Trong thế giới ngày nay, chúng ta ngày càng sử dụng nhiều loại xe hơi và thiết bị khác nhau. Và không chỉ khi cần áp dụng sức mạnh phi nhân tính: di chuyển tải, nâng nó lên cao, đào rãnh dài và sâu, v.v. Ô tô ngày nay được lắp ráp bởi rô bốt, thức ăn được chế biến bằng máy đa năng, và các phép tính số học cơ bản là thực hiện bởi máy tính. Ngày càng thường xuyên chúng ta nghe thấy biểu thức "đại số Boolean". Có lẽ đã đến lúc hiểu được vai trò của con người trong việc tạo ra robot và khả năng của máy móc giải quyết không chỉ các vấn đề toán học mà còn cả logic.
Logic
Dịch từ tiếng Hy Lạp, logic là một hệ thống tư duy có trật tự tạo ra các mối quan hệ giữa các điều kiện nhất định và cho phép bạn đưa ra kết luận dựa trên các tiền đề và giả định. Khá thường xuyên chúng tôi hỏi nhau: "Nó có logic không?" Câu trả lời nhận được xác nhận các giả định của chúng ta hoặc chỉ trích dòng suy nghĩ. Nhưng quá trình này không dừng lại: chúng tôi tiếp tục lý luận.
Đôi khi số lượng các điều kiện (mở đầu) quá lớn, và các mối quan hệ giữa chúng rất phức tạp và phức tạp đến nỗi bộ não con người không thể "tiêu hóa" tất cả mọi thứ cùng một lúc. Có thể mất hơn một tháng (tuần, năm) để hiểu điều gì đang xảy ra. Nhưngcuộc sống hiện đại không cho chúng ta những khoảng thời gian như vậy để đưa ra quyết định. Và chúng tôi nhờ đến sự trợ giúp của máy tính. Và đây là nơi logic đại số xuất hiện, với các định luật và tính chất riêng của nó. Bằng cách tải xuống tất cả dữ liệu ban đầu, chúng tôi cho phép máy tính nhận ra tất cả các mối quan hệ, loại bỏ mâu thuẫn và tìm ra giải pháp thỏa đáng.
Toán và Logic
Gottfried Wilhelm Leibniz nổi tiếng đã hình thành khái niệm "logic toán học", những vấn đề chỉ có thể hiểu được đối với một nhóm hẹp các nhà khoa học. Hướng này không khơi dậy được sự quan tâm đặc biệt và cho đến giữa thế kỷ 19, rất ít người biết về logic toán học.
Sự quan tâm lớn đến cộng đồng khoa học đã gây ra một cuộc tranh cãi trong đó người Anh George Boole tuyên bố ý định tạo ra một nhánh toán học hoàn toàn không có ứng dụng thực tế. Như chúng ta còn nhớ trong lịch sử, thời đó sản xuất công nghiệp đang rất phát triển, tất cả các loại máy móc phụ trợ và máy công cụ đang được phát triển, tức là tất cả các khám phá khoa học đều tập trung vào thực tiễn.
Nhìn về phía trước, hãy nói rằng đại số Boolean là phần toán học được sử dụng nhiều nhất trong thế giới hiện đại. Vì vậy, Bull đã thua trong cuộc tranh luận của mình.
George Buhl
Chính tính cách của tác giả đáng được quan tâm đặc biệt. Ngay cả khi xem xét rằng trong quá khứ những người lớn lên trước chúng ta, vẫn không thể không lưu ý rằng ở tuổi 16, J. Buhl đã dạy ở một trường làng và đến năm 20 tuổi, ông đã mở trường riêng của mình ở Lincoln. Nhà toán học thông thạo 5 ngoại ngữ và khi rảnh rỗi ông đọc các tác phẩmNewton và Lagrange. Và tất cả những điều này là về con trai của một người lao động giản dị!
Năm 1839, Boole lần đầu tiên gửi bài báo khoa học của mình cho Tạp chí Toán học Cambridge. Nhà khoa học 24 tuổi. Boole của công việc quan tâm đến các thành viên của Hiệp hội Hoàng gia mà vào năm 1844, ông đã nhận được một huy chương cho sự đóng góp của mình cho sự phát triển của phân tích toán học. Một số công trình được xuất bản khác, mô tả các yếu tố của logic toán học, đã cho phép nhà toán học trẻ tuổi nhận chức giáo sư tại Cork County College. Nhớ lại rằng bản thân Buhl không được học hành.
Tưởng
Về nguyên tắc, đại số Boolean rất đơn giản. Có những phát biểu (biểu thức logic), theo quan điểm của toán học, chỉ có thể được định nghĩa bằng hai từ: “đúng” hoặc “sai”. Ví dụ, vào mùa xuân cây cối nở hoa - sự thật, vào mùa hè tuyết rơi - một lời nói dối. Cái hay của phép toán này là không cần nghiêm ngặt chỉ sử dụng các con số. Bất kỳ câu lệnh nào có ý nghĩa rõ ràng đều khá phù hợp với các phán đoán đại số.
Vì vậy, đại số logic có thể được sử dụng theo nghĩa đen ở mọi nơi: lập lịch trình và viết hướng dẫn, phân tích thông tin mâu thuẫn về các sự kiện và xác định chuỗi hành động. Điều quan trọng nhất là hiểu rằng việc chúng ta xác định sự thật hay giả dối của tuyên bố hoàn toàn không quan trọng. Những "cách làm" và "lý do tại sao" này cần phải được trừu tượng hóa. Chỉ có tuyên bố về sự thật mới quan trọng: true-false.
Tất nhiên, đối với lập trình, các hàm của logic đại số rất quan trọng, được viết bởi hàm tương ứngdấu hiệu và ký hiệu. Và để học chúng có nghĩa là phải thông thạo một ngoại ngữ mới. Không có gì là không thể.
Các khái niệm và định nghĩa cơ bản
Không đi sâu, chúng ta hãy giải quyết các thuật ngữ. Vì vậy, đại số Boolean giả sử:
- câu lệnh;
- phép toán logic;
- chức năng và luật.
Câu lệnh là bất kỳ biểu thức khẳng định nào không thể được giải thích một cách mơ hồ. Chúng được viết dưới dạng số (5 > 3) hoặc được viết thành những từ quen thuộc (voi là loài động vật có vú lớn nhất). Đồng thời, cụm từ “hươu cao cổ không có cổ” cũng có quyền tồn tại, chỉ có đại số Boolean mới định nghĩa nó là “sai”.
Tất cả các câu lệnh phải rõ ràng, nhưng chúng có thể là câu lệnh cơ bản và kết hợp. Sau này sử dụng các kết nối hợp lý. Nghĩa là, trong đại số các phán đoán, các câu lệnh ghép được hình thành bằng cách thêm các câu lệnh cơ bản bằng các phép toán logic.
Phép toán đại số Boolean
Chúng ta đã nhớ rằng các phép toán trong đại số các phán đoán là logic. Cũng giống như đại số số sử dụng số học để cộng, trừ hoặc so sánh các số, các phần tử của logic toán học cho phép bạn đưa ra các câu lệnh phức tạp, phủ định hoặc tính toán kết quả cuối cùng.
Các phép toán logic để chính thức hóa và đơn giản hóa được viết bởi các công thức quen thuộc với chúng ta trong số học. Các tính chất của đại số Boolean giúp bạn có thể viết phương trình và tính toán các ẩn số. Các phép toán logic thường được viết bằng bảng chân trị. Cột của nóxác định các phần tử của phép tính và thao tác được thực hiện trên chúng và các dòng hiển thị kết quả của phép tính.
Các hành động logic cơ bản
Các phép toán phổ biến nhất trong đại số Boolean là phủ định (NOT) và logic AND và OR. Hầu hết tất cả các hành động trong đại số các phán đoán có thể được mô tả theo cách này. Hãy nghiên cứu chi tiết hơn từng thao tác trong số ba thao tác.
Phủ định (không) chỉ áp dụng cho một phần tử (toán hạng). Do đó, phép toán phủ định được gọi là một ngôi. Để viết khái niệm "không phải A", hãy sử dụng các ký hiệu sau: ¬A, A¯¯¯ hoặc! A. Ở dạng bảng, nó trông như thế này:
Hàm phủ định được đặc trưng bởi câu lệnh sau: nếu A đúng thì B sai. Ví dụ, Mặt trăng quay quanh Trái đất - sự thật; Trái đất quay quanh mặt trăng - sai.
Phép nhân và phép cộng hợp lý
AND logic được gọi là phép toán kết hợp. Nó có nghĩa là gì? Thứ nhất, nó có thể được áp dụng cho hai toán hạng, tức là và là một phép toán nhị phân. Thứ hai, điều đó chỉ trong trường hợp giá trị của cả hai toán hạng (cả A và B) thì bản thân biểu thức mới đúng. Câu tục ngữ "Kiên nhẫn và công việc sẽ mài giũa mọi thứ" cho thấy rằng chỉ có cả hai yếu tố này mới giúp một người đương đầu với khó khăn.
Các ký hiệu dùng để viết: A∧B, A⋅B hoặc A && B.
Phép ghép tương tự như phép nhân trong số học. Đôi khi họ nói rằng - phép nhân hợp lý. Nếu chúng ta nhân các phần tử của hàng trong bảng với hàng, chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự như suy luận logic.
Disjunction là một phép toán HOẶC logic. Nó mang giá trị của sự thậtkhi ít nhất một trong các câu là đúng (A hoặc B). Nó được viết như thế này: A∨B, A + B hoặc A || B. Các bảng sự thật cho các phép toán này là:
Phép cộng giống như phép cộng số học. Phép toán cộng hợp lý chỉ có một giới hạn: 1 + 1=1. Nhưng chúng ta nhớ rằng ở định dạng kỹ thuật số, logic toán học được giới hạn ở 0 và 1 (trong đó 1 là đúng, 0 là sai). Ví dụ, câu nói “trong viện bảo tàng, bạn có thể thấy một kiệt tác hoặc gặp một người đối thoại thú vị” có nghĩa là bạn có thể xem các tác phẩm nghệ thuật hoặc bạn có thể gặp một người thú vị. Đồng thời, không loại trừ khả năng cả hai sự kiện xảy ra đồng thời.
Chức năng và luật
Như vậy, chúng ta đã biết đại số Boolean sử dụng các phép toán logic nào. Các hàm mô tả tất cả các thuộc tính của các phần tử của logic toán học và cho phép bạn đơn giản hóa các điều kiện phức tạp của bài toán. Thuộc tính dễ hiểu và đơn giản nhất dường như là sự bác bỏ các phép toán dẫn xuất. Các phái sinh là OR, hàm ý và tương đương độc quyền. Vì chúng tôi chỉ nghiên cứu các phép toán cơ bản nên chúng tôi cũng sẽ chỉ xem xét các thuộc tính của chúng.
Tính liên kết có nghĩa là trong các câu lệnh như "và A, B và C", thứ tự của các toán hạng không quan trọng. Công thức được viết như thế này:
(A∧B) ∧V=A∧ (B∧V)=A∧B∧V, (A∨B) ∨C=A∨ (B∨C)=A∨B∨C.
Như bạn có thể thấy, đây là đặc điểm không chỉ của sự kết hợp mà còn là sự rời rạc.
Tính giao hoán nói rằng kết quảsự kết hợp hay sự kết hợp không phụ thuộc vào phần tử nào được xem xét đầu tiên:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Phân phối cho phép mở rộng dấu ngoặc trong các biểu thức logic phức tạp. Các quy tắc tương tự như mở ngoặc trong phép nhân và phép cộng trong đại số:
A∧ (B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B) ∧ (A∨B).
Các thuộc tính của một và không, có thể là một trong các toán hạng, cũng tương tự như phép nhân đại số với 0 hoặc một và phép cộng với một:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotency cho chúng ta biết rằng nếu, đối với hai toán hạng bằng nhau, kết quả của một phép toán trở nên giống nhau, thì chúng ta có thể "loại bỏ" các toán hạng thừa làm phức tạp quá trình lập luận. Cả hai phép toán kết hợp và tách biệt đều là các phép toán tổng hợp.
B∧B=B; B∨B=B.
Hấp thụ cũng cho phép chúng ta đơn giản hóa các phương trình. Sự hấp thụ nói rằng khi một phép toán khác với cùng một phần tử được áp dụng cho một biểu thức có một toán hạng, thì kết quả là toán hạng từ phép toán hấp thụ.
A∧B∨B=B; (A∨B) ∧B=B.
Trình tự các thao tác
Trình tự hoạt động có tầm quan trọng không nhỏ. Trên thực tế, đối với đại số, có một ưu tiên của các hàm mà đại số Boolean sử dụng. Các công thức chỉ có thể được đơn giản hóa nếu quan sát được tầm quan trọng của các phép toán. Xếp hạng từ quan trọng nhất đến ít nhất, chúng tôi nhận được chuỗi sau:
1. Từ chối.
2. Liên từ.
3. Disjunction, độc quyềnHOẶC.
4. Hàm ý, sự tương đương.
Như bạn có thể thấy, chỉ phủ định và kết hợp không có quyền ưu tiên ngang nhau. Và mức độ ưu tiên của disjunction và XOR là ngang nhau, cũng như các mức độ ưu tiên của hàm ý và tương đương.
Hàm ý và hàm tương đương
Như chúng ta đã nói, ngoài các phép toán logic cơ bản, logic toán học và lý thuyết thuật toán sử dụng các đạo hàm. Thông dụng nhất được sử dụng là hàm ý và tương đương.
Hàm ý, hay hệ quả logic, là một câu lệnh trong đó một hành động là điều kiện và hành động kia là hệ quả của việc thực hiện nó. Nói cách khác, đây là một câu có giới từ "if … then." "Nếu bạn thích đi xe, hãy thích mang xe trượt." Đó là, để trượt tuyết, bạn cần phải thắt chặt xe trượt lên đồi. Nếu không muốn di chuyển xuống núi, bạn không cần phải mang theo xe trượt tuyết. Nó được viết như thế này: A → B hoặc A⇒B.
Tương đương giả định rằng hành động kết quả chỉ xảy ra khi cả hai toán hạng đều đúng. Ví dụ, đêm biến thành ngày khi (và chỉ khi) mặt trời mọc ở đường chân trời. Theo ngôn ngữ logic toán học, câu lệnh này được viết như sau: A≡B, A⇔B, A==B.
Các định luật khác của đại số Boolean
Đại số các phán đoán đang phát triển và nhiều nhà khoa học quan tâm đã đưa ra các định luật mới. Định đề của nhà toán học người Scotland O. de Morgan được coi là nổi tiếng nhất. Ông nhận thấy và xác định các thuộc tính như phủ định gần, phần bù và phủ định kép.
Phủ định đóng có nghĩa là không có phủ định nào trước dấu ngoặc đơn:not (A or B)=not A or NOT B.
Khi một toán hạng bị phủ định, bất kể giá trị của nó, người ta nói về một phần bù:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Và cuối cùng, phủ định kép tự bù đắp cho chính nó. Những thứ kia. hoặc là phủ định biến mất trước toán hạng hoặc chỉ còn lại một.
Cách giải các bài kiểm tra
Lôgic toán học ngụ ý đơn giản hóa các phương trình đã cho. Cũng giống như trong đại số, trước tiên bạn phải tạo điều kiện càng dễ càng tốt (loại bỏ các đầu vào và phép toán phức tạp với chúng), sau đó bắt đầu tìm kiếm câu trả lời đúng.
Có thể làm gì để đơn giản hóa? Chuyển đổi tất cả các hoạt động bắt nguồn thành các hoạt động đơn giản. Sau đó, mở tất cả các dấu ngoặc (hoặc ngược lại, lấy nó ra khỏi dấu ngoặc để rút gọn phần tử này). Bước tiếp theo nên áp dụng các tính chất của đại số Boolean trong thực tế (độ hấp thụ, tính chất của 0 và 1, v.v.).
Cuối cùng, phương trình phải chứa số ẩn số tối thiểu được kết hợp bằng các phép toán đơn giản. Cách dễ nhất để tìm ra giải pháp là đạt được một số lượng lớn các phủ định gần giống nhau. Sau đó, câu trả lời sẽ bật lên như thể chính nó.
