Cách tìm tích của ma trận. Phép nhân ma trận. Tích vô hướng của ma trận. Tích của ba ma trận

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-17 05:46

Ma trận (bảng có phần tử số) có thể được sử dụng cho các phép tính khác nhau. Một số trong số chúng là phép nhân với một số, một vectơ, một ma trận khác, một số ma trận. Sản phẩm đôi khi không chính xác. Một kết quả sai lầm là kết quả của sự thiếu hiểu biết về các quy tắc để thực hiện các hành động tính toán. Hãy tìm cách thực hiện phép nhân.

Ma trận và số

Hãy bắt đầu với điều đơn giản nhất - nhân một bảng với các số với một giá trị cụ thể. Ví dụ, chúng ta có một ma trận A với các phần tử a_ij(i là số hàng và j là số cột) và số e. Tích của ma trận với số e sẽ là ma trận B với các phần tử b_ij, được tìm thấy bởi công thức:

b_ij=e × a_ij.

T. e. để lấy phần tử b₁₁bạn cần lấy phần tử a₁₁và nhân nó với số mong muốn, để được b₁₂cần phải tìm tích của phần tử a₁₂và số e, v.v.

Hãy giải quyết vấn đề số 1 được trình bày trong hình. Để có ma trận B, chỉ cần nhân các phần tử từ A với 3:

1. a₁₁× 3=18. Chúng ta viết giá trị này vào ma trận B tại vị trí cột số 1 và hàng số 1 giao nhau.
2. a₂₁× 3=15. Chúng ta có phần tử b₂₁.
3. a₁₂× 3=-6. Chúng tôi đã nhận được phần tử b₁₂. Chúng tôi viết nó vào ma trận B tại nơi cột2 và hàng1 giao nhau.
4. a₂₂× 3=9. Kết quả này là phần tử b₂₂.
5. a₁₃× 3=12. Nhập số này vào ma trận thay cho phần tử b₁₃.
6. a₂₃× 3=-3. Số cuối cùng nhận được là phần tử b₂₃.

Như vậy, chúng ta có một mảng hình chữ nhật với các phần tử số.

18	–6	12
15	9	–3

Vectơ và điều kiện tồn tại của tích các ma trận

Trong các ngành toán học, có một thứ gọi là "vectơ". Thuật ngữ này đề cập đến một tập hợp các giá trị có thứ tự từ₁đến . Chúng được gọi là tọa độ không gian vectơ và được viết dưới dạng cột. Ngoài ra còn có thuật ngữ "vectơ chuyển vị". Các thành phần của nó được sắp xếp như một chuỗi.

Vectơ có thể được gọi là ma trận:

• vectơ cột là một ma trận được xây dựng từ một cột;
• hàng vectơ là ma trận chỉ bao gồm một hàng.

Khi hoàn thànhtrên ma trận của các phép toán nhân, điều quan trọng cần nhớ là có một điều kiện cho sự tồn tại của một tích. Hành động tính toán A × B chỉ có thể được thực hiện khi số cột trong bảng A bằng số hàng trong bảng B. Ma trận kết quả thu được từ phép tính luôn có số hàng trong bảng A và số cột trong bảng B.

Khi nhân, không nên sắp xếp lại các ma trận (cấp số nhân). Tích của chúng thường không tương ứng với quy luật giao hoán (độ dời) của phép nhân, tức là kết quả của phép toán A × B không bằng kết quả của phép toán B × A. Đặc điểm này được gọi là tính không giao hoán của tích của ma trận. Trong một số trường hợp, kết quả của phép nhân A × B bằng kết quả của phép nhân B × A, tức là tích là giao hoán. Ma trận mà đẳng thức A × B=B × A giữ được gọi là ma trận hoán vị. Xem ví dụ về các bảng như vậy bên dưới.

Phép nhân với vectơ cột

Khi nhân ma trận với vectơ cột, chúng ta phải tính đến điều kiện tồn tại của tích. Số cột (n) trong bảng phải khớp với số tọa độ tạo nên vectơ. Kết quả của phép tính là vectơ được biến đổi. Số tọa độ của nó bằng số dòng (m) từ bảng.

Tọa độ của vectơ y được tính như thế nào nếu có ma trận A và vectơ x? Đối với các tính toán được tạo công thức:

y₁=a₁₁x₁+ a_{12 x}2_{+… + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁+ a₂₂x₂+… + a 2n_x , …………………………………, y_m=a_m1x₁+ a_{m2 x}2_{+… + a}mn_x , trong đó x₁,…, x là tọa độ từ vector x, m là số hàng trong ma trận và số tọa độ trong vectơ y- mới, n là số cột trong ma trận và số tọa độ trong vectơ x, a₁₁, a_{12,…, a}mn - các phần tử của ma trận A.

Vì vậy, để có được thành phần thứ i của vectơ mới, tích vô hướng được thực hiện. Vectơ hàng thứ i được lấy từ ma trận A và nó được nhân với vectơ có sẵn x.

Hãy giải bài toán số 2. Bạn có thể tìm tích của ma trận và vectơ vì A có 3 cột và x gồm 3 tọa độ. Kết quả là, chúng ta sẽ nhận được một vector cột có 4 tọa độ. Hãy sử dụng các công thức trên:

1. Tính y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Giá trị cuối cùng là 2.
2. Tính y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Khi tính toán, ta nhận được 0.
3. Tính y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Tổng các sản phẩm của các yếu tố được chỉ định là 6.
4. Tính y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Tọa độ là -8.

Phép nhân ma trận-vectơ hàng

Bạn không thể nhân một ma trận có nhiều cột với một vectơ hàng. Trong những trường hợp đó, điều kiện tồn tại của tác phẩm không được thoả mãn. Nhưng có thể nhân một vectơ hàng với một ma trận. Cái nàyhoạt động tính toán được thực hiện khi số tọa độ trong vectơ và số hàng trong bảng khớp với nhau. Kết quả của tích của một vectơ và một ma trận là một vectơ hàng mới. Số tọa độ của nó phải bằng số cột trong ma trận.

Tính toán tọa độ đầu tiên của một vectơ mới bao gồm việc nhân vectơ hàng và vectơ cột đầu tiên từ bảng. Tọa độ thứ hai được tính theo cách tương tự, nhưng thay vì vector cột đầu tiên, vector cột thứ hai được lấy. Đây là công thức chung để tính tọa độ:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂+… + a_mkx_m, trong đó y_klà một tọa độ từ vectơ y, (k nằm trong khoảng từ 1 đến n), m là số hàng trong ma trận và số tọa độ trong vectơ x, n là số cột trong ma trận và số tọa độ trong vectơ y, a với các chỉ số chữ và số là các phần tử của ma trận A.

Tích của ma trận hình chữ nhật

Tính toán này có vẻ phức tạp. Tuy nhiên, phép nhân dễ dàng được thực hiện. Hãy bắt đầu với một định nghĩa. Tích của ma trận A với m hàng và n cột và ma trận B với n hàng và p cột là ma trận C có m hàng và p cột, trong đó phần tử c_ijlà tổng các tích của các phần tử ở hàng thứ i từ bảng A và cột thứ j từ bảng B. Nói một cách đơn giản hơn, phần tử c_ijlà tích vô hướng của hàng thứ i vectơ từ bảng A và vectơ cột thứ j từ bảng B.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu trong thực tế cách tìm tích của ma trận hình chữ nhật. Hãy giải quyết vấn đề số 3. Điều kiện cho sự tồn tại của một sản phẩm được thỏa mãn. Hãy bắt đầu tính toán các phần tử c_ij:

1. Ma trận C sẽ có 2 hàng và 3 cột.
2. Tính phần tử c₁₁. Để làm điều này, chúng tôi thực hiện tích vô hướng của hàng số 1 từ ma trận A và cột số 1 từ ma trận B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Sau đó, chúng ta tiến hành theo cách tương tự, chỉ thay đổi hàng, cột (tùy thuộc vào chỉ số phần tử).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Các phần tử được tính toán. Bây giờ nó chỉ còn để tạo một khối hình chữ nhật gồm các số đã nhận.

16	12	9
31	18	36

Nhân ba ma trận: phần lý thuyết

Bạn có thể tìm thấy tích của ba ma trận không? Hoạt động tính toán này là khả thi. Kết quả có thể thu được bằng nhiều cách. Ví dụ: có 3 bảng vuông (theo cùng một thứ tự) - A, B và C. Để tính sản phẩm, bạn có thể:

1. Nhân A và B trước. Sau đó nhân kết quả với C.
2. Đầu tiên tìm tích của B và C. Sau đó nhân ma trận A với kết quả.

Nếu bạn cần nhân ma trận hình chữ nhật, thì trước tiên bạn cần đảm bảo rằng phép tính này có thể thực hiện được. Nêntồn tại các sản phẩm A × B và B × C.

Nhân_số_tăng_số không sai. Có một thứ gọi là "tính liên kết của phép nhân ma trận". Thuật ngữ này đề cập đến đẳng thức (A × B) × C=A × (B × C).

Thực hành nhân ba ma trận

Ma trận vuông

Bắt đầu bằng cách nhân các ma trận vuông nhỏ. Hình dưới đây cho thấy vấn đề số 4 mà chúng ta phải giải quyết.

Chúng tôi sẽ sử dụng thuộc tính liên kết. Đầu tiên, chúng ta nhân A và B, hoặc B và C. Chúng ta chỉ nhớ một điều: bạn không thể hoán đổi các thừa số, nghĩa là, bạn không thể nhân B × A hoặc C × B. Với phép nhân này, chúng ta sẽ nhận được kết quả sai.

Tiến độ quyết định.

Bước một. Để tìm tích chung, trước tiên chúng ta nhân A với B. Khi nhân hai ma trận, chúng ta sẽ được hướng dẫn bởi các quy tắc đã được nêu ở trên. Vì vậy, kết quả của phép nhân A và B sẽ là một ma trận D có 2 hàng và 2 cột, tức là một mảng hình chữ nhật sẽ bao gồm 4 phần tử. Hãy tìm chúng bằng cách thực hiện phép tính:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Kết quả trung gian đã sẵn sàng.

30	10
15	16

Bước hai. Bây giờ chúng ta hãy nhân ma trận D với ma trận C. Kết quả sẽ là một ma trận vuông G có 2 hàng và 2 cột. Tính toán các phần tử:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Như vậy, kết quả của tích các ma trận vuông là một bảng G với các phần tử được tính toán.

250	180
136	123

Ma trận hình chữ nhật

Hình bên dưới cho thấy bài toán số 5. Yêu cầu nhân các ma trận hình chữ nhật và tìm ra lời giải.

Hãy kiểm tra xem điều kiện tồn tại của các sản phẩm A × B và B × C. có thỏa mãn hay không. Thứ tự của các ma trận được chỉ định cho phép chúng ta thực hiện phép nhân. Hãy bắt đầu giải quyết vấn đề.

Tiến độ quyết định.

Bước một. Nhân B với C để được D. Ma trận B có 3 hàng và 4 cột, và ma trận C có 4 hàng và 2 cột. Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ nhận được một ma trận D với 3 hàng và 2 cột. Hãy tính toán các phần tử. Đây là 2 ví dụ tính toán:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Chúng tôi tiếp tục giải quyết vấn đề. Kết quả của các phép tính tiếp theo, chúng tôi tìm thấy các giá trị d₂₁, d₂ 2, d₃₁và d₃₂. Các phần tử này lần lượt là 0, 19, 1 và 11. Hãy viết các giá trị tìm được vào một mảng hình chữ nhật.

0	7
0	19
1	11

Bước hai. Nhân A với D để được ma trận cuối cùng F. Nó sẽ có 2 hàng và 2 cột. Tính toán các phần tử:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Soạn một mảng hình chữ nhật, là kết quả cuối cùng của phép nhân ba ma trận.

1	139
3	52

Giới thiệu về công việc trực tiếp

Vật liệu khá khó hiểu là sản phẩm Kronecker của các ma trận. Nó còn có một tên bổ sung - tác phẩm trực tiếp. Thuật ngữ này có nghĩa là gì? Giả sử chúng ta có bảng A thứ tự m × n và bảng B thứ tự p × q. Tích trực tiếp của ma trận A và ma trận B là ma trận bậc mp × nq.

Ta có 2 ma trận vuông A, B như hình bên. Cái đầu tiên có 2 cột và 2 hàng, và cái thứ hai có 3 cột và 3 hàng. Chúng ta thấy rằng ma trận kết quả từ sản phẩm trực tiếp bao gồm 6 hàng và số cột chính xác như nhau.

Các phần tử của ma trận mới được tính như thế nào trong một sản phẩm trực tiếp? Tìm câu trả lời cho câu hỏi này là rất dễ dàng nếu bạn phân tích bức tranh. Đầu tiên điền vào dòng đầu tiên. Lấy phần tử đầu tiên từ hàng trên cùng của bảng A và nhân tuần tự với các phần tử của hàng đầu tiêntừ bảng B. Tiếp theo, lấy phần tử thứ hai của hàng đầu tiên của bảng A và nhân liên tiếp với các phần tử của hàng đầu tiên của bảng B. Để điền vào hàng thứ hai, lấy lại phần tử đầu tiên từ hàng đầu tiên của bảng A và nhân nó với các phần tử của hàng thứ hai trong bảng B.

Ma trận cuối cùng thu được bằng sản phẩm trực tiếp được gọi là ma trận khối. Nếu chúng ta phân tích lại hình, chúng ta có thể thấy rằng kết quả của chúng ta bao gồm 4 khối. Tất cả chúng đều bao gồm các phần tử của ma trận B. Ngoài ra, một phần tử của mỗi khối được nhân với một phần tử cụ thể của ma trận A. Trong khối đầu tiên, tất cả các phần tử được nhân với một₁₁, trong thứ hai - bởi một_{12, trong thứ ba - trên một}21_{, trong thứ tư - trên một}22.

Yếu tố quyết định sản phẩm

Khi xem xét chủ đề về phép nhân ma trận, nên coi một thuật ngữ như là “định thức của tích các ma trận”. Một yếu tố quyết định là gì? Đây là một đặc tính quan trọng của ma trận vuông, một giá trị nào đó được gán cho ma trận này. Ký hiệu theo nghĩa đen của định thức là det.

Đối với ma trận A gồm hai cột và hai hàng, định thức rất dễ tìm. Có một công thức nhỏ là sự khác biệt giữa các sản phẩm của các nguyên tố cụ thể:

det A=a₁₁× a₂₂- a₁₂× a₂₁.

Hãy xem xét một ví dụ về tính định thức cho bảng bậc hai. Có một ma trận A trong đó a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 và a 22_{=1. Để tính định thức, sử dụng công thức:}

det A=2 × 1 - 3 × 5=2 - 15=–13.

Đối với ma trận 3 × 3, định thức được tính bằng một công thức phức tạp hơn. Nó được trình bày dưới đây cho ma trận A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃+ a_{12 a}23_a31_{+ a}13_a21_{a 32}- a₁₃a₂₂a₃₁- a₁₁a₂₃a₃₂- a₁₂a₂₁a₃₃.

Để ghi nhớ công thức, chúng tôi đã đưa ra quy tắc tam giác, được minh họa trong hình. Đầu tiên, các yếu tố của đường chéo chính được nhân lên. Tích của các phần tử đó được chỉ ra bởi các góc của tam giác với các cạnh màu đỏ được cộng vào giá trị thu được. Tiếp theo, tích của các phần tử của đường chéo phụ bị trừ đi và tích của các phần tử đó được biểu thị bằng các góc của hình tam giác có các cạnh màu xanh lam sẽ bị trừ đi.

Bây giờ chúng ta hãy nói về yếu tố quyết định tích của ma trận. Có một định lý nói rằng chỉ số này bằng tích của các định thức trong bảng cấp số nhân. Hãy xác minh điều này bằng một ví dụ. Ta có ma trận A với các mục a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 và a 22_{=1 và ma trận B với các mục b}11_{=4, b}12_{=5, b}21_{=1 và b}22_{=2. Tìm định thức của ma trận A và B, tích A × B và định thức của tích này.}

Tiến độ quyết định.

Bước một. Tính định thức cho A: det A=2 × 1 - 3 × 1=–1. Tiếp theo, tính định thức cho B: det B=4 × 2 - 5 × 1=3.

Bước hai. Hãy tìmtích A × B. Ký hiệu ma trận mới bằng chữ cái C. Tính các phần tử của nó:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Bước ba. Tính định thức cho C: det C=11 × 7 - 16 × 5=–3. So sánh với giá trị có thể nhận được bằng cách nhân các yếu tố quyết định của ma trận ban đầu. Các con số đều giống nhau. Định lý trên là đúng.

Thứ hạng sản phẩm

Thứ hạng của ma trận là một đặc tính phản ánh số lượng tối đa các hàng hoặc cột độc lập tuyến tính. Để tính thứ hạng, các phép biến đổi cơ bản của ma trận được thực hiện:

• sắp xếp lại hai hàng song song;
• nhân tất cả các phần tử của một hàng nhất định trong bảng với một số khác 0;
• thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử từ một hàng khác, nhân với một số cụ thể.

Sau các phép biến đổi cơ bản, hãy nhìn vào số lượng các chuỗi khác không. Số của chúng là hạng của ma trận. Hãy xem xét ví dụ trước. Nó trình bày 2 ma trận: A với các phần tử a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 và a₂₂=1 và B với các phần tử b₁₁=4, b₁₂=5, b 21_{=1 và b}22_{=2. Chúng ta cũng sẽ sử dụng ma trận C thu được là kết quả của phép nhân. Nếu chúng ta thực hiện các phép biến đổi cơ bản, thì sẽ không có hàng 0 nào trong các ma trận đơn giản hóa. Điều này có nghĩa là cả thứ hạng của bảng A và thứ hạng của bảng B, và thứ hạngbảng C là 2.}

Bây giờ chúng ta hãy đặc biệt chú ý đến thứ hạng của tích các ma trận. Có một định lý nói rằng hạng của một tích của bảng chứa các phần tử số không vượt quá hạng của bất kỳ thừa số nào. Điều này có thể được chứng minh. Cho A là ma trận k × s và B là ma trận s × m. Tích của A và B bằng C.

Hãy cùng nghiên cứu hình trên. Nó hiển thị cột đầu tiên của ma trận C và ký hiệu đơn giản của nó. Cột này là sự kết hợp tuyến tính của các cột có trong ma trận A. Tương tự, người ta có thể nói về bất kỳ cột nào khác từ mảng chữ nhật C. Do đó, không gian con được tạo bởi các vectơ cột của bảng C nằm trong không gian con được tạo bởi vectơ cột của bảng A. Do đó, kích thước của không gian con số 1 không vượt quá kích thước của không gian con số 2. Điều này ngụ ý rằng thứ hạng trong các cột của bảng C không vượt quá thứ hạng trong các cột của bảng A, tức là r (C) ≦ r (A). Nếu chúng ta lập luận theo cách tương tự, thì chúng ta có thể đảm bảo rằng các hàng của ma trận C là tổ hợp tuyến tính của các hàng của ma trận B. Điều này ngụ ý bất đẳng thức r (C) ≦ r (B).

Cách tìm tích của ma trận là một chủ đề khá phức tạp. Nó có thể dễ dàng thành thạo, nhưng để đạt được kết quả như vậy, bạn sẽ phải dành rất nhiều thời gian để ghi nhớ tất cả các quy tắc và định lý hiện có.