Sinh viên thường gặp phải các bề mặt của bậc 2 trong năm đầu tiên. Lúc đầu, các nhiệm vụ về chủ đề này có vẻ đơn giản, nhưng khi bạn nghiên cứu toán học cao hơn và đi sâu vào khía cạnh khoa học, cuối cùng bạn có thể ngừng định hướng bản thân về những gì đang xảy ra. Để tránh điều này xảy ra, không chỉ cần ghi nhớ mà còn phải hiểu cách thu được bề mặt này hoặc bề mặt kia, cách thay đổi các hệ số ảnh hưởng đến nó và vị trí của nó so với hệ tọa độ ban đầu, và cách tìm một hệ thống mới. (một trong đó tâm của nó trùng với gốc tọa độ, và trục đối xứng song song với một trong các trục tọa độ). Hãy bắt đầu lại từ đầu.
Định nghĩa
GMT được gọi là bề mặt bậc 2, tọa độ của nó thỏa mãn phương trình tổng quát có dạng sau:
F (x, y, z)=0.
Rõ ràng là mỗi điểm thuộc bề mặt phải có ba tọa độ trong một số cơ sở được chỉ định. Mặc dù trong một số trường hợp, quỹ tích của các điểm có thể suy biến, chẳng hạn, thành một mặt phẳng. Điều đó chỉ có nghĩa là một trong các tọa độ là không đổi và bằng 0 trong toàn bộ dải giá trị có thể chấp nhận được.
Dạng sơn đầy đủ của bình đẳng được đề cập ở trên trông như thế này:
A11x2+ A22y2+ A33z2+ 2A12xy + 2A23 yz + 2A13xz + 2A14x + 2A24y + 2A 34z + A44=0.
Anm- một số hằng số, x, y, z - các biến tương ứng với tọa độ affine của một số điểm. Trong trường hợp này, ít nhất một trong các hệ số hằng số không được bằng 0, tức là không phải bất kỳ điểm nào cũng tương ứng với phương trình.
Trong phần lớn các ví dụ, nhiều yếu tố số vẫn giống nhau bằng 0 và phương trình được đơn giản hóa rất nhiều. Trong thực tế, việc xác định xem một điểm có thuộc một bề mặt hay không không khó (chỉ cần thay tọa độ của nó vào phương trình và kiểm tra xem có quan sát được danh tính hay không). Điểm mấu chốt trong công việc này là đưa cái sau về dạng chuẩn.
Phương trình được viết ở trên xác định bất kỳ (tất cả được liệt kê bên dưới) bề mặt của bậc 2. Chúng tôi sẽ xem xét các ví dụ bên dưới.
Các loại bề mặt của bậc 2
Phương trình của các bề mặt bậc 2 chỉ khác nhau về giá trị của các hệ số Anm. Từ quan điểm chung, đối với các giá trị nhất định của hằng số, có thể thu được các bề mặt khác nhau, được phân loại như sau:
- Xi lanh.
- Loại hình elip.
- Kiểu hyperbol.
- Loại hình nón.
- Kiểu parabol.
- Máy bay.
Mỗi dạng được liệt kê có dạng tự nhiên và dạng ảo: ở dạng ảo, quỹ tích của các điểm thực hoặc suy biến thành một hình đơn giản hơn hoặc hoàn toàn không có.
Xi lanh
Đây là kiểu đơn giản nhất, vì một đường cong tương đối phức tạp chỉ nằm ở phần gốc, hoạt động như một hướng dẫn. Máy phát điện là những đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mà cơ sở nằm trong đó.
Đồ thị cho hình trụ tròn, một trường hợp đặc biệt của hình trụ elip. Trong mặt phẳng XY, hình chiếu của nó sẽ là một hình elip (trong trường hợp của chúng tôi là hình tròn) - một hình hướng dẫn và trong XZ - một hình chữ nhật - vì các bộ tạo song song với trục Z. Để lấy nó từ phương trình tổng quát, bạn cần để cung cấp cho các hệ số các giá trị sau:
Thay vì các ký hiệu thông thường x, y, z, x bằng số sê-ri được sử dụng - không thành vấn đề.
Trên thực tế, 1 / a2và các hằng số khác được chỉ ra ở đây là các hệ số giống nhau được chỉ ra trong phương trình tổng quát, nhưng thông thường người ta viết chúng ở dạng này - đây là biểu diễn chính tắc. Hơn nữa, chỉ những ký hiệu như vậy sẽ được sử dụng.
Đây là cách xác định một hình trụ hypebol. Lược đồ cũng vậy - cường điệu sẽ là hướng dẫn.
y2=2px
Một hình trụ parabol được định nghĩa hơi khác: dạng chính tắc của nó bao gồm một hệ số p, được gọi là một tham số. Trên thực tế, hệ số bằng q=2p, nhưng theo thói quen người ta chia nó thành hai hệ số được trình bày.
Có một loại hình trụ khác: tưởng tượng. Không có điểm thực nào thuộc về một hình trụ như vậy. Nó được mô tả bằng phương trìnhhình trụ elip, nhưng thay vì đơn vị là -1.
Kiểu hình elip
Một ellipsoid có thể được kéo dài dọc theo một trong các trục (mà nó phụ thuộc vào giá trị của các hằng số a, b, c, được chỉ ra ở trên; rõ ràng là hệ số lớn hơn sẽ tương ứng với trục lớn hơn).
Ngoài ra còn có một ellipsoid tưởng tượng - với điều kiện là tổng các tọa độ nhân với các hệ số là -1:
Hyperboloids
Khi một dấu trừ xuất hiện ở một trong các hằng số, phương trình ellipsoid chuyển thành phương trình của một hyperboloid một trang tính. Cần phải hiểu rằng dấu trừ này không nhất thiết phải nằm trước tọa độ x3 ! Nó chỉ xác định trục nào sẽ là trục quay của hyperboloid (hoặc song song với nó, vì khi các số hạng bổ sung xuất hiện trong hình vuông (ví dụ: (x-2)2) tâm của hình dịch chuyển, kết quả là bề mặt chuyển động song song với các trục tọa độ). Điều này áp dụng cho tất cả các bề mặt đặt hàng thứ 2.
Bên cạnh đó, bạn cần hiểu rằng các phương trình được trình bày dưới dạng chính tắc và chúng có thể được thay đổi bằng cách thay đổi các hằng số (với dấu được giữ nguyên!); trong khi dạng của chúng (hyperboloid, hình nón, v.v.) sẽ không thay đổi.
Phương trình này đã được đưa ra bởi một hyperboloid hai trang tính.
Mặt nón
Không có đơn vị nào trong phương trình hình nón - bằng không.
Chỉ một mặt nón bị giới hạn được gọi là mặt nón. Hình dưới đây cho thấy trên thực tế, sẽ có hai cái gọi là hình nón trên biểu đồ.
Lưu ý quan trọng: trong tất cả các phương trình chính tắc được coi là, các hằng số được coi là dương theo mặc định. Nếu không, dấu hiệu có thể ảnh hưởng đến biểu đồ cuối cùng.
Các mặt phẳng tọa độ trở thành mặt phẳng đối xứng của hình nón, tâm đối xứng nằm tại gốc tọa độ.
Chỉ có điểm cộng trong phương trình hình nón tưởng tượng; nó sở hữu một điểm thực duy nhất.
Paraboloids
Các bề mặt của bậc 2 trong không gian có thể có các hình dạng khác nhau ngay cả với các phương trình tương tự. Ví dụ, có hai loại paraboloid.
x2/ a2+ y2/ b2=2z
Một paraboloid hình elip, khi trục Z vuông góc với hình vẽ, sẽ được chiếu thành một hình elip.
x2/ a2-y2/ b2=2z
Hình parabolic hyperbol: phần có mặt phẳng song song với ZY sẽ tạo ra parabol và phần có mặt phẳng song song với XY sẽ tạo ra hypebol.
Máy bay giao nhau
Có những trường hợp khi các bề mặt của bậc 2 suy biến thành một mặt phẳng. Những mặt phẳng này có thể được sắp xếp theo nhiều cách khác nhau.
Đầu tiên hãy xem xét các mặt phẳng giao nhau:
x2/ a2-y2/ b2=0
Việc sửa đổi phương trình chính tắc này chỉ tạo ra hai mặt phẳng cắt nhau (tưởng tượng!); tất cả các điểm thực đều nằm trên trục của tọa độ bị thiếu trong phương trình (trong hình chuẩn - trục Z).
Mặt phẳng song song
y2=a2
Khi chỉ có một tọa độ, các bề mặt của bậc 2 suy biến thành một cặp mặt phẳng song song. Hãy nhớ rằng, bất kỳ biến nào khác có thể thay thế cho Y; thì sẽ thu được các mặt phẳng song song với các trục khác.
y2=- a2
Trong trường hợp này, chúng trở thành tưởng tượng.
Máy bay trùng khớp
y2=0
Với một phương trình đơn giản như vậy, một cặp mặt phẳng suy biến thành một - chúng trùng nhau.
Đừng quên rằng trong trường hợp cơ sở ba chiều, phương trình trên không xác định đường thẳng y=0! Nó thiếu hai biến còn lại, nhưng điều đó chỉ có nghĩa là giá trị của chúng không đổi và bằng 0.
Tòa nhà
Một trong những nhiệm vụ khó khăn nhất đối với một sinh viên là xây dựng các bề mặt của bậc 2. Việc di chuyển từ một hệ tọa độ này sang một hệ tọa độ khác thậm chí còn khó hơn, với các góc của đường cong so với các trục và độ lệch của tâm. Hãy lặp lại cách xác định nhất quán khung cảnh tương lai của bản vẽ bằng một bản phân tíchcách.
Để xây dựng bề mặt thứ 2, bạn cần:
- đưa phương trình về dạng chính tắc;
- xác định loại bề mặt đang nghiên cứu;
- cấu tạo dựa trên các giá trị hệ số.
Dưới đây là tất cả các loại được xem xét:
Để củng cố, hãy mô tả chi tiết một ví dụ về loại nhiệm vụ này.
Ví dụ
Giả sử có một phương trình:
3 (x2-2x + 1) + 6y2+ 2z2+ 60y + 144=0
Hãy đưa nó về dạng chính tắc. Hãy để chúng tôi tách ra các bình phương đầy đủ, nghĩa là, chúng tôi sắp xếp các số hạng có sẵn theo cách mà chúng là khai triển của bình phương của tổng hoặc hiệu. Ví dụ: nếu (a + 1)2=a2+ 2a + 1 thì a2+ 2a + 1=(a + 1)2. Chúng tôi sẽ thực hiện hoạt động thứ hai. Trong trường hợp này, không cần thiết phải mở ngoặc, vì điều này sẽ chỉ làm phức tạp các tính toán, nhưng cần phải lấy ra thừa số chung 6 (trong ngoặc có bình phương đầy đủ của Y):
3 (x-1)2+ 6 (y + 5)2+ 2z2=6
Biến z chỉ xảy ra trong trường hợp này một lần - bạn có thể để yên cho nó ngay bây giờ.
Chúng ta phân tích phương trình ở giai đoạn này: tất cả các ẩn số đều được đặt trước dấu cộng; khi chia cho sáu, một vẫn còn. Do đó, chúng ta có một phương trình xác định một ellipsoid.
Lưu ý rằng 144 được tính thành 150-6, sau đó -6 được chuyển sang bên phải. Tại sao nó phải được thực hiện theo cách này? Rõ ràng, ước số lớn nhất trong ví dụ này là -6, do đó sau khi chia cho nómột bên trái ở bên phải, cần phải “hoãn lại” chính xác 6 từ 144 (thực tế là một bên phải ở bên phải được chỉ ra bởi sự hiện diện của một số hạng tự do - một hằng số không nhân với một ẩn số).
Chia mọi thứ cho sáu và nhận phương trình chính tắc của ellipsoid:
(x-1)2/ 2 + (y + 5)2/ 1 + z2/ 3=1
Trong phân loại bề mặt bậc 2 được sử dụng trước đây, một trường hợp đặc biệt được xem xét khi trọng tâm của hình nằm tại gốc tọa độ. Trong ví dụ này, nó là phần bù.
Chúng tôi giả định rằng mỗi dấu ngoặc có ẩn số là một biến mới. Nghĩa là: a=x-1, b=y + 5, c=z. Trong tọa độ mới, tâm của ellipsoid trùng với điểm (0, 0, 0), do đó, a=b=c=0, khi đó: x=1, y=-5, z=0. Trong tọa độ ban đầu, tâm của hình nằm tại điểm (1, -5, 0).
Ellipsoid sẽ được lấy từ hai hình elip: hình đầu tiên trong mặt phẳng XY và hình thứ hai trong mặt phẳng XZ (hoặc YZ - không thành vấn đề). Các hệ số mà các biến được chia sẽ được bình phương trong phương trình chính tắc. Do đó, trong ví dụ trên, sẽ đúng hơn nếu chia cho căn hai, một và căn ba.
Trục nhỏ của hình elip đầu tiên, song song với trục Y, là hai. Trục chính song song với trục x là hai gốc của hai. Trục nhỏ của hình elip thứ hai, song song với trục Y, vẫn giữ nguyên - nó bằng hai. Và trục chính, song song với trục Z, bằng hai gốc của ba.
Với sự trợ giúp của dữ liệu thu được từ phương trình ban đầu bằng cách chuyển đổi sang dạng chính tắc, chúng ta có thể vẽ một ellipsoid.
Tổng hợp
Được che trong bài viết nàychủ đề này khá rộng, nhưng trên thực tế, như bạn có thể thấy, không phức tạp lắm. Trên thực tế, sự phát triển của nó kết thúc vào thời điểm bạn ghi nhớ tên và phương trình của các bề mặt (và tất nhiên, chúng trông như thế nào). Trong ví dụ trên, chúng ta đã thảo luận chi tiết từng bước, nhưng việc đưa phương trình về dạng chính tắc yêu cầu kiến thức tối thiểu về toán học cao hơn và không gây bất kỳ khó khăn nào cho học sinh.
Phân tích lịch trình tương lai trên bình đẳng hiện tại đã là một nhiệm vụ khó khăn hơn. Nhưng đối với giải pháp thành công của nó, đủ để hiểu cách xây dựng các đường cong bậc hai tương ứng - hình elip, parabol và các đường khác.
Các trường hợp thoái hóa - một phần thậm chí còn đơn giản hơn. Do không có một số biến, không chỉ các phép tính được đơn giản hóa, như đã đề cập trước đó, mà còn cả bản thân cấu trúc.
Ngay sau khi bạn có thể tự tin đặt tên cho tất cả các loại bề mặt, thay đổi các hằng số, biến biểu đồ thành hình dạng này hoặc hình dạng khác - chủ đề sẽ được nắm vững.
Thành công trong học tập!
