Các thông số tuyến tính điển hình của bất kỳ kim tự tháp nào là độ dài các cạnh của đáy, chiều cao, các cạnh bên và các cạnh. Tuy nhiên, có một đặc điểm khác gắn liền với các thông số đã lưu ý - đây là góc nhị diện. Hãy xem xét trong bài viết nó là gì và cách tìm nó.
Kim tự tháp hình không gian
Mỗi học sinh đều có ý tưởng tốt về những gì đang bị đe dọa khi nghe từ "kim tự tháp". Nó có thể được xây dựng theo hình học như sau: chọn một đa giác nhất định, sau đó cố định một điểm trong không gian và nối nó với mỗi góc của đa giác. Hình ba chiều thu được sẽ là một kim tự tháp có kiểu tùy ý. Đa giác tạo thành nó được gọi là cơ sở và điểm mà tất cả các góc của nó được nối với nhau là đỉnh của hình. Hình bên dưới thể hiện một cách sơ đồ một kim tự tháp ngũ giác.
Có thể thấy rằng bề mặt của nó không chỉ được hình thành bởi một hình ngũ giác, mà còn bởi năm hình tam giác. Nói chung, số tam giác này sẽ bằng sốcác mặt của một cơ sở đa giác.
Góc nhị diện của hình
Khi các bài toán hình học được xét trên một mặt phẳng, một góc bất kỳ được tạo bởi hai đường thẳng hoặc đoạn thẳng cắt nhau. Trong không gian, các góc nhị diện được thêm vào các góc tuyến tính này, được tạo thành bởi giao tuyến của hai mặt phẳng.
Nếu áp dụng định nghĩa được đánh dấu của một góc trong không gian cho hình được đề cập, thì chúng ta có thể nói rằng có hai loại góc nhị diện:
- Ở đáy của kim tự tháp. Nó được tạo thành bởi mặt phẳng của đáy và bất kỳ mặt nào trong số các mặt bên (tam giác). Điều này có nghĩa là các góc ở đáy của hình chóp là n, với n là số cạnh của đa giác.
- Giữa các cạnh (hình tam giác). Số góc nhị diện này cũng là n cái.
Lưu ý rằng loại góc được xem xét đầu tiên được xây dựng trên các cạnh của đế, loại thứ hai - trên các cạnh bên.
Cách tính các góc của hình chóp?
Góc pháp tuyến của một góc nhị diện là số đo của góc sau. Không dễ dàng để tính toán nó, vì các mặt của hình chóp, không giống như các mặt của lăng trụ, không cắt nhau ở các góc vuông trong trường hợp chung. Đáng tin cậy nhất là tính giá trị của các góc nhị diện bằng cách sử dụng phương trình của mặt phẳng ở dạng tổng quát.
Trong không gian ba chiều, một mặt phẳng được cho bởi biểu thức sau:
Ax + By + Cz + D=0
Trong đó A, B, C, D là một số số thực. Sự tiện lợi của phương trình này là ba số được đánh dấu đầu tiên là tọa độ của vectơ,vuông góc với mặt phẳng đã cho, tức là:
n¯=[A; B; C]
Nếu biết tọa độ của ba điểm thuộc mặt phẳng, thì bằng cách lấy tích vectơ của hai vectơ dựng trên các điểm này, người ta có thể thu được tọa độ n¯. Vectơ n¯ được gọi là hướng của mặt phẳng.
Theo định nghĩa, góc nhị diện tạo bởi giao tuyến của hai mặt phẳng bằng góc pháp tuyến giữa các vectơ chỉ phương của chúng. Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng có vectơ pháp tuyến bằng nhau:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2]
Để tính góc φ giữa chúng, bạn có thể sử dụng thuộc tính tích vô hướng, sau đó công thức tương ứng trở thành:
φ=arccos (| (n1¯n2¯) | / (| n1¯ || n2¯ |))
Hoặc ở dạng phối hợp:
φ=arccos (| A1 A2+ B1 B2+ C1 C2| / (√ (A1 2+ B12+ C12 )√ (A22+ B22 + C22)))
Hãy trình bày cách sử dụng phương pháp trên để tính góc nhị diện khi giải các bài toán hình học.
Các góc của hình chóp tứ giác đều
Giả sử rằng có một hình chóp đều, ở đáy là một hình vuông có cạnh 10 cm. Chiều cao của hình đó là12 cm. Cần phải tính xem các góc của hai mặt ở đáy của hình chóp và các mặt của nó là bao nhiêu.
Vì hình cho trong điều kiện của bài toán là đúng, tức là nó có tính đối xứng cao nên tất cả các góc ở đáy đều bằng nhau. Các góc tạo bởi các mặt bên cũng giống nhau. Để tính các góc nhị diện cần thiết, chúng ta tìm các vectơ chỉ phương của mặt đáy và hai mặt phẳng bên. Biểu thị chiều dài của cạnh đế bằng chữ a và chiều cao h.
Hình trên cho thấy một hình chóp tứ giác đều. Hãy viết tọa độ của các điểm A, B, C và D theo hệ tọa độ đã nhập:
A (a / 2; -a / 2; 0);
B (a / 2; a / 2; 0);
C (-a / 2; a / 2; 0);
D (0; 0; h)
Bây giờ chúng ta tìm vectơ chỉ phương của mặt phẳng đáy ABC và hai cạnh ABD và BCD theo phương pháp được mô tả trong đoạn trên:
Đối với ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Đối với ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a / 2; a / 2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/ 2)
Đối với BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a / 2; -a / 2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/ 2)
Bây giờ vẫn là áp dụng công thức thích hợp cho góc φ và thay thế các giá trị cạnh và chiều cao từ câu lệnh bài toán:
Góc giữa ABC vàABD:
(n1¯n2¯)=a4/ 2; | n1¯ |=a2; | n2¯ |=a√ (h2+ a2/ 4);
φ=arccos (a4/ 2 / (a 2 a√ (h2 + a2/ 4)))=arccos (a / (2√ (h2+ a2 / 4)))=67, 38o
Góc giữa ABD và BDC:
(n2¯n3¯)=a4/ 4; | n2¯ |=a√ (h2+ a2/ 4); | n3¯ |=a√ (h2+ a2/ 4);
φ=arccos (a4/ (4a2 (h2+ a2/ 4))=arccos (a2/ (4(h2+ a 2/ 4)))=81, 49o
Chúng tôi đã tính toán các giá trị của các góc cần tìm theo điều kiện của bài toán. Các công thức thu được khi giải bài toán này có thể được sử dụng để xác định các góc của hình chóp tứ giác đều với bất kỳ giá trị nào của a và h.
Các góc của hình chóp tam giác đều
Hình bên dưới cho thấy một hình chóp có đáy là một tam giác đều. Biết rằng góc nhị diện giữa các mặt bên là góc vuông. Cần phải tính diện tích của / u200b / u200b phần cơ sở nếu biết rằng chiều cao của hình là 15 cm.
Một góc nhị diện bằng 90ođược ký hiệu là ABC trong hình. Bạn có thể giải quyết vấn đề bằng cách sử dụng phương pháp trên, nhưng trong trường hợp này chúng tôi sẽ làm điều đó dễ dàng hơn. Hãy biểu thị cạnh của tam giác a, chiều cao của hình - h, apothema - hbvà cạnhxương sườn - b. Bây giờ bạn có thể viết các công thức sau:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2/ 4;
b2=h2+ a2/ 3
Vì hai tam giác bên trong hình chóp bằng nhau nên các cạnh AB và CB bằng nhau và là chân của tam giác ABC. Hãy biểu thị độ dài của chúng bằng x, sau đó:
x=a / √2;
S=1/2ba / √2
Tính diện tích của các tam giác bên và thay apothem vào biểu thức tương ứng, ta có:
1/2ahb=1/2ba / √2=>
hb=b / √2;
b2=b2/ 2 + a2/ 4=>
b=a / √2;
a2/ 2=h2+ a2/ 3=>
a=h√6
Diện tích của một tam giác đều được tính như sau:
S=√3 / 4a2=3√3 / 2h2
Thay giá trị chiều cao vào điều kiện của bài toán, ta được đáp số: S=584, 567 cm2.
