Khi nghiên cứu các tính chất của phương trình bậc hai, một hạn chế đã được đặt ra - đối với một số phân biệt nhỏ hơn 0, không có nghiệm. Ngay lập tức người ta quy định rằng chúng ta đang nói về một tập hợp các số thực. Đầu óc ham học hỏi của một nhà toán học sẽ hứng thú - điều bí mật chứa đựng trong mệnh đề về giá trị thực là gì?
Theo thời gian, các nhà toán học đã đưa ra khái niệm về số phức, trong đó giá trị có điều kiện của căn bậc hai của trừ một được lấy làm đơn vị.
Bối cảnh lịch sử
Lý thuyết toán học phát triển tuần tự, từ đơn giản đến phức tạp. Hãy cùng tìm hiểu xem khái niệm "số phức" hình thành như thế nào và tại sao nó lại cần thiết.
Từ thời xa xưa, cơ sở của toán học là tài khoản thông thường. Các nhà nghiên cứu chỉ biết tập giá trị tự nhiên. Phép cộng và phép trừ rất đơn giản. Khi các mối quan hệ kinh tế trở nên phức tạp hơn, phép nhân bắt đầu được sử dụng thay vì cộng các giá trị giống nhau. Có một hoạt động ngược lạinhân - chia.
Khái niệm số tự nhiên hạn chế việc sử dụng các phép toán số học. Không thể giải tất cả các bài toán chia trên tập các giá trị nguyên. Làm việc với phân số trước hết dẫn đến khái niệm giá trị hữu tỉ, và sau đó là giá trị vô tỉ. Nếu đối với cái hợp lý có thể chỉ ra vị trí chính xác của điểm trên đoạn thẳng thì đối với cái không hợp lý thì không thể chỉ ra điểm đó. Bạn chỉ có thể ước tính khoảng thời gian. Sự kết hợp của các số hữu tỉ và vô tỉ tạo thành một tập thực, có thể được biểu diễn dưới dạng một dòng nhất định với tỉ lệ nhất định. Mỗi bước dọc theo đường thẳng là một số tự nhiên và giữa chúng là các giá trị hữu tỉ và vô tỉ.
Kỷ nguyên của toán học lý thuyết đã bắt đầu. Sự phát triển của thiên văn học, cơ học, vật lý học đòi hỏi lời giải của các phương trình ngày càng phức tạp hơn. Nói chung, nghiệm nguyên của phương trình bậc hai đã được tìm thấy. Khi giải một đa thức bậc ba phức tạp hơn, các nhà khoa học đã đi đến một mâu thuẫn. Khái niệm về căn bậc hai từ một phủ định có ý nghĩa, nhưng đối với căn bậc hai, ta có được sự không chắc chắn. Hơn nữa, phương trình bậc hai chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình bậc ba.
Năm 1545, J. Cardano người Ý đề xuất đưa ra khái niệm số ảo.
Số này là căn thứ hai của trừ một. Thuật ngữ số phức cuối cùng đã được hình thành chỉ ba trăm năm sau đó, trong các công trình của nhà toán học nổi tiếng Gauss. Ông đề xuất chính thức mở rộng tất cả các định luật đại số cho số ảo. Dòng thực đã được mở rộng thànhmáy bay. Thế giới rộng lớn hơn.
Khái niệm cơ bản
Nhắc lại một số hàm có giới hạn trên tập thực:
- y=arcsin (x), được xác định giữa âm và dương 1.
- y=ln (x), lôgarit thập phân có ý nghĩa với các đối số dương.
- căn bậc hai y=√x, chỉ được tính với x ≧ 0.
Ký hiệu i=√ (-1), chúng tôi đưa ra khái niệm như một số ảo, điều này sẽ loại bỏ tất cả các hạn chế khỏi miền định nghĩa của các hàm trên. Các biểu thức như y=arcsin (2), y=ln (-4), y=√ (-5) có ý nghĩa trong một số không gian của số phức.
Dạng đại số có thể được viết dưới dạng biểu thức z=x + i × y trên tập các giá trị thực x và y, và i2=-1.
Khái niệm mới loại bỏ tất cả các hạn chế đối với việc sử dụng bất kỳ hàm đại số nào và giống như một đồ thị của một đường thẳng trong tọa độ của các giá trị thực và ảo.
Mặt phẳng phức hợp
Dạng hình học của số phức cho phép chúng ta biểu diễn nhiều thuộc tính của chúng một cách trực quan. Trên trục Re (z), chúng ta đánh dấu các giá trị x thực, trên Im (z) - các giá trị ảo của y, khi đó điểm z trên mặt phẳng sẽ hiển thị giá trị phức cần thiết.
Định nghĩa:
- Re (z) - trục thực.
- Im (z) - nghĩa là trục ảo.
- z - điểm điều kiện của một số phức.
- Giá trị số của độ dài vectơ từ 0 đến z được gọi làmô-đun.
- Trục thực và trục ảo chia mặt phẳng thành các phần tư. Với một giá trị dương của tọa độ - I phần tư. Khi đối số của trục thực nhỏ hơn 0 và trục ảo lớn hơn 0 - phần tư II. Khi tọa độ âm - quý III. Phần tư cuối cùng, phần tư chứa nhiều giá trị thực dương và giá trị ảo âm.
Như vậy, trên một mặt phẳng với các giá trị tọa độ x và y, người ta luôn có thể hình dung một điểm của một số phức. Nhân vật tôi được giới thiệu để tách phần thực khỏi phần tưởng tượng.
Thuộc tính
- Khi giá trị của đối số ảo bằng 0, chúng ta chỉ nhận được một số (z=x), nằm trên trục thực và thuộc tập thực.
- Trường hợp đặc biệt khi giá trị của đối số thực trở thành 0, biểu thức z=i × y tương ứng với vị trí của điểm trên trục ảo.
- Dạng tổng quát của z=x + i × y sẽ dành cho các giá trị khác không của các đối số. Cho biết vị trí của điểm đặc trưng cho số phức ở một trong các phần tư.
Kí hiệu lượng giác
Nhắc lại hệ tọa độ cực và định nghĩa của các hàm lượng giác sin và cos. Rõ ràng là với sự trợ giúp của các chức năng này, có thể mô tả vị trí của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng. Để làm được điều này, chỉ cần biết chiều dài của chùm tia cực và góc nghiêng so với trục thực là đủ.
Định nghĩa. Một mục có dạng ∣z ∣ nhân với tổng của các hàm lượng giác cos (ϴ) và phần ảo i × sin (ϴ) được gọi là một số phức lượng giác. Ở đây ký hiệu là góc nghiêng so với trục thực
ϴ=arg (z) và r=∣z∣, chiều dài chùm tia.
Từ định nghĩa và tính chất của các hàm lượng giác, một công thức Moivre rất quan trọng sau:
zn=r × (cos (n × ϴ) + i × sin (n × ϴ)).
Sử dụng công thức này, rất thuận tiện để giải nhiều hệ phương trình chứa hàm lượng giác. Đặc biệt là khi vấn đề nâng lên thành quyền lực phát sinh.
Mô-đun và giai đoạn
Để hoàn thành mô tả về một tập hợp phức tạp, chúng tôi đề xuất hai định nghĩa quan trọng.
Biết định lý Pitago, ta dễ dàng tính được độ dài của chùm tia trong hệ tọa độ cực.
r=∣z∣=√ (x2+ y2), ký hiệu như vậy trên không gian phức được gọi là " mô-đun "và đặc trưng cho khoảng cách từ 0 đến một điểm trên mặt phẳng.
Góc nghiêng của chùm sáng phức so với đường thẳng thực ϴ thường được gọi là pha.
Định nghĩa cho thấy rằng phần thực và phần ảo được mô tả bằng cách sử dụng các hàm tuần hoàn. Cụ thể:
- x=r × cos (ϴ);
- y=r × sin (ϴ);
Ngược lại, pha liên quan đến các giá trị đại số thông qua công thức:
ϴ=arctan (x / y) + µ, hiệu chỉnh µ được giới thiệu để tính đến tính tuần hoàn của các hàm hình học.
Công thức Euler
Các nhà toán học thường sử dụng dạng lũy thừa. Số máy bay phức được viết dưới dạng biểu thức
z=r × ei×ϴ, theo sau công thức Euler.
Bản ghi này được sử dụng rộng rãi để tính toán thực tế các đại lượng vật lý. Hình thức trình bày theo mẫuSố phức theo cấp số nhân đặc biệt thuận tiện cho các tính toán kỹ thuật, khi cần tính toán các mạch có dòng điện hình sin và cần biết giá trị của tích phân của các hàm với một chu kỳ nhất định. Bản thân các phép tính đóng vai trò như một công cụ trong việc thiết kế các máy móc và cơ chế khác nhau.
Xác định các phép toán
Như đã lưu ý, tất cả các định luật đại số làm việc với các hàm toán học cơ bản đều áp dụng cho các số phức.
Phép toán tổng
Khi thêm các giá trị phức tạp, phần thực và phần ảo của chúng cũng được thêm vào.
z=z1+ z2trong đó z1và z2- số phức tổng quát. Biến đổi biểu thức, sau khi mở ngoặc và đơn giản hóa ký hiệu, chúng ta nhận được đối số thực x=(x1+ x2 ), đối số ảo y=(y 1+ y2).
Trên biểu đồ, nó giống như phép cộng hai vectơ, theo quy tắc hình bình hành đã biết.
Phép toán trừ
Được coi là trường hợp đặc biệt của phép cộng, khi một số là dương, số kia là âm, tức là nằm trong phần tư gương. Ký hiệu đại số giống như sự khác biệt giữa phần thực và phần ảo.
z=z1- z2hoặc, có tính đến giá trị của các đối số, tương tự như phép cộng hoạt động, chúng tôi thu được các giá trị thực x=(x1- x2) và ảo y=(y1- y2).
Phép nhân trên mặt phẳng phức
Sử dụng các quy tắc làm việc với đa thức, chúng tôi suy ra công thứcđể giải các số phức.
Tuân theo các quy tắc đại số tổng quát z=z1× z2, mô tả từng đối số và liệt kê các đối số tương tự. Phần thực và phần ảo có thể được viết như thế này:
- x=x1× x2- y1× y2,
- y=x1× y2+ x2× y1.
Sẽ đẹp hơn nếu chúng ta sử dụng các số phức theo cấp số nhân.
Biểu thức có dạng như sau: z=z1× z2=r1× eiϴ1× r2× e iϴ2=r1× r 2× ei ( ϴ1 +ϴ 2).
Đơn giản hơn, các mô-đun được nhân lên và các giai đoạn được thêm vào.
Bộ phận
Khi coi phép toán chia là nghịch đảo của phép nhân, chúng ta thu được một biểu thức đơn giản dưới dạng ký hiệu mũ. Chia giá trị z1cho z2là kết quả của việc chia môđun và độ lệch pha của chúng. Về mặt hình thức, khi sử dụng dạng lũy thừa của số phức, nó sẽ giống như sau:
z=z1/ z2=r1× eiϴ1/ r2× eiϴ2=r1/ r2 × ei (ϴ1-ϴ2).
Ở dạng ký hiệu đại số, phép toán chia các số trong mặt phẳng phức được viết phức tạp hơn một chút:
z=z1/ z2.
Mô tả các đối số và thực hiện các phép biến đổi đa thức, dễ dàng nhận được giá trịx=x1× x2+ y1× y2, tương ứng là y=x2× y1- x1× y2, tuy nhiên, trong không gian được mô tả, biểu thức này có ý nghĩa nếu z2≠ 0.
Giải nén tận gốc
Tất cả những điều trên có thể được áp dụng khi xác định các hàm đại số phức tạp hơn - nâng lên thành lũy thừa bất kỳ và nghịch đảo với nó - giải nén gốc.
Sử dụng khái niệm chung về nâng lên lũy thừa n, chúng ta nhận được định nghĩa:
zn=(r × eiϴ).
Sử dụng các thuộc tính chung, viết lại thành:
zn=rn× eiϴ.
Chúng tôi có một công thức đơn giản để nâng một số phức lên lũy thừa.
Từ định nghĩa của mức độ, chúng tôi nhận được một hệ quả rất quan trọng. Một lũy thừa chẵn của đơn vị ảo luôn bằng 1. Mọi lũy thừa của đơn vị ảo luôn là -1.
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu hàm nghịch đảo - giải nén tận gốc.
Để dễ ký hiệu, hãy lấy n=2. Căn bậc hai w của giá trị phức z trên mặt phẳng phức C được coi là biểu thức z=±, có giá trị đối với bất kỳ đối số thực nào lớn hơn hoặc bằng số không. Đối với w ≦ 0, không có giải pháp nào.
Hãy xem phương trình bậc hai đơn giản nhất z2=1. Sử dụng công thức số phức, viết lại r2× ei2ϴ=r2× ei2ϴ=ei0. Từ bản ghi có thể thấy rằng r2=1 và ϴ=0, do đó, chúng ta có một nghiệm duy nhất bằng 1. Nhưng điều này mâu thuẫn với quan điểm rằng z=-1 cũng phù hợp với định nghĩa của căn bậc hai.
Hãy tìm ra những gì chúng ta không tính đến. Nếu chúng ta nhớ lại ký hiệu lượng giác, thì chúng ta khôi phục lại phát biểu - với sự thay đổi tuần hoàn trong giai đoạn ϴ, số phức không thay đổi. Gọi p là giá trị của khoảng thời gian, khi đó ta có r2× ei2ϴ=e i(0 +p), khi đó 2ϴ=0 + p, hoặc ϴ=p / 2. Do đó, ei0=1 và ei p/ 2=-1. Chúng tôi đã nhận được giải pháp thứ hai, tương ứng với sự hiểu biết chung về căn bậc hai.
Vì vậy, để tìm một căn tùy ý của một số phức, chúng ta sẽ làm theo quy trình.
- Viết dưới dạng hàm mũ w=∣w∣ × ei( arg(w) +pk), k là số nguyên tùy ý.
- Số mong muốn cũng được biểu diễn ở dạng Euler z=r × eiϴ.
- Sử dụng định nghĩa chung của hàm khai thác gốc r ei ϴ=∣w∣ × ei(arg(w) +pk).
- Từ các tính chất chung của đẳng thức môđun và đối số, chúng ta viết rn=∣w∣ và nϴ=arg (w) + p × k.
- Bản ghi cuối cùng của căn số phức được mô tả bằng công thức z=√∣w∣ × ei( arg (w) +pk) / .
- Lưu ý. Giá trị của ∣w∣, theo định nghĩa,là một số thực dương, vì vậy gốc của bất kỳ mức độ nào cũng có ý nghĩa.
Trường và liên hợp
Tóm lại, chúng tôi đưa ra hai định nghĩa quan trọng ít có tầm quan trọng đối với việc giải các bài toán ứng dụng với số phức, nhưng rất cần thiết cho sự phát triển thêm của lý thuyết toán học.
Các biểu thức cộng và nhân được cho là tạo thành một trường nếu chúng thỏa mãn tiên đề cho bất kỳ phần tử nào của mặt phẳng phức z:
- Tổng phức không thay đổi vị trí của các thuật ngữ phức.
- Câu lệnh đúng - trong một biểu thức phức tạp, bất kỳ tổng nào của hai số đều có thể được thay thế bằng giá trị của chúng.
- Có một giá trị trung tính 0 mà z + 0=0 + z=z là đúng.
- Đối với bất kỳ z nào thì có một đối - z, phép cộng với nó cho không.
- Khi thay đổi vị trí của các yếu tố phức tạp, sản phẩm phức tạp không thay đổi.
- Phép nhân của hai số bất kỳ có thể được thay thế bằng giá trị của chúng.
- Có một giá trị trung tính 1, phép nhân với nó không làm thay đổi số phức.
- Với mọi z ≠ 0, có một nghịch đảo của z-1, nhân với 1.
- Nhân tổng của hai số với một phần ba tương đương với phép toán nhân từng số với số này và cộng các kết quả.
- 0 ≠ 1.
Các số z1=x + i × y và z2=x - i × y được gọi là liên hợp.
Định lý. Đối với phép chia, câu lệnh là đúng:
- Liên hợp của tổng bằng tổng của các phần tử liên hợp.
- Liên từ của sản phẩm làsản phẩm của liên hợp.
- Liên hợp của liên hợp bằng chính số.
Trong đại số tổng quát, các thuộc tính như vậy được gọi là tự động hóa trường.
Ví dụ
Tuân theo các quy tắc và công thức cho số phức, bạn có thể dễ dàng thao tác với chúng.
Hãy xem xét những ví dụ đơn giản nhất.
Bài toán 1. Sử dụng phương trình 3y +5 x i=15 - 7i, xác định x và y.
Quyết định. Nhắc lại định nghĩa phức bằng, khi đó 3y=15, 5x=-7. Do đó, x=-7 / 5, y=5.
Nhiệm vụ 2. Tính các giá trị 2 + i28và 1 + i135.
Quyết định. Rõ ràng, 28 là số chẵn, từ hệ quả của định nghĩa số phức theo lũy thừa ta có i28=1, nghĩa là biểu thức 2 + i28=3. Giá trị thứ hai, i135=-1, sau đó là 1 + i135=0.
Nhiệm vụ 3. Tính tích của các giá trị 2 + 5i và 4 + 3i.
Quyết định. Từ tính chất tổng quát của phép nhân số phức, ta thu được (2 + 5i) X (4 + 3i)=8 - 15 + i (6 + 20). Giá trị mới sẽ là -7 + 26i.
Nhiệm vụ 4. Tính nghiệm nguyên của phương trình z3=-i.
Quyết định. Có một số cách để tìm một số phức. Hãy xem xét một trong những điều có thể. Theo định nghĩa, ∣ - i∣=1, pha của -i là -p / 4. Phương trình ban đầu có thể được viết lại thành r3 ei3ϴ=e-p / 4 +pk, từ vị trí z=e-p / 12 +pk / 3, với bất kỳ số nguyên k.
Bộ lời giải có dạng (e-ip / 12,eip/ 4, ei2p / 3).
Tại sao chúng ta cần số phức
Lịch sử biết nhiều ví dụ khi các nhà khoa học, làm việc trên một lý thuyết, thậm chí không nghĩ đến ứng dụng thực tế của kết quả của họ. Toán học, trước hết, là một trò chơi của trí óc, là sự tuân thủ chặt chẽ các mối quan hệ nhân - quả. Hầu hết tất cả các cấu trúc toán học được rút gọn thành việc giải các phương trình tích phân và vi phân, và lần lượt những công thức đó, với một số phép tính gần đúng, được giải bằng cách tìm nghiệm nguyên của đa thức. Ở đây, trước tiên chúng ta gặp nghịch lý về những con số tưởng tượng.
Các nhà khoa học tự nhiên học, giải quyết các vấn đề hoàn toàn thực tế, sử dụng các giải pháp của các phương trình khác nhau, khám phá các nghịch lý toán học. Việc giải thích những nghịch lý này dẫn đến những khám phá hoàn toàn đáng kinh ngạc. Bản chất kép của sóng điện từ là một trong những ví dụ như vậy. Số phức đóng một vai trò quan trọng trong việc hiểu các thuộc tính của chúng.
Điều này, đến lượt nó, đã được ứng dụng thực tế trong quang học, điện tử vô tuyến, năng lượng và nhiều lĩnh vực công nghệ khác. Một ví dụ khác, các hiện tượng vật lý khó hiểu hơn nhiều. Phản vật chất đã được tiên đoán ở đầu bút. Và chỉ nhiều năm sau, những nỗ lực tổng hợp vật lý mới bắt đầu.
Đừng nghĩ rằng chỉ trong vật lý mới có những tình huống như vậy. Không ít khám phá thú vị được thực hiện trong động vật hoang dã, trong quá trình tổng hợp các đại phân tử, trong quá trình nghiên cứu trí tuệ nhân tạo. Và tất cả là nhờmở rộng nhận thức của chúng ta, rời xa các phép cộng và phép trừ đơn giản đối với các giá trị tự nhiên.
