Giải tích là một nhánh của phép tính nghiên cứu đạo hàm, vi phân và việc sử dụng chúng trong việc nghiên cứu một hàm số.
Lịch sử xuất hiện
Phép tính vi phân nổi lên như một bộ môn độc lập vào nửa sau thế kỷ 17, nhờ công của Newton và Leibniz, những người đã hình thành các quy định cơ bản trong phép tính vi phân và nhận thấy mối liên hệ giữa tích phân và phân biệt. Kể từ thời điểm đó, bộ môn đã phát triển cùng với phép tính tích phân, do đó hình thành cơ sở của giải tích toán học. Sự xuất hiện của các phép tính này đã mở ra một thời kỳ hiện đại mới trong thế giới toán học và gây ra sự xuất hiện của các bộ môn mới trong khoa học. Nó cũng mở rộng khả năng ứng dụng khoa học toán học trong khoa học tự nhiên và công nghệ.
Khái niệm cơ bản
Phép tính vi phân dựa trên các khái niệm cơ bản của toán học. Đó là: số thực, tính liên tục, hàm và giới hạn. Theo thời gian, chúng mang một diện mạo hiện đại, nhờ vào phép tính tích phân và vi phân.
Quá trình sáng tạo
Sự hình thành phép tính vi phân dưới dạng một ứng dụng, và sau đó là một phương pháp khoa học xảy ra trước khi xuất hiện một lý thuyết triết học, được tạo ra bởi Nicholas ở Cusa. Các công trình của ông được coi là một bước phát triển tiến hóa từ những nhận định của khoa học cổ đại. Mặc dù bản thân nhà triết học không phải là nhà toán học, nhưng đóng góp của ông cho sự phát triển của khoa học toán học là không thể phủ nhận. Kuzansky là một trong những người đầu tiên không coi số học là lĩnh vực khoa học chính xác nhất, khiến toán học thời đó bị nghi ngờ.
Các nhà toán học cổ đại sử dụng đơn vị như một tiêu chí phổ quát, trong khi nhà triết học đề xuất vô hạn như một thước đo mới thay vì số chính xác. Về mặt này, việc biểu diễn độ chính xác trong khoa học toán học bị đảo ngược. Theo ông, tri thức khoa học được chia thành duy lý và trí tuệ. Theo nhà khoa học, cách thứ hai chính xác hơn vì cách thứ nhất chỉ cho kết quả gần đúng.
Tưởng
Ý tưởng và khái niệm chính trong phép tính vi phân liên quan đến một hàm trong các vùng lân cận nhỏ của các điểm nhất định. Để làm được điều này, cần phải tạo ra một bộ máy toán học để nghiên cứu một hàm mà hành vi của nó trong một vùng lân cận nhỏ của các điểm được thiết lập gần với hành vi của một đa thức hoặc một hàm tuyến tính. Điều này dựa trên định nghĩa của đạo hàm và vi phân.
Sự xuất hiện của khái niệm đạo hàm là do một số lượng lớn các vấn đề từ khoa học tự nhiên và toán học,dẫn đến việc tìm giá trị của các giới hạn cùng loại.
Một trong những bài toán chính được đưa ra làm ví dụ bắt đầu từ trường trung học là xác định tốc độ của một điểm chuyển động dọc theo một đường thẳng và dựng một đường tiếp tuyến với đường cong này. Vi phân liên quan đến điều này, vì có thể tính gần đúng hàm trong một vùng lân cận nhỏ của điểm được xem xét của hàm tuyến tính.
So với khái niệm đạo hàm của một hàm của một biến số thực, định nghĩa vi phân chỉ đơn giản là chuyển cho một hàm có tính chất tổng quát, cụ thể là ảnh của một không gian Euclid này trên một không gian Euclide khác.
Phái sinh
Cho điểm chuyển động theo hướng của trục Oy, trong thời gian chúng ta lấy x, được tính từ một thời điểm bắt đầu nhất định. Chuyển động như vậy có thể được mô tả bằng hàm y=f (x), được gán cho mỗi thời điểm x của tọa độ điểm được di chuyển. Trong cơ học, hàm này được gọi là quy luật chuyển động. Đặc điểm chính của chuyển động, đặc biệt là không đều, là tốc độ tức thời. Khi một chất điểm chuyển động dọc theo trục Oy theo quy luật cơ học thì tại một thời điểm ngẫu nhiên x, nó có tọa độ f (x). Tại thời điểm x + Δx, trong đó Δx biểu thị thời gian tăng dần, tọa độ của nó sẽ là f (x + Δx). Đây là cách công thức Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) được hình thành, được gọi là số gia của hàm. Nó đại diện cho đường đi của điểm trong thời gian từ x đến x + Δx.
Do sự xuất hiện của điều nàyvận tốc tại thời điểm, đạo hàm được đưa vào. Trong một hàm tùy ý, đạo hàm tại một điểm cố định được gọi là giới hạn (giả sử nó tồn tại). Nó có thể được chỉ định bằng các ký hiệu nhất định:
f’(x), y’, ý, df / dx, dy / dx, Df (x).
Quá trình tính đạo hàm được gọi là phân biệt.
Phép tính vi phân của một hàm một số biến
Phương pháp tính toán này được sử dụng khi kiểm tra một hàm có nhiều biến. Khi có hai biến x và y, đạo hàm riêng đối với x tại điểm A được gọi là đạo hàm của hàm này đối với x với y cố định.
Có thể được biểu diễn bằng các ký tự sau:
f’(x) (x, y), u’ (x), ∂u / ∂x hoặc ∂f (x, y)’/ ∂x.
Kỹ năng cần thiết
Cần có kỹ năng tích hợp và phân hóa để học thành công và có khả năng giải các bài toán chênh lệch. Để dễ hiểu hơn về phương trình vi phân, bạn nên tìm hiểu kỹ về chủ đề đạo hàm và tích phân bất định. Nó cũng không có ích gì khi học cách tìm đạo hàm của một hàm đã cho ngầm định. Điều này là do trong quá trình học tích phân và phân hoá sẽ thường xuyên phải sử dụng đến.
Các loại phương trình vi phân
Trong hầu hết các đề thi liên quan đến phương trình vi phân cấp một, có 3 dạng phương trình: thuần nhất, có biến phân tách được, không thuần nhất tuyến tính.
Cũng có nhiều loại phương trình hiếm hơn: với tổng vi phân, phương trình Bernoulli và các phương trình khác.
Khái niệm cơ bản về quyết định
Đầu tiên, bạn nên nhớ các phương trình đại số từ khóa học ở trường. Chúng chứa các biến và số. Để giải một phương trình thông thường, bạn cần tìm một tập hợp các số thỏa mãn một điều kiện cho trước. Theo quy luật, các phương trình như vậy có một gốc và để kiểm tra tính đúng đắn, người ta chỉ có thể thay thế giá trị này cho giá trị chưa biết.
Phương trình vi phân tương tự như thế này. Nói chung, một phương trình bậc nhất như vậy bao gồm:
- Biến độc lập.
- Đạo hàm của hàm đầu tiên.
- Một hàm hoặc biến phụ thuộc.
Trong một số trường hợp, có thể thiếu một trong các ẩn số, x hoặc y, nhưng điều này không quá quan trọng, vì sự hiện diện của đạo hàm bậc nhất, không có đạo hàm bậc cao, là cần thiết cho nghiệm và vi phân phép tính đúng.
Để giải một phương trình vi phân có nghĩa là tìm tập hợp tất cả các hàm phù hợp với biểu thức đã cho. Tập hợp các hàm như vậy thường được gọi là nghiệm tổng quát của DE.
Phép tính tích phân
Tích phân là một trong những phần của giải tích toán học nghiên cứu khái niệm về tích phân, các tính chất và phương pháp tính của nó.
Thông thường, phép tính tích phân xảy ra khi tính diện tích của một hình cong. Diện tích này có nghĩa là giới hạn mà diện tích của một đa giác được ghi trong một hình nhất định có xu hướng tăng dần về cạnh của nó, trong khi các cạnh này có thể được tạo ra nhỏ hơn bất kỳ đa giác nào được chỉ định trước đógiá trị nhỏ.
Ý tưởng chính trong việc tính diện tích của một hình hình học tùy ý là tính diện tích của một hình chữ nhật, nghĩa là chứng minh rằng diện tích của nó bằng tích của chiều dài và chiều rộng. Khi nói đến hình học, tất cả các công trình được tạo ra bằng thước và compa, khi đó tỷ lệ chiều dài trên chiều rộng là một giá trị hợp lý. Khi tính diện tích của một tam giác vuông, bạn có thể xác định rằng nếu bạn đặt cùng một tam giác bên cạnh nó, thì một hình chữ nhật được tạo thành. Trong một hình bình hành, diện tích được tính bằng một phương pháp tương tự, nhưng phức tạp hơn một chút, thông qua một hình chữ nhật và một hình tam giác. Trong đa giác, diện tích được tính thông qua các hình tam giác có trong đó.
Khi xác định phần nhỏ của một đường cong tùy ý, phương pháp này sẽ không hoạt động. Nếu bạn chia nó thành các ô vuông đơn lẻ, thì sẽ có những chỗ không được lấp đầy. Trong trường hợp này, người ta cố gắng sử dụng hai tấm bìa, với hình chữ nhật ở trên và dưới, kết quả là chúng bao gồm đồ thị của hàm và không. Phương pháp phân vùng thành các hình chữ nhật này vẫn quan trọng ở đây. Ngoài ra, nếu chúng ta lấy các phân vùng ngày càng nhỏ, thì vùng trên và dưới sẽ hội tụ ở một giá trị nhất định.
Nên quay lại phương pháp chia thành các hình chữ nhật. Có hai phương pháp phổ biến.
Riemann chính thức hóa định nghĩa của tích phân do Leibniz và Newton tạo ra dưới dạng diện tích của một đồ thị con. Trong trường hợp này, các hình được xem xét, bao gồm một số hình chữ nhật đứng nhất định và thu được bằng cách chiabộ phận. Khi phân hoạch giảm, có giới hạn mà diện tích của một hình tương tự giảm đi, giới hạn này được gọi là tích phân Riemann của một hàm trên một khoảng nhất định.
Phương pháp thứ hai là xây dựng tích phân Lebesgue, bao gồm thực tế là để chia khu vực xác định thành các phần của tích phân và sau đó tính tổng tích phân từ các giá trị thu được trong các phần này, phạm vi giá trị của nó được chia thành các khoảng và sau đó được tổng hợp lại với các số đo tương ứng của các tích phân này.
Lợi ích hiện đại
Một trong những hướng dẫn chính để nghiên cứu phép tính vi phân và tích phân được viết bởi Fikhtengolts - "Khóa học về phép tính vi phân và tích phân". Sách giáo khoa của ông là hướng dẫn cơ bản để nghiên cứu phân tích toán học, đã trải qua nhiều lần xuất bản và dịch sang các ngôn ngữ khác. Được tạo ra cho sinh viên đại học và từ lâu đã được sử dụng trong nhiều cơ sở giáo dục như một trong những công cụ hỗ trợ học tập chính. Cung cấp dữ liệu lý thuyết và kỹ năng thực hành. Xuất bản lần đầu năm 1948.
Thuật toán nghiên cứu hàm
Để khảo sát một hàm bằng các phương pháp tính vi phân, bạn phải tuân theo thuật toán đã cho:
- Tìm phạm vi của một hàm.
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình đã cho.
- Tính cực trị. Để làm điều này, hãy tính đạo hàm và các điểm mà nó bằng 0.
- Thay giá trị kết quả vào phương trình.
Các loại phương trình vi phân
điều khiển bậc nhất (nếu không, vi saiphép tính biến đơn) và các loại của chúng:
- Phương trình tách: f (y) dy=g (x) dx.
- Phương trình đơn giản nhất hoặc phép tính vi phân của hàm một biến, có công thức: y '=f (x).
- DE bậc nhất không đồng nhất tuyến tính: y '+ P (x) y=Q (x).
- Phương trình vi phân Bernoulli: y '+ P (x) y=Q (x) ya.
- Phương trình với tổng vi phân: P (x, y) dx + Q (x, y) dy=0.
Phương trình vi phân bậc hai và các dạng của chúng:
- Phương trình vi phân thuần nhất tuyến tính bậc hai với các giá trị hệ số không đổi: y + py '+ qy=0 p, q thuộc R.
- Phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất tuyến tính với hệ số không đổi: y + py '+ qy=f (x).
- Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất: y + p (x) y '+ q (x) y=0 và phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất: y + p (x) y '+ q (x) y=f (x).
Phương trình vi phân bậc cao hơn và loại của chúng:
- Phương trình vi phân có thể rút gọn theo thứ tự: F (x, y(k), y(k + 1),.., y(n)=0.
- Phương trình thuần nhất bậc cao tuyến tính: y(n)+ f(n-1)y(n- 1)+… + f1y '+ f0y=0 và không đồng nhất: y(n)+ f(n-1)y(n-1)+… + f1 y '+ f0y=f (x).
Các bước giải bài toán với phương trình vi phân
Với sự trợ giúp của điều khiển từ xa, không chỉ các câu hỏi toán học hoặc vật lý được giải quyết mà còn các vấn đề khác nhau từsinh học, kinh tế học, xã hội học, v.v. Mặc dù có nhiều chủ đề khác nhau, người ta nên tuân thủ một trình tự hợp lý duy nhất khi giải quyết các vấn đề như vậy:
- Biên dịch điều khiển từ xa. Một trong những bước khó nhất đòi hỏi sự chính xác tối đa, vì bất kỳ sai sót nào cũng sẽ dẫn đến kết quả sai hoàn toàn. Cần tính đến tất cả các yếu tố ảnh hưởng đến quá trình và xác định các điều kiện ban đầu. Nó cũng phải dựa trên sự kiện và kết luận hợp lý.
- Nghiệm của phương trình đã lập. Quá trình này đơn giản hơn bước đầu tiên vì nó chỉ yêu cầu các phép tính toán học nghiêm ngặt.
- Phân tích và đánh giá kết quả. Giải pháp thu được phải được đánh giá để thiết lập giá trị thực tế và lý thuyết của kết quả.
Ví dụ về việc sử dụng phương trình vi phân trong y học
Việc sử dụng điều khiển từ xa trong lĩnh vực y học xảy ra khi xây dựng mô hình toán học dịch tễ học. Đồng thời, không nên quên rằng những phương trình này cũng được tìm thấy trong sinh học và hóa học, gần với y học, vì nghiên cứu các quần thể sinh học khác nhau và các quá trình hóa học trong cơ thể con người đóng một vai trò quan trọng trong đó.
Trong ví dụ trên về dịch bệnh, chúng ta có thể xem xét sự lây lan của bệnh nhiễm trùng trong một xã hội bị cô lập. Cư dân được chia thành ba loại:
- Bị nhiễm, số x (t), bao gồm các cá thể, người mang mầm bệnh, mỗi người đều dễ lây (thời gian ủ bệnh ngắn).
- Loại thứ hai bao gồmnhững người nhạy cảm y (t) có khả năng bị nhiễm bệnh khi tiếp xúc với những người bị nhiễm bệnh.
- Loài thứ ba bao gồm các cá thể miễn dịch z (t) miễn dịch hoặc đã chết do bệnh tật.
Số lượng cá thể không đổi, không tính đến tỷ lệ sinh, tử vong tự nhiên và di cư. Cốt lõi sẽ có hai giả thuyết.
Phần trăm tỷ lệ mắc bệnh tại một thời điểm nhất định là x (t) y (t) (dựa trên lý thuyết rằng số trường hợp tỷ lệ thuận với số lượng giao nhau giữa các đại diện bị bệnh và nhạy cảm, trong đó xấp xỉ sẽ tỷ lệ thuận với x (t) y (t)), liên quan đến điều này, số trường hợp tăng lên và số lượng nhạy cảm giảm với tốc độ được tính bằng công thức ax (t) y (t) (a > 0).
Số lượng cá thể miễn dịch đã trở thành miễn dịch hoặc chết đang tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với số trường hợp, bx (t) (b > 0).
Nhờ đó, bạn có thể lập một hệ phương trình có xét đến cả ba chỉ số và đưa ra kết luận dựa trên đó.
Ví dụ kinh tế học
Phép tính vi phân thường được sử dụng trong phân tích kinh tế. Nhiệm vụ chính trong phân tích kinh tế là nghiên cứu các đại lượng từ nền kinh tế, được viết dưới dạng một hàm. Điều này được sử dụng khi giải quyết các vấn đề như thay đổi thu nhập ngay sau khi tăng thuế, áp dụng thuế, thay đổi doanh thu của công ty khi chi phí sản xuất thay đổi, tỷ lệ công nhân nghỉ hưu có thể được thay thế bằng thiết bị mới. Để giải quyết những vấn đề như vậy, cầnxây dựng một hàm kết nối từ các biến đầu vào, sau đó được nghiên cứu bằng cách sử dụng phép tính vi phân.
Trong lĩnh vực kinh tế, người ta thường phải tìm ra các chỉ tiêu tối ưu nhất: năng suất lao động tối đa, thu nhập cao nhất, chi phí thấp nhất, v.v. Mỗi chỉ báo như vậy là một hàm của một hoặc nhiều đối số. Ví dụ, sản xuất có thể được xem như một hàm của đầu vào lao động và vốn. Về vấn đề này, việc tìm một giá trị phù hợp có thể được rút gọn thành việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm từ một hoặc nhiều biến.
Các bài toán kiểu này tạo ra một lớp các bài toán cực trị trong lĩnh vực kinh tế, giải pháp của chúng đòi hỏi phép tính vi phân. Khi một chỉ số kinh tế cần được thu nhỏ hoặc tối đa hóa như một hàm của một chỉ số khác, thì tại điểm tối đa, tỷ lệ gia số của hàm số so với các đối số sẽ có xu hướng bằng không nếu gia số của đối số có xu hướng bằng không. Ngược lại, khi tỷ lệ như vậy có xu hướng theo một giá trị âm hoặc dương nào đó, thì điểm được chỉ định sẽ không phù hợp, bởi vì bằng cách tăng hoặc giảm đối số, bạn có thể thay đổi giá trị phụ thuộc theo hướng cần thiết. Theo thuật ngữ của phép tính vi phân, điều này có nghĩa là điều kiện bắt buộc để có giá trị cực đại của một hàm là giá trị bằng không của đạo hàm của nó.
Trong kinh tế học, thường có các bài toán tìm cực trị của một hàm với một số biến số, bởi vì các chỉ số kinh tế được tạo thành từ nhiều yếu tố. Những câu hỏi như thế này là tốt. Nghiên cứu lý thuyết về hàm một số biến, áp dụng các phương pháp tính vi phân. Những vấn đề như vậy không chỉ bao gồm các chức năng tối đa hóa và tối thiểu hóa, mà còn cả các ràng buộc. Những câu hỏi như vậy liên quan đến lập trình toán học và chúng được giải quyết với sự trợ giúp của các phương pháp được phát triển đặc biệt, cũng dựa trên nhánh khoa học này.
Trong số các phương pháp tính vi phân được sử dụng trong kinh tế học, một phần quan trọng là phân tích cận biên. Trong lĩnh vực kinh tế, thuật ngữ này đề cập đến một tập hợp các phương pháp nghiên cứu các chỉ số biến đổi và kết quả khi thay đổi khối lượng tạo ra, tiêu dùng, dựa trên việc phân tích các chỉ số cận biên của chúng. Chỉ báo giới hạn là đạo hàm hoặc đạo hàm riêng với một số biến.
Phép tính vi phân của một số biến là một chủ đề quan trọng trong lĩnh vực phân tích toán học. Để nghiên cứu chi tiết, bạn có thể sử dụng nhiều sách giáo khoa khác nhau cho giáo dục đại học. Một trong những cái nổi tiếng nhất được tạo ra bởi Fikhtengolts - "Khóa học về phép tính vi phân và tích phân". Như tên của nó, các kỹ năng làm việc với tích phân có tầm quan trọng đáng kể để giải các phương trình vi phân. Khi phép tính vi phân của một hàm một biến xảy ra, giải pháp trở nên đơn giản hơn. Mặc dù, cần lưu ý, nó phải tuân theo các quy tắc cơ bản giống nhau. Để nghiên cứu một hàm trong thực tế bằng phép tính vi phân, chỉ cần tuân theo thuật toán đã có sẵn, được đưa ra ở trường trung học là đủ và chỉ hơi phức tạp khi thuật toán mới được đưa vào.biến.
