Định lý Pitago: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương chân

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-17 05:46

Mọi học sinh đều biết rằng bình phương của cạnh huyền luôn bằng tổng các chân của mỗi cạnh. Phát biểu này được gọi là định lý Pitago. Nó là một trong những định lý nổi tiếng nhất trong lượng giác và toán học nói chung. Hãy xem xét nó chi tiết hơn.

Khái niệm tam giác vuông

Trước khi xem xét định lý Pitago, trong đó bình phương cạnh huyền bằng tổng các chân của bình phương, chúng ta nên xem xét khái niệm và tính chất của tam giác vuông, theo đó định lý là hợp lệ.

Tam giác là hình phẳng có ba góc và ba cạnh. Một tam giác vuông, như tên gọi của nó, có một góc vuông, tức là, góc này là 90o.

Từ các tính chất chung cho tất cả các tam giác, người ta biết rằng tổng của cả ba góc của hình này là 180^o, có nghĩa là đối với một tam giác vuông thì tổng của hai góc không vuông góc là 180^o-90^o=90^o. Thực tế cuối cùng có nghĩa là bất kỳ góc nào trong tam giác vuông không phải là góc vuông sẽ luôn nhỏ hơn 90^o.

Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền. Hai cạnh còn lại là chân của tam giác, chúng có thể bằng nhau hoặc chênh lệch nhau. Từ lượng giác, người ta biết rằng góc mà một cạnh nằm trong tam giác càng lớn thì độ dài của cạnh này càng lớn. Điều này có nghĩa là trong một tam giác vuông cạnh huyền (nằm đối diện với góc 90^o) sẽ luôn lớn hơn bất kỳ chân nào (nằm đối diện với các góc < 90^o).

Ký hiệu toán học của định lý Pitago

Định lý này nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng của các chân, mỗi chân trước đó là bình phương. Để viết công thức này một cách toán học, hãy xem xét một tam giác vuông trong đó các cạnh a, b và c lần lượt là hai chân và cạnh huyền. Trong trường hợp này, định lý, được phát biểu là bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các chân, có thể được biểu diễn bằng công thức sau: c²=a 2^{+ b}2^{. Từ đây, có thể thu được các công thức khác quan trọng đối với thực hành: a=√ (c}2^{- b}2 ^{), b=√ (c}2^{- a}2 ^{) và c=√ (a}2^{+ b}2 ^).

Lưu ý rằng trong trường hợp tam giác đều cạnh vuông, nghĩa là a=b, công thức: bình phương cạnh huyền bằng tổng các chân, mỗi cạnhbình phương, được viết theo toán học là: c²=a²+ b²=2a^{2, ngụ ý đẳng thức: c=a√2.}

Bối cảnh lịch sử

Định lý Pitago, nói rằng bình phương của cạnh huyền bằng tổng của chân, mỗi chân là bình phương, đã được biết đến từ rất lâu trước khi nhà triết học nổi tiếng người Hy Lạp chú ý đến nó. Nhiều giấy papyri của Ai Cập cổ đại, cũng như những tấm bảng bằng đất sét của người Babylon, xác nhận rằng những dân tộc này đã sử dụng tính chất được chú ý là các cạnh của một tam giác vuông. Ví dụ, một trong những kim tự tháp đầu tiên của Ai Cập, Kim tự tháp Khafre, được xây dựng từ thế kỷ 26 trước Công nguyên (2000 năm trước cuộc đời của Pythagoras), được xây dựng dựa trên kiến thức về tỷ lệ khung hình trong một tam giác vuông 3x4x5.

Tại sao bây giờ định lý lại được đặt tên theo tiếng Hy Lạp? Câu trả lời rất đơn giản: Pythagoras là người đầu tiên chứng minh bằng toán học định lý này. Các tác phẩm còn sót lại của người Babylon và Ai Cập chỉ đề cập đến việc sử dụng nó, nhưng không đưa ra bất kỳ bằng chứng toán học nào.

Người ta tin rằng Pythagoras đã chứng minh định lý đang được xem xét bằng cách sử dụng các tính chất của các tam giác đồng dạng, mà ông thu được bằng cách vẽ chiều cao của một tam giác vuông từ góc 90otới cạnh huyền.

Một ví dụ về việc sử dụng định lý Pitago

Xét một bài toán đơn giản: cần xác định chiều dài L của một cầu thang nghiêng, nếu biết rằng nó có chiều cao H=3mét, và khoảng cách từ bức tường mà thang dựa vào chân của nó là P=2,5 mét.

Trong trường hợp này, H và P là chân, và L là cạnh huyền. Vì độ dài của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các chân nên ta nhận được: L²=H²+ P 2^{, khi đó L=√ (H}2^{+ P}2 ^{)=√ (3}2^{+ 2, 5}2 ^{)=3,905 mét hoặc 3 mét và 90,5 cm.}