Năm 1900, một trong những nhà khoa học vĩ đại nhất của thế kỷ trước, David Hilbert, đã biên soạn một danh sách gồm 23 vấn đề chưa giải được trong toán học. Công trình nghiên cứu về chúng đã có tác động to lớn đến sự phát triển của lĩnh vực tri thức nhân loại. 100 năm sau, Viện Toán học Clay đã trình bày một danh sách gồm 7 bài toán được gọi là Bài toán Thiên niên kỷ. Mỗi người trong số họ được trao giải thưởng trị giá 1 triệu đô la.
Vấn đề duy nhất xuất hiện trong cả hai danh sách câu đố đã ám ảnh các nhà khoa học trong hơn một thế kỷ là giả thuyết Riemann. Cô ấy vẫn đang đợi quyết định của mình.
Ghi chú tiểu sử ngắn
Georg Friedrich Bernhard Riemann sinh năm 1826 tại Hannover, trong một gia đình đông con của một mục sư nghèo, và chỉ sống được 39 năm. Ông đã quản lý để xuất bản 10 tác phẩm. Tuy nhiên, khi còn sống, Riemann đã được coi là người kế vị của người thầy Johann Gauss. Ở tuổi 25, nhà khoa học trẻ đã bảo vệ luận án "Cơ bản về lý thuyết hàm của một biến số phức". Sau đó anh ấy đã xây dựnggiả thuyết nổi tiếng của mình.
Số nguyên tố
Toán học xuất hiện khi con người học đếm. Đồng thời, những ý tưởng đầu tiên về các con số đã nảy sinh, mà sau này họ đã cố gắng phân loại. Một số trong số chúng đã được quan sát thấy có các đặc tính chung. Đặc biệt, trong số các số tự nhiên, tức là, những số được sử dụng để đếm (đánh số) hoặc chỉ định số lượng đối tượng, một nhóm được phân biệt chỉ chia hết cho một và cho chính chúng. Chúng được gọi là đơn giản. Một bằng chứng tao nhã về định lý vô cực của tập hợp các số như vậy đã được Euclid đưa ra trong cuốn Elements của ông. Hiện tại, cuộc tìm kiếm của họ vẫn tiếp tục. Đặc biệt, số lớn nhất đã được biết đến là 274 207 281- 1.
Công thức Euler
Cùng với khái niệm về tính vô hạn của tập hợp các số nguyên tố, Euclid cũng xác định định lý thứ hai về sự phân rã duy nhất có thể thành thừa số nguyên tố. Theo nó, bất kỳ số nguyên dương nào cũng chỉ là tích của một tập hợp các số nguyên tố. Năm 1737, nhà toán học vĩ đại người Đức Leonhard Euler đã phát biểu định lý vô cực đầu tiên của Euclid dưới dạng công thức dưới đây.
Nó được gọi là hàm zeta, trong đó s là hằng số và p nhận tất cả các giá trị nguyên tố. Tuyên bố của Euclid về tính duy nhất của việc mở rộng được tiếp nối trực tiếp từ nó.
Riemann Zeta Chức năng
Công thức củaEuler, khi xem xét kỹ hơn, hoàn toàn làđáng ngạc nhiên vì nó xác định mối quan hệ giữa số nguyên tố và số nguyên. Rốt cuộc, vô số biểu thức chỉ phụ thuộc vào số nguyên tố được nhân ở bên trái của nó và tổng liên kết với tất cả các số nguyên dương nằm ở bên phải.
Riemann đã tiến xa hơn Euler. Để tìm ra chìa khóa cho vấn đề phân phối các số, ông đã đề xuất xác định một công thức cho cả biến thực và biến phức. Chính cô ấy sau đó đã nhận được tên của hàm zeta Riemann. Năm 1859, nhà khoa học xuất bản một bài báo có tựa đề "Về số lượng các số nguyên tố không vượt quá một giá trị nhất định", nơi ông tóm tắt tất cả các ý tưởng của mình.
Riemann đề xuất sử dụng dòng Euler, hội tụ cho bất kỳ s>1 thực nào. Nếu cùng một công thức được sử dụng cho phức s, thì chuỗi sẽ hội tụ với bất kỳ giá trị nào của biến này với phần thực lớn hơn 1. Riemann đã áp dụng quy trình tiếp tục giải tích, mở rộng định nghĩa của (các) zeta cho tất cả các số phức, nhưng "ném ra ngoài" đơn vị. Nó đã bị loại trừ vì tại s=1, hàm zeta tăng lên đến vô cùng.
Ý thức thực tế
Một câu hỏi hợp lý được đặt ra: tại sao hàm zeta, là chìa khóa trong nghiên cứu của Riemann về giả thuyết rỗng, lại thú vị và quan trọng? Như bạn đã biết, tại thời điểm hiện tại, không có mô hình đơn giản nào được xác định để mô tả sự phân bố các số nguyên tố giữa các số tự nhiên. Riemann đã có thể phát hiện ra rằng số pi (x) của các số nguyên tố không vượt quá x được biểu thị theo phân phối của các số 0 không nhỏ của hàm zeta. Hơn nữa, giả thuyết Riemann làmột điều kiện cần thiết để chứng minh ước tính thời gian cho hoạt động của một số thuật toán mật mã.
Giả thuyết Riemann
Một trong những công thức đầu tiên của bài toán này, chưa được chứng minh cho đến ngày nay, nghe có vẻ như sau: các hàm zeta 0 không tầm thường là các số phức với phần thực bằng ½. Nói cách khác, chúng nằm trên dòng Re s=½.
Ngoài ra còn có một giả thuyết Riemann tổng quát, cũng là phát biểu tương tự, nhưng để tổng quát hóa các hàm zeta, thường được gọi là các hàm Dirichlet L (xem ảnh bên dưới).
Trong công thức χ (n) - một số ký tự số (modulo k).
Tuyên bố Riemannian được coi là cái gọi là giả thuyết rỗng, vì nó đã được kiểm tra về tính nhất quán với dữ liệu mẫu hiện có.
Như Riemann đã lập luận
Nhận xét của nhà toán học người Đức ban đầu được nói ra một cách khá ngẫu nhiên. Thực tế là vào thời điểm đó nhà khoa học sẽ chứng minh định lý về sự phân bố của các số nguyên tố, và trong bối cảnh đó, giả thuyết này không có tầm quan trọng đặc biệt. Tuy nhiên, vai trò của nó trong việc giải quyết nhiều vấn đề khác là rất to lớn. Đó là lý do tại sao giả định của Riemann ngày nay được nhiều nhà khoa học công nhận là giả thiết quan trọng nhất trong số các vấn đề toán học chưa được chứng minh.
Như đã đề cập, giả thuyết Riemann đầy đủ là không cần thiết để chứng minh định lý phân phối và nó đủ để chứng minh một cách hợp lý rằng phần thực của bất kỳ số 0 không tầm thường nào của hàm zeta nằm trongtừ 0 đến 1. Từ tính chất này, tổng trên tất cả các 0 của hàm zeta xuất hiện trong công thức chính xác ở trên là một hằng số hữu hạn. Đối với các giá trị lớn của x, nó có thể bị mất hoàn toàn. Thành viên duy nhất của công thức được giữ nguyên ngay cả đối với x rất lớn là chính x. Các thuật ngữ phức tạp còn lại biến mất tiệm cận so với nó. Vì vậy, tổng trọng số có xu hướng x. Tình huống này có thể được coi là một sự xác nhận tính đúng của định lý về phân phối các số nguyên tố. Do đó, các số không của hàm Riemann zeta có một vai trò đặc biệt. Nó bao gồm việc chứng minh rằng các giá trị đó không thể đóng góp đáng kể vào công thức phân hủy.
Người theo dõi Riemann
Cái chết bi thảm vì bệnh lao đã không cho phép nhà khoa học này đưa chương trình của mình đến hồi kết hợp lý. Tuy nhiên, Sh-Zh đã tiếp quản anh ta. de la Vallée Poussin và Jacques Hadamard. Độc lập với nhau, họ suy ra một định lý về sự phân bố của các số nguyên tố. Hadamard và Poussin đã cố gắng chứng minh rằng tất cả các hàm 0 zeta không tầm thường đều nằm trong vùng quan trọng.
Nhờ công trình của các nhà khoa học này, một hướng mới trong toán học đã xuất hiện - lý thuyết giải tích các con số. Sau đó, các nhà nghiên cứu khác đã thu được một số chứng minh sơ khai hơn về định lý mà Riemann đang nghiên cứu. Đặc biệt, Pal Erdős và Atle Selberg thậm chí còn phát hiện ra một chuỗi logic rất phức tạp xác nhận nó mà không yêu cầu sử dụng các phân tích phức tạp. Tuy nhiên, đến thời điểm này, một sốđịnh lý, bao gồm xấp xỉ của nhiều hàm lý thuyết số. Về mặt này, công việc mới của Erdős và Atle Selberg thực tế không ảnh hưởng gì cả.
Một trong những bằng chứng đơn giản và đẹp nhất về vấn đề này đã được Donald Newman tìm ra vào năm 1980. Nó dựa trên định lý Cauchy nổi tiếng.
Giả thuyết Riemannian có đe dọa nền tảng của mật mã hiện đại không
Mã hóa dữ liệu phát sinh cùng với sự xuất hiện của chữ tượng hình, chính xác hơn, bản thân chúng có thể được coi là những mật mã đầu tiên. Hiện tại, có cả một lĩnh vực mật mã kỹ thuật số đang phát triển các thuật toán mã hóa.
Các số nguyên tố và "bán nguyên tố", tức là những số chỉ chia hết cho 2 số khác từ cùng một lớp, tạo thành cơ sở của hệ thống khóa công khai được gọi là RSA. Nó có ứng dụng rộng nhất. Đặc biệt, nó được sử dụng khi tạo chữ ký điện tử. Nói theo thuật ngữ có thể tiếp cận với hình nộm, giả thuyết Riemann khẳng định sự tồn tại của một hệ thống trong phân phối các số nguyên tố. Do đó, sức mạnh của các khóa mật mã, nơi phụ thuộc vào tính bảo mật của các giao dịch trực tuyến trong lĩnh vực thương mại điện tử, bị giảm đáng kể.
Các bài toán chưa giải khác
Rất đáng để kết thúc bài viết bằng cách dành một vài từ cho các mục tiêu thiên niên kỷ khác. Chúng bao gồm:
- Bằng nhau của các lớp P và NP. Bài toán được xây dựng như sau: nếu một câu trả lời khẳng định cho một câu hỏi cụ thể được kiểm tra trong thời gian đa thức, thì câu trả lời cho chính câu hỏi này có đúng khôngcó thể được tìm thấy một cách nhanh chóng?
- Phỏng đoán củaHodge. Nói một cách dễ hiểu, nó có thể được xây dựng như sau: đối với một số loại đại số xạ ảnh (không gian), chu trình Hodge là sự kết hợp của các đối tượng có cách diễn giải hình học, tức là chu trình đại số.
- Phỏng đoán củaPoincaré. Đây là Thử thách Thiên niên kỷ duy nhất đã được chứng minh cho đến nay. Theo nó, bất kỳ vật thể 3 chiều nào có các tính chất cụ thể của hình cầu 3 chiều phải là một hình cầu, có thể biến dạng.
- Khẳng định lý thuyết lượng tử của Yang - Mills. Cần phải chứng minh rằng lý thuyết lượng tử do các nhà khoa học này đưa ra cho không gian R4tồn tại và có khuyết tật khối lượng thứ 0 đối với bất kỳ nhóm máy đo nhỏ gọn đơn giản nào G.
- Giả thuyếtBirch-Swinnerton-Dyer. Đây là một vấn đề khác liên quan đến mật mã. Nó chạm vào các đường cong hình elip.
- Vấn đề về sự tồn tại và độ mượt của các giải pháp cho phương trình Navier-Stokes.
Bây giờ bạn đã biết giả thuyết Riemann. Nói một cách dễ hiểu, chúng tôi đã đưa ra một số Thách thức Thiên niên kỷ khác. Rằng họ sẽ được giải quyết hoặc nó sẽ được chứng minh rằng họ không có giải pháp là vấn đề thời gian. Hơn nữa, điều này khó có thể phải đợi quá lâu, vì toán học ngày càng sử dụng nhiều khả năng tính toán của máy tính. Tuy nhiên, không phải mọi thứ đều tuân theo công nghệ và trước hết, cần có trực giác và óc sáng tạo để giải quyết các vấn đề khoa học.
