực cần thiết.
2. Chế độ liên tục là sự tổng quát của kỹ thuật đầu tiên của chuỗi Fourier được xác định cho các hàm hoặc biểu thức tuần hoàn khác nhau tồn tại trong một vùng giới hạn và biểu diễn chúng dưới dạng chuỗi hình sin.
3. Biến đổi Fourier rời rạc. Phương pháp này được sử dụng trong công nghệ máy tính để tính toán khoa học và xử lý tín hiệu số. Để thực hiện kiểu tính toán này, cần phải có các hàm xác định các điểm riêng lẻ, các vùng tuần hoàn hoặc giới hạn trên một tập hợp rời rạc thay vì các tích phân Fourier liên tục. Sự biến đổi tín hiệu trong trường hợp này được biểu diễn dưới dạng tổng của các hình sin. Đồng thời, việc sử dụng phương pháp “nhanh” giúp bạn có thể áp dụng các giải pháp rời rạc cho bất kỳ vấn đề thực tế nào.
4. Phép biến đổi Fourier có cửa sổ là một dạng tổng quát của phương pháp cổ điển. Ngược lại với giải pháp tiêu chuẩn, khi phổ tín hiệu được sử dụng, được sử dụng trong phạm vi đầy đủ của sự tồn tại của một biến nhất định, ở đây chỉ phân bố tần số cục bộ được quan tâm đặc biệt, với điều kiện là biến ban đầu (thời gian) được bảo toàn..
5. Phép biến đổi Fourier hai chiều. Phương pháp này được sử dụng để làm việc với mảng dữ liệu hai chiều. Trong trường hợp này, trước tiên chuyển đổi được thực hiện theo một hướng, sau đókhác.
Kết
Ngày nay, phương pháp Fourier đã được sử dụng vững chắc trong các lĩnh vực khoa học khác nhau. Ví dụ, vào năm 1962, hình dạng chuỗi xoắn kép DNA được phát hiện bằng cách sử dụng phân tích Fourier kết hợp với nhiễu xạ tia X. Sau đó tập trung vào các tinh thể của sợi DNA, kết quả là hình ảnh thu được do nhiễu xạ bức xạ được ghi lại trên phim. Hình ảnh này cung cấp thông tin về giá trị của biên độ khi sử dụng phép biến đổi Fourier cho một cấu trúc tinh thể nhất định. Dữ liệu pha thu được bằng cách so sánh bản đồ nhiễu xạ của DNA với bản đồ thu được từ việc phân tích các cấu trúc hóa học tương tự. Kết quả là, các nhà sinh vật học đã khôi phục lại cấu trúc tinh thể - chức năng ban đầu.
Biến đổi Fourier đóng một vai trò to lớn trong nghiên cứu không gian, vật lý bán dẫn và plasma, âm học vi sóng, hải dương học, radar, địa chấn học và khảo sát y tế.
